Стол Кэли

XIX века Названная в честь британского математика Артура Кэли , таблица Кэли описывает структуру конечной группы путем расположения всех возможных произведений всех элементов группы в квадратной таблице, напоминающей таблицу сложения или умножения . Многие свойства группы – например, абелева ли она или нет , какие элементы каким элементам являются обратными группы , а также размер и содержимое центра – можно обнаружить из ее таблицы Кэли.

Простым примером таблицы Кэли является таблица для группы {1, −1} при обычном умножении :

×	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

История [ править ]

Таблицы Кэли были впервые представлены в статье Кэли 1854 года «О теории групп в зависимости от символического уравнения θ ^н = 1». В этой статье они назывались просто таблицами и носили лишь иллюстративный характер — позже они стали известны как таблицы Кэли в честь их создателя.

Структура и планировка [ править ]

Поскольку многие таблицы Кэли описывают группы, которые не являются абелевыми , произведение ab относительно бинарной операции группы не обязательно будет равно произведению ba для всех a и b в группе. Чтобы избежать путаницы, принято соглашение, согласно которому фактор, помечающий строку (названный Кэли «ближайшим фактором» ), стоит первым, а фактор, который помечает столбец (или дальнейший фактор ), является вторым. Например, пересечение строки a и столбца b — это ab , а не ba , как в следующем примере:

*	а	б	с
а	а ²	аб	и
б	нет	б ²	до нашей эры
с	что	КБ	с ²

Свойства и использование [ править ]

Коммутативность [ править ]

Таблица Кэли сообщает нам, является ли группа абелевой . Поскольку групповая операция абелевой группы коммутативна , группа является абелевой тогда и только тогда, когда значения ее таблицы Кэли симметричны вдоль ее диагональной оси. Группа {1, −1}, приведенная выше, и циклическая группа порядка 3 при обычном умножении являются примерами абелевых групп, и проверка симметрии их таблиц Кэли подтверждает это. Напротив, наименьшая неабелева группа, группа диэдра порядка 6 , не имеет симметричной таблицы Кэли.

Ассоциативность [ править ]

Поскольку при работе с группами ассоциативность считается аксиомой, при работе с таблицами Кэли ее часто воспринимают как нечто само собой разумеющееся. Однако таблицы Кэли можно использовать и для характеристики работы квазигруппы , которая не предполагает ассоциативность как аксиому (действительно, таблицы Кэли можно использовать для характеристики работы любой конечной магмы ). К сожалению, обычно невозможно определить, является ли операция ассоциативной, просто взглянув на ее таблицу Кэли, как это происходит в случае с коммутативностью. Это связано с тем, что ассоциативность зависит от уравнения с тремя членами: $(ab)c=a(bc)$ , а в таблице Кэли показаны произведения с двумя членами. Однако тест Лайта на ассоциативность может определить ассоциативность с меньшими усилиями, чем грубая сила.

Перестановки [ править ]

Поскольку свойство отмены справедливо для групп (и даже для квазигрупп), ни одна строка или столбец таблицы Кэли не может содержать один и тот же элемент дважды. Таким образом, каждая строка и столбец таблицы представляют собой перестановку всех элементов группы. Это сильно ограничивает то, какие таблицы Кэли могли бы определить допустимую групповую операцию.

Чтобы понять, почему строка или столбец не может содержать один и тот же элемент более одного раза, пусть a , x и y являются элементами группы, причем x и y различны. Тогда в строке, представляющей элемент a , столбец, соответствующий x , содержит продукт ax , и аналогичным образом столбец, соответствующий y, содержит продукт ay . Если бы эти два произведения были равны – то есть, строка a содержала один и тот же элемент дважды, наша гипотеза – тогда ax был бы равен ay . Но поскольку закон сокращения выполняется, мы можем заключить, что если ax = ay , то x = y , противоречие . Следовательно, наша гипотеза неверна, и строка не может содержать один и тот же элемент дважды. Точно такого же аргумента достаточно, чтобы доказать случай столбца, и поэтому мы заключаем, что каждая строка и столбец не содержат ни одного элемента более одного раза. Поскольку группа конечна, принцип группировки гарантирует, что каждый элемент группы будет представлен в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Таким образом, таблица Кэли группы является примером латинского квадрата. . Альтернативное и более краткое доказательство следует из свойства отмены . Это свойство подразумевает, что для каждого x в группе одна переменная функция yf(x,y)= xy должна быть взаимно однозначным отображением. Результат следует из того факта, что взаимно-однозначные отображения на конечных множествах являются перестановками.

Построение таблиц Кэли [ править ]

Благодаря структуре групп очень часто можно «заполнить» таблицы Кэли, в которых отсутствуют элементы, даже не имея полной характеристики рассматриваемой групповой операции. Например, поскольку каждая строка и столбец должны содержать каждый элемент в группе, если учтены все элементы, за исключением одного, и есть одно пустое место, то, не зная ничего другого о группе, можно заключить, что неучтенный элемент должен занять оставшееся пустое пространство. Оказывается, это и другие наблюдения о группах в целом позволяют нам строить таблицы Кэли групп, зная очень мало о рассматриваемой группе. Однако таблица Кэли, построенная с использованием следующего метода, может не соответствовать требованию ассоциативности группы и, следовательно, представлять собой квазигруппу.

«Скелет тождества» конечной группы [ править ]

Инверсии идентифицируются по идентификационным элементам в таблице. Поскольку в любой группе, даже неабелевой, каждый элемент коммутирует со своим обратным, из этого следует, что распределение единичных элементов в таблице Кэли будет симметричным по диагонали таблицы. Те, что лежат на диагонали, являются своей уникальной противоположностью.

Поскольку порядок строк и столбцов таблицы Кэли на самом деле произволен, удобно упорядочить их следующим образом: начиная с идентификационного элемента группы, который всегда является обратным для нее, сначала перечислите все элементы, которые являются их обратными. собственный инверсный, за которым следуют пары инверсных, расположенные рядом друг с другом.

Тогда для конечной группы определенного порядка легко охарактеризовать ее «тождественный скелет», названный так потому, что единичные элементы в таблице Кэли, построенной описанным в предыдущем абзаце способом, группируются вокруг главной диагонали – либо они лежат прямо на нем или находятся на расстоянии одного от него.

Относительно тривиально доказать, что группы с разными тождественными скелетами не могут быть изоморфными , хотя обратное неверно (например, циклическая группа C ₈ и группа кватернионов Q неизоморфны, но имеют один и тот же тождественный скелет).

Дело также в том, что не все скелеты идентичности соответствуют реальным группам. Например, не существует группы из шести элементов, в которой все элементы имеют свои обратные значения.

Генерация матрицы перестановок [ править ]

В стандартной форме таблицы Кэли порядок элементов в строках такой же, как порядок в столбцах. Другая форма — расположить элементы столбцов так, чтобы n- й столбец соответствовал обратному элементу в n -й строке. В нашем примере с D ₃ нам нужно поменять местами только два последних столбца, поскольку f и d — единственные элементы, которые не являются обратными сами себе, а являются обратными друг другу.

	и	а	б	с	е=д ⁻¹	д=е ⁻¹
и	и	а	б	с	ж	д
а	а	и	д	ж	с	б
б	б	ж	и	д	а	с
с	с	д	ж	и	б	а
д	д	с	а	б	и	ж
ж	ж	б	с	а	д	и

Этот конкретный пример позволяет нам создать шесть матриц перестановок (все элементы 1 или 0, ровно по одной 1 в каждой строке и столбце). Матрица 6x6, представляющая элемент, будет иметь 1 в каждой позиции, содержащей букву элемента в таблице Кэли, и ноль в каждой другой позиции, дельта -функция Кронекера для этого символа. (Обратите внимание, что e находится в каждой позиции вниз по главной диагонали, что дает нам в этом случае единичную матрицу для матриц 6x6, как и следовало ожидать.) Вот, матрица, которая представляет наш элемент a например, .

	и	а	б	с	ж	д
и	0	1	0	0	0	0
а	1	0	0	0	0	0
б	0	0	0	0	1	0
с	0	0	0	0	0	1
д	0	0	1	0	0	0
ж	0	0	0	1	0	0

Это непосредственно показывает нам, что любая группа порядка n является подгруппой группы Sn _{перестановок} порядка n !.

Обобщения [ править ]

Вышеуказанные свойства зависят от некоторых аксиом, справедливых для групп. Естественно рассматривать таблицы Кэли для других алгебраических структур, таких как полугруппы , квазигруппы и магмы , но некоторые из вышеперечисленных свойств не выполняются.

См. также [ править ]

Латинская площадь

Судоку

Ссылки [ править ]

Кэли, Артур . «К теории групп в зависимости от символического уравнения θ ^н = 1», Philosophical Magazine , Vol. 7 (1854), стр. 40–47. Доступно в Интернете в Google Books как часть собрания его сочинений.
Кэли, Артур . «К теории групп», Американский журнал математики , Vol. 11, № 2 (январь 1889 г.), стр. 139–157. Доступно в JSTOR.