Каноническое описание чудесных логарифмов
Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного канона логарифмов, 1614 г.) и Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (Построение чудесного канона логарифмов, 1619 г.) — две книги Джона Непера на латыни, излагающие метод логарифмов . В то время как другие приблизились к идее логарифмов, в частности Йост Бюрги , именно Нэпьер первым опубликовал эту концепцию вместе с легко используемыми предварительно вычисленными таблицами в своей книге «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio». [1] [2] [3]
До введения логарифмов высокоточные численные вычисления, включающие умножение, деление и извлечение корня, были трудоемкими и подвержены ошибкам. Логарифмы значительно упрощают такие вычисления. Как выразился Напье:
«…нет ничего более утомительного, коллеги-математики, в практикематематических искусств, чем большие задержки, связанные с утомительными длительными умножениями и делениями, нахождением отношений и извлечением квадратных и кубических корней… [с] множеством скользких ошибок, которые могут возникнуть… Я нашел удивительный способ сокращение процедуры, [в которой]… все числа, связанные с умножением и делением чисел, а также с длительными трудными задачами по извлечению квадратных и кубических корней, сами исключаются из работы, а на их место заменяются другие числа, которые выполнять задания отвергнутых только посредством сложения, вычитания и деления на два или три». [2] : Предисловие
Книга содержит пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц тригонометрических функций и их неперовых логарифмов . [1] : с. 18 Эти таблицы значительно упростили вычисления в сфере сферической тригонометрии , которая играет центральную роль в астрономии и небесной навигации и обычно включает в себя произведения синусов, косинусов и других функций. Нэпьер описывает и другие варианты использования, например, решение проблем с соотношением. [2] : Предисловие
Джон Нэпьер потратил 20 лет на расчет таблиц. [4] : с. 16 Он написал отдельный том, описывающий, как он строил свои таблицы, но отложил публикацию, чтобы посмотреть, как будет принята его первая книга. Джон умер в 1617 году. Его сын Роберт опубликовал книгу своего отца «Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio» с дополнениями Генри Бриггса в 1619 году. [5] [6] В Constructio подробно описано, как Нэпьер создал и использовал три таблицы геометрических прогрессий для облегчения вычисления логарифмов синусоидальной функции.
Таблицы [ править ]
Во времена Нейпира десятичная система счисления , используемая в Европе, представляла только целые числа. Включение дробной части с десятичным числом было предложено Саймоном Стевином, но его обозначения были неуклюжими. Идея использования точки для отделения целой части десятичного числа от дробной части была впервые предложена самим Нэпьером в его книге Constructio , раздел 5: «В числах, отличающихся таким образом точкой в середине, все, что написано после период — это дробь, знаменателем которой является единица с таким количеством цифр после нее, сколько цифр после точки». Он использовал эту концепцию для облегчения более точных вычислений в таблицах, но не в самих печатных таблицах. [1] : с. 22 Таким образом, значение синуса угла, опубликованное в его таблице, представляет собой целое число, представляющее длину стороны, противоположной этому углу в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 000 000 единиц. Однако логарифм в таблице представляет собой значение синуса, разделенное на 10 000 000. [1] : с. 19 Логарифм снова представлен как целое число с подразумеваемым знаменателем 10 000 000.
Таблица состоит из 45 пар разворотов. Каждая пара маркирована вверху углом от 0 до 44 градусов, а внизу от 90 до 45 градусов. (Страница под углом 44–45 градусов представляет собой одну сторону.)Первый столбец на каждой странице таблицы представляет собой приращение угла в минутах, которое добавляется к значению градуса вверху страницы. В крайнем правом столбце указаны минуты, которые нужно добавить к значению градуса внизу каждой страницы. Такое расположение таково, что для каждой строки на странице полный угол, представленный столбцом 7, является углом, совпадающим со столбцом 1 (90° – столбец_1). Двигаясь внутрь, рядом с каждым столбцом угла находится синус этого угла, за которым следует абсолютное значение логарифма Непера этого синуса. Логакосинусы для столбца 1 можно легко получить, прочитав страницу до столбца 5 и наоборот. В среднем столбце показана разница между двумя журналами, которая представляет собой журнал Непера функции тангенса (котангенс, если поменять знаки). [2] : Ч. III
Таблицы также можно использовать как таблицу логарифмов Непера для положительных чисел меньше единицы, используя значения синуса (столбцы 2 и 6) в качестве аргумента и значения логарифма (столбцы 3 и 5) в качестве результирующего логарифма. Обращение процедуры дает антилогарифмы.
Первые три строки в таблице ниже воспроизводят заголовки и первые две строки данных левой 19-градусной страницы таблицы Нейпира, см. фотографию. За ними следуют значения, рассчитанные с помощью современных алгоритмов для тех же углов. [6] Они усекаются до 8-значной точности, что на одну больше, чем номинальная 7-значная точность таблицы Нейпира. Номера столбцов показаны для наглядности.
| мне. | Синус | Логарифмы | Дифференциация | Логарифмы | Синус | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3255682 | 11221830 | 10661613 | 560217 | 9455186 | 60 |
| 1 | 3258432 | 11213386 | 10652167 | 561219 | 9454239 | 59 |
| я | грех( θ ) | −ln(sin( θ )) | −ln(tan( θ )) | −ln(sin(90°- θ )) | грех (90 ° - θ ) | 90° − я |
| 19° | 0.32556815 | 1.12218345 | 1.0661617 | 0.05602174 | 0.94551857 | 71° |
| 19° 1' | 0.32584318 | 1.12133905 | 1.0652171 | 0.05612195 | 0.94542383 | 70° 59' |
| Столбец 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Текст описания [ править ]
Нэпьера» «Описание разделено на две книги. Первый описывает его изобретение и некоторые применения и включает таблицы. Во втором обсуждаются приложения к тригонометрии.
Книга I [ править ]
Глава 1 содержит ряд определений и предложений, объясняющих концепцию логарифмов Нейпира. Он придумал логарифмы в терминах двух моделей движения. В первом случае частица стартует в точке и движется по прямой с постоянной скоростью. Во втором случае частица движется по прямой, начиная с той же начальной скорости, но ее скорость уменьшается пропорционально расстоянию от начальной точки. : Ч. Я, Деф. 2 Логарифм числа a представляет собой расстояние, пройденное частицей в модели с постоянной скоростью за время, необходимое частице во второй, обратно пропорциональной модели, чтобы достичь a. [2] : Ч. Я, Деф. 6 Он определяет логарифм 10 000 000 как ноль и что логарифм значений меньше этого значения является положительным, в то время как большие числа имеют отрицательный логарифм, что является изменением знака современных логарифмов. (Это изменение знака иногда выражается в том, что Нейпир использовал логарифмы с основанием 1/ e .) [1] : с. 19 Он отмечает, что у него есть свобода выбирать любое значение, чтобы иметь нулевой логарифм, в современных терминах основу, но выбирает 10 000 000 для простоты расчета, поскольку оно соответствует «общему синусу» (гипотенузе) в его таблицах синусов. См. логарифм Наперова .
Во второй главе описаны свойства логарифмов и приведены некоторые формулы (в текстовом виде) для работы с соотношениями. Он заканчивается заметкой о том, что он откладывает публикацию своей работы по построению логарифмов до тех пор, пока не увидит, как его изобретение будет воспринято. В главе 3 описаны таблицы и их семь столбцов, см. выше. В четвертой главе объясняется, как использовать таблицы, и приводятся рабочие примеры для синусов, тангенсов и секущих. Он также объясняет, как напрямую получать логарифмы чисел, используя значения синуса в качестве аргумента и значения логарифма в качестве результата, и наоборот. Он обсуждает, как обращаться с различными числами, кратными десяти, и вводит обозначения, аналогичные современным научным обозначениям , где он добавляет несколько нулей после логарифма величины, чтобы указать на необходимость поправки на десятилетия. Он дает конкретные логарифмы величин, которые нужно складывать или вычитать в разных случаях:
- 23025842+0 или 46051684+00, или 69077527+000, или 92103369+0000, или 115129211+00000.
Они соответствуют 10 000 000*ln(10), 10 000 000*ln(100) и т. д.
В главе 5 представлены четыре проблемы пропорциональности и их решение с использованием логарифмов Нейпира. В заключение он задается вопросом, «какую пользу приносят эти логарифмы: поскольку их сложение для умножения, вычитание для деления, деление на два для извлечения квадратных корней и на три для кубических корней… все можно избежать более тяжелой работы по расчетам».
Книга II [ править ]
Книга II посвящена «тому благородному виду геометрии, который называется тригонометрией». В первой главе речь идет об использовании логарифмов для решения задач плоской тригонометрии с прямоугольными треугольниками и, в частности, с малыми углами, где его тригонометрические логарифмы становятся большими. В следующей главе рассматриваются плоские косоугольные треугольники. Остальные главы посвящены сферической тригонометрии, начиная с квадрантов. Он также описывает свою Pentagramma mirificum , пятиконечную звезду на сфере, все углы которой составляют 90 градусов. [2] : с. 32
чудесного логарифмов Построение канона
Нэпьер не хотел публиковать теорию и подробности того, как он создал свою таблицу логарифмов, ожидая отзывов математического сообщества о его идеях, и он умер вскоре после публикации Discriptio . Его сын Роберт опубликовал Constructio в 1619 году. Том имеет предисловие Роберта и несколько приложений, в том числе раздел о методах Джона Непера для более простого решения сферических треугольников и раздел Генри Биггса о «другом, лучшем виде логарифмов». а именно основание 10 или десятичные логарифмы . Английский перевод Уильяма Рэя Макдональда был опубликован с аннотациями в 1889 году. [6]
Нэпьер описывает логарифмы через соответствие между двумя точками, движущимися с разными профилями скорости. Первая точка P движется вдоль конечного отрезка P 0 к Q с начальной скоростью, которая уменьшается пропорционально расстоянию P до Q. Вторая точка L движется по неограниченному отрезку прямой, начиная с L 0, в то же время как P и с той же начальной скоростью, но сохраняя эту скорость без изменения. Для каждого возможного положения P, измеренного по его расстоянию от Q, существует соответствующее одновременное положение L. Нейпир определил логарифм расстояния от P до Q как расстояние от L 0 до этого L. [7]
Вычислительный подход [ править ]
Нейпир опирается на несколько идей при вычислении своей таблицы логарифмов. Чтобы добиться высокой точности, он начинает с большой базы в 10 000 000. Но затем он получает дополнительную точность, используя десятичные дроби в изобретенной им системе обозначений, но теперь общеизвестной, а именно с использованием десятичной точки . Далее он объясняет, как работают его обозначения, на некоторых примерах. Он также вводит форму интервальной арифметики, чтобы ограничить любые ошибки, возникающие в его расчетах. [4] : стр.8 [6] : Раздел 3ff [4] : стр.8
Другой теперь известный факт, который он наблюдает, заключается в том, что дроби со знаменателями, равными 10, можно легко вычислить в десятичной системе счисления, сдвинув число вправо относительно десятичной точки. По его словам: «Мы называем легкими частями числа любые части, знаменатели которых состоят из единицы и ряда цифр, причем такие части получаются путем отбрасывания как можно большего числа цифр в конце главного числа. в знаменателе стоят цифры». [6] : Раздел 14
Он отмечает, что арифметические прогрессии легко вычислить, поскольку они включают только сложение и вычитание, но что геометрические прогрессии, как правило, вычислять труднее, поскольку они включают в себя умножение, деление и, возможно, корни. Однако он замечает, что геометрические прогрессии с множителями вида 1 - 1/10 м (т.е. в форме 0,99...9, с m девятками) можно вычислить с произвольной точностью, используя всего один сдвиг и одно вычитание на каждом этапе. [6] : Раздел 16 Аналогично, множители вида 1 − 1/(2*10 м ) (т.е. 0,99...95) требуют только одного сдвига, одного деления на два и одного вычитания на каждом этапе для полной точности, что он называет «достаточно простым». [6] : Раздел 15
Нэпьер также отмечает, что логарифмы геометрической прогрессии на каждом этапе отличаются постоянной величиной, а именно логарифмом множителя. Таким образом, если известен логарифм начального значения геометрической прогрессии и множителя, можно вычислить логарифм каждого члена прогрессии путем многократного сложения логарифма множителя.
Вычисление первого логарифма [ править ]
Используя свою двухлинейную модель, Нэпьер находит нижнюю и верхнюю границы логарифма 0,9999999. Его нижняя граница предполагает, что точка P не замедляется, и в этом случае L переместится на расстояние 1-0,9999999. Его верхняя граница предполагает, что P стартовал со своей конечной скоростью 0,9999999, и в этом случае L переместится на расстояние (1-0,9999999)/0,9999999. В масштабе его радиуса 10 000 000 нижняя граница равна 1, а верхняя граница равна 1,0000001. Он предполагает, что, поскольку разница между этими значениями незначительна, любое значение между ними будет представлять собой «неощутимую ошибку» менее одной части на 10 миллионов, но он выбирает, без особых объяснений, среднюю точку, 1,00000005. [6] : Сек. 30, 31 Этот выбор дает ему гораздо большую точность, как и его переводчику Уильяму Рэю Макдональду. указывает в приложении, отмечая, что увеличенное значение Нейпира для логарифма 0,9999999 очень близко к правильному значению, 1,000000050000003333333583..., [4] : 9 и что все его последующие вычисления логарифмов основаны на значении 1,00000005. Макдональд предполагает, что у Нейпира, должно быть, была веская причина для выбора средней точки. [6] : с. 90 ff.
Вспомогательные таблицы [ править ]
Напье использует эти идеи для построения трех таблиц. Первая таблица в современных обозначениях состоит из чисел 10000000*(0,9999999). н для n от 0 до 100. Вторая состоит из чисел 100000*(0,99999) н для n от 0 до 50. [6] : стр. 14 Затем он применяет значение журнала 0,9999999 для заполнения логарифмов для всех записей в своей первой таблице. Он может использовать последнюю запись для вычисления журнала 0,99999, поскольку 0,9999999 100 очень близко к 0,99999. Затем он использует свою вторую таблицу, которая по сути представляет собой 50 степеней 0,99999, для вычисления логарифма 0,9995. Макдональд также указывает, что в расчет второй таблицы Нэпьером вкралась ошибка; Пятидесятое значение Нейпира — 9995001,222927, но должно быть 9995001,22480. Макдональд обсуждает последствия этой ошибки в своем приложении. [6] : с. 90 ff. [1] : с. 32
Радикальная таблица [ править ]
Затем Нэпьер строит третью таблицу пропорций с 69 столбцами и 21 строкой, которую он называет своей «радикальной таблицей». [1] : с. 35 Доля в верхних строках, начиная с 1, равна 0,99. Записи в каждом столбце имеют пропорцию 0,9995. (Обратите внимание, что 0,9995 = 1-1/2000, что позволяет «достаточно легко» умножать путем деления пополам, сдвига и вычитания.) Нэпьер использует первый столбец для вычисления логарифма 0,99, используя log 0,9995, который у него уже есть. Теперь он может ввести логарифм каждой записи в третьей таблице, поскольку по пропорциональности разница в логарифмах между записями постоянна. [6] : стр.33 В третьей таблице теперь представлены логарифмы для набора из 1449 значений, охватывающих диапазон примерно от 5 000 000 до 10 000 000, что соответствует значениям синусоидальной функции от 30 до 90 градусов, при условии, что радиус равен 10 000 000. [4] : с. 7 Затем Нэпьер объясняет, как использовать таблицы для расчета ограничивающего интервала для логарифмов в этом диапазоне.
Построение опубликованных таблиц [ править ]
Затем Нэпьер дает инструкции по воспроизведению своих опубликованных таблиц с семью столбцами и охватом каждой угловой минуты. Он не вычисляет сами синусы, значения для которых приходится заполнять из уже имеющейся таблицы. « Обычная таблица синусов Рейнхольда или любая другая, более точная, предоставит вам эти значения». [6] : Сек. 59, также с. 156 [4] : 16 Затем вычисляются логарифмы синусов для углов от 30 до 90 градусов путем нахождения ближайшего числа в таблице радикалов и его логарифма и вычисления логарифма искомого синуса путем линейной интерполяции. Он предлагает несколько способов вычисления логарифмов для синусов углов менее 30 градусов. Например, можно умножить синус, значение которого меньше 0,5, на некоторую степень двойки или десяти, чтобы привести его в диапазон [0,5,1]. Найдя этот логарифм в таблице радикалов, добавляют использованный логарифм степени двойки или десяти (он дает короткую таблицу), чтобы получить искомый логарифм. [1] : с. 36
В заключение Нэпьер указывает, что два из его методов расширения таблицы дают результаты с небольшими различиями. Он предлагает другим, «у кого, возможно, будет много учеников и компьютеров», построить новую таблицу с большим масштабным коэффициентом 10 000 000 000, используя те же методы, но используя радикальную таблицу всего с 35 столбцами, достаточными для покрытия углов от 45 до 90 градусов. . [6] : Сек. 60, стр.46
После материи [ править ]
В приложении Нэпьер обсуждает построение «другого, лучшего вида логарифма», где логарифм единицы равен нулю, а логарифм десяти равен 10 000 000 000, индексу. По сути, это логарифмы по основанию 10 с большим масштабным коэффициентом. [6] : стр.97 Он обсуждает различные способы вычисления такой таблицы и заканчивает описанием логарифма числа 2 как количества цифр в числе 2. 10,000,000 , которое он вычисляет как 301029995. [6] : стр.48 За приложением следуют замечания Генри Бриггса о концепциях Нейпира и десятичных логарифмах. Следующий раздел [6] : 64 представляет собой 12-страничное эссе Напьера под названием «Некоторые очень замечательные предложения для решения сферических треугольников с удивительной легкостью», где он описывает, как их решить, не разделяя на два прямоугольных треугольника. За этим разделом также следует комментарий Бриггса.
Переводчик Макдональд делает здесь некоторые примечания: [6] : стр.84 обсуждение написания имени Нэпьера, ссылки на задержки с публикацией второго тома, развитие десятичной арифметики, ошибку во второй таблице Нэпьера и точность метода Нэпьера, а также методы вычисления логарифмов с основанием 10.
Последний раздел [6] : стр.101 представляет собой каталог произведений Макдональда Непера в публичных библиотеках, включая религиозные произведения, издания на разных языках. и другие книги, связанные с работами Джона Нэпьера и логарифмами.
Прием [ править ]
Новый метод расчета Нэпьера быстро распространился в Великобритании и за рубежом. Кеплер посвятил свою Эферерис 1620 года Неперу, написав письмо, в котором он поздравлял его с изобретением и его преимуществами для астрономии. Кеплер не обнаружил существенных ошибок, за исключением некоторых неточностей на малых углах. [1] : с. 16 Эдвард Райт , специалист по небесной навигации, перевел латинское описание Нэпьера на английский в 1615 году, в следующем году, хотя публикация была отложена из-за смерти Райта. [2] Бриггс расширил эту концепцию до более удобного основания 10 или десятичного логарифма . [1] : стр.16-18 Урсинус назвал Непера «математиком, которому нет равных». [6] : стр.158 Триста лет спустя, в 1914 году, Э. У. Хобсон назвал логарифмы «одним из величайших научных открытий, которые видел мир». [1] : стр.5
В 1620 году Эдмунд Гюнтер разработал линейку с логарифмической шкалой; с помощью пары делителей его можно было использовать для умножения и деления. [8] В ц. В 1622 году Уильям Отред объединил две портативные линейки Гюнтера , чтобы создать счетное устройство, которое, по сути, было первой логарифмической линейкой . [9]
Функция логарифма стала основой математического анализа, но печатные таблицы логарифмов постепенно потеряли свою значимость в двадцатом веке, поскольку умножающие механические калькуляторы , а позже и электронные компьютеры взяли на себя потребности в высокоточных вычислениях. [10] Появление ручных научных калькуляторов в 1970-х годах положило конец эпохе логарифмических линеек. [11] Текущее издание « Американского практического навигатора» (Боудича) за 2002 год все еще содержит таблицы логарифмов и логарифмов тригонометрических функций. [12] : стр.565 и далее
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 , Кембридж: The University Press
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Нэпьер, Джон (1614). Описание чудесного канона логарифмов . Перевод Райта, Эдварда; Брюс, Ян. 17 Centurymaths.com . Проверено 14 марта 2022 г.
- ^ Нэпьер, Джон (1614 г.), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [ Описание чудесного правила логарифмов ] (на латыни), Эдинбург, Шотландия: Эндрю Харт
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Рогель, Денис (2010). «Идеальная конструкция логарифмов Непира, отчет об исследовании inria-00543934» . ХЭЛ . ИНРИА . Проверено 13 марта 2022 г.
из собрания математических таблиц Лории.
- ^ Нэпьер, Джон; Бриггс, Генри (1619). Построение чудесного канона логарифмов (на латыни). Эдинбург: Андрес Харт.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л м н тот п д р с т Нэпьер, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильям Рэй. Эдинбург: Блэквуд и сыновья.
Также доступно в Wikisource
- ^ «Подход Нейпира к логарифмам» .
- ^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Курьерская корпорация. п. 205. ИСБН 9780486204307 .
- ^ Эпплбаум, Уилбур (16 декабря 2003 г.). «Линейка» . Энциклопедия научной революции: от Коперника до Ньютона . Рутледж. Бибкод : 2000esrc.book.....A . ISBN 9781135582555 .
- ^ Логарифмы, онлайн-издание Британской энциклопедии , по состоянию на 17 июня 2022 г.
- ^ Логарифмическая линейка, онлайн-издание Британской энциклопедии, по состоянию на 17 июня 2022 г.
- ^ Американский практический навигатор, 2002 г. , Публикации / APN. Текущие и предыдущие издания Национального агентства геопространственной разведки.