Сечение гамма-лучей

Сечение гамма-лучей является мерой вероятности взаимодействия гамма-лучей с веществом. Полное сечение взаимодействия гамма-лучей складывается из нескольких независимых процессов: фотоэффекта , комптоновского (некогерентного) рассеяния , рождения электрон-позитронных пар в поле ядра и рождения электрон-позитронных пар в электронном поле (тройное рождение). Сечение отдельного процесса , перечисленного выше, является частью полного сечения гамма-излучения.

Другие эффекты, такие как фотоядерное поглощение, томсоновское или рэлеевское (когерентное) рассеяние, можно опустить из-за их незначительного вклада в диапазон энергий гамма-лучей.

Ниже приведены подробные уравнения для сечений (барн/атом) всех упомянутых эффектов, связанных с взаимодействием гамма-лучей с веществом.

Сечение фотоэлектрического эффекта

Явление фотоэффекта описывает взаимодействие гамма- фотона с электроном, находящимся в структуре атома . Это приводит к выбросу этого электрона из атома . Фотоэлектрический эффект является доминирующим механизмом передачи энергии для рентгеновских и гамма-фотонов с энергией ниже 50 кэВ . При более высоких энергиях это гораздо менее важно, но все же необходимо принимать во внимание.

Обычно сечение фотоэффекта можно аппроксимировать упрощенным уравнением

$\sigma _{ph}={\frac {16}{3}}{\sqrt {2}}\pi r_{e}^{2}\alpha ^{4}{\frac {Z^{5}}{k^{3.5}}}\approx 5\cdot 10^{11}{\frac {Z^{5}}{E_{\gamma }^{3.5}}}\,\mathrm {b}$

где k = E _γ / E _e , и где E _γ = hν — энергия фотона, выраженная в эВ, а E _e = m _e c ² ≈ 5,11∙10 ⁵ электрона eV – энергия массы покоя , Z – атомный номер элемента-поглотителя, α = e ² /(ħc) ≈ 1/137 — постоянная тонкой структуры , а r _e ² = и ⁴ / Э _е ² ≈ 0,07941 b — квадрат классического радиуса электрона в барнах .

Однако для большей точности уравнение Заутера более уместно:

$\sigma _{ph}={\frac {3}{2}}\phi _{0}\alpha ^{4}{\biggl (}Z{\frac {E_{e}}{E_{\gamma }}}{\biggr )}^{5}(\gamma ^{2}-1)^{3/2}{\Biggl [}{\frac {4}{3}}+{\frac {\gamma (\gamma -2)}{\gamma +1}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{2\gamma (\gamma ^{2}-1)^{1/2}}}\ln {\frac {\gamma +(\gamma ^{2}-1)^{1/2}}{\gamma -(\gamma ^{2}-1)^{1/2}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}$

где

$\gamma ={\frac {E_{\gamma }-E_{B}+E_{e}}{E_{e}}}$

E 0 _B — энергия связи электрона, φ _— томсоновское сечение (φ ₀ = 8 πe ⁴ /(3E _е ² ) ≈ 0,66526 барн).

Для более высоких энергий (>0,5 МэВ ) сечение фотоэффекта очень мало, поскольку доминируют другие эффекты (особенно комптоновское рассеяние ). Однако для точных расчетов сечения фотоэффекта в области высоких энергий уравнение Заутера следует заменить уравнением Пратта-Скофилда

$\sigma _{ph}=Z^{5}{\Biggl (}\sum _{n=1}^{4}{\frac {a_{n}+b_{n}Z}{1+c_{n}Z}}k^{-p_{n}}{\Biggr )}$

где все входные параметры представлены в таблице ниже.

н	н ​	б н	ц н	п н
1	1.6268∙10 −9	-2.683∙10 −12	4.173∙10 −2	1
2	1.5274∙10 −9	-5.110∙10 −13	1.027∙10 −2	2
3	1.1330∙10 −9	-2.177∙10 −12	2.013∙10 −2	3.5
4	-9.12∙10 −11	0	0	4

Сечение комптоновского рассеяния

Комптоновское рассеяние (или эффект Комптона) — это взаимодействие, при котором падающий гамма- фотон взаимодействует с атомным электроном, вызывая его выброс и рассеяние исходного фотона с более низкой энергией. Вероятность комптоновского рассеяния уменьшается с увеличением энергии фотона. Комптоновское рассеяние считается основным механизмом поглощения гамма-лучей в диапазоне промежуточных энергий от 100 кэВ до 10 МэВ.

Сечение эффекта Комптона описывается уравнением Клейна-Нишина :

$\sigma _{C}=Z2\pi r_{e}^{2}{\Biggl \{}{\frac {1+k}{k^{2}}}{\Biggl [}{\frac {2(1+k)}{1+2k}}-{\frac {\ln {(1+2k)}}{k}}{\Biggr ]}+{\frac {\ln {(1+2k)}}{2k}}-{\frac {1+3k}{(1+2k)^{2}}}{\Biggr \}}$

для энергий выше 100 кэВ (k>0,2). Однако для более низких энергий это уравнение должно быть заменено следующим:

$\sigma _{C}=Z{\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}{\frac {1}{(1+2k)^{2}}}{\biggl (}1+2k+{\frac {6}{5}}k^{2}-{\frac {1}{2}}k^{3}+{\frac {2}{7}}k^{4}-{\frac {6}{35}}k^{5}+{\frac {8}{105}}k^{6}+{\frac {4}{105}}k^{7}{\biggr )}$

поглотителя номеру который пропорционален атомному Z .

Дополнительное сечение, связанное с эффектом Комптона, можно рассчитать только для коэффициента передачи энергии – поглощения энергии фотона электроном:

$\sigma _{C,abs}=Z2\pi r_{e}^{2}{\biggl [}{\frac {2(1+k)^{2}}{k^{2}(1+2k)}}-{\frac {1+3k}{(1+2k)^{2}}}-{\frac {(1+k)(2k^{2}-2k-1)}{k^{2}(1+2k)^{2}}}-{\frac {4k^{2}}{3(1+2k)^{3}}}-{\Bigl (}{\frac {1+k}{k^{3}}}-{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{2k^{3}}}{\Bigr )}\ln {(1+2k)}{\biggr ]}$

который часто используется в расчетах радиационной защиты .

Сечение образования пар (в поле ядра)

При взаимодействии с электрическим полем ядра ( энергия падающего фотона преобразуется в массу электрон- позитрона e ⁻ и ⁺ ) пара . Сечение эффекта рождения пар обычно описывается уравнением Максимона:

$\sigma _{pair}=Z^{2}\alpha r_{e}^{2}{\frac {2\pi }{3}}{\biggl (}{\frac {k-2}{k}}{\biggr )}^{3}{\biggl (}1+{\frac {1}{2}}\rho +{\frac {23}{40}}\rho ^{2}+{\frac {11}{60}}\rho ^{3}+{\frac {29}{960}}\rho ^{4}{\biggr )}$ для низких энергий ( k < 4),

где

$\rho ={\frac {2k-4}{2+k+2{\sqrt {2k}}}}$.

Однако для более высоких энергий ( k >4) уравнение Максимона имеет вид

$\sigma _{pair}=Z^{2}\alpha r_{e}^{2}{\Biggl \{}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+({\frac {2}{k}})^{2}{\biggl [}6\ln {2k}-{\frac {7}{2}}+{\frac {2}{3}}\ln ^{3}{2k}-\ln ^{2}{2k}-{\frac {1}{3}}\pi ^{2}\ln {2k}+2\zeta (3)+{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\biggr ]}-({\frac {2}{k}})^{4}{\biggl [}{\frac {3}{16}}\ln {2k}+{\frac {1}{8}}{\biggr ]}-({\frac {2}{k}})^{6}{\biggl [}{\frac {29}{9\cdot 256}}\ln {2k}-{\frac {77}{27\cdot 512}}{\biggr ]}{\Biggr \}}$

где ζ(3)≈1,2020569 — дзета-функция Римана . Энергетический порог эффекта рождения пар равен k =2 ( позитрона и электрона энергия масс покоя ).

Сечение производства триплета

Эффект рождения триплета, когда позитрон и электрон рождаются в поле другого электрона, аналогичен парному образованию с порогом k =4. Однако этот эффект гораздо менее вероятен, чем рождение пар в поле ядра . Самая популярная форма триплетного сечения была сформулирована как уравнение Борселлино-Гизцетти.

${\begin{aligned}\sigma _{trip}=Z\alpha r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}&+{\frac {1}{k}}{\biggl (}-{\frac {4}{3}}\ln ^{3}{2k}+3\ln ^{2}{2k}-{\frac {60+16a}{3}}\ln {2k}+{\frac {123+12a+16b}{3}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{2}}}{\biggl (}{\frac {8}{3}}\ln ^{3}{2k}-4\ln ^{2}{2k}+{\frac {51+32a}{3}}\ln {2k}-{\frac {123+32a+64b}{6}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{3}}}{\biggl (}\ln ^{2}{2k}-{\frac {53}{9}}\ln {2k}-{\frac {2915-288a}{216}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{4}}}{\biggl (}-{\frac {49}{18}}\ln {2k}-{\frac {115}{432}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{5}}}{\biggl (}-{\frac {77}{36}}\ln {2k}-{\frac {10831}{8640}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{6}}}{\biggl (}-{\frac {641}{300}}\ln {2k}-{\frac {64573}{36000}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{7}}}{\biggl (}-{\frac {4423}{1800}}\ln {2k}-{\frac {394979}{216000}}{\biggr )}{\Biggl ]}\end{aligned}}$

где а = -2,4674 и b = -1,8031. Это уравнение довольно длинное, поэтому Хауг предложил более простые аналитические формы триплетного сечения. Особенно для самых низких энергий 4< k <4,6:

$\sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}[5.6+20.4(k-4)-10.9(k-4)^{2}-3.6(k-4)^{3}+7.4(k-4)^{4}]10^{-3}(k-4)^{2}$

Для 4,6< к <6:

$\sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}(0.582814-0.29842k+0.04354k^{2}-0.0012977k^{3})$

Для 6< k <18:

$\sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}{\biggl (}{\frac {3.1247-1.3394k+0.14612k^{2}}{1+0.4648k+0.016683k^{2}}}{\biggr )}$

Для k >14 Хауг предложил использовать более короткую форму уравнения Борселлино:

$\sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+{\frac {1}{k}}{\biggl (}-{\frac {4}{3}}\ln ^{3}{2k}+3.863\ln ^{2}{2k}-11\ln {2k}+27.9{\biggr )}{\Biggr ]}$

Общее сечение

Полное сечение на атом можно представить как простую сумму каждого эффекта:

$\sigma _{total}=\sigma _{ph}+\sigma _{C}+\sigma _{pair}+\sigma _{trip}$

Далее, используя закон Бера–Ламберта–Бугера , можно рассчитать линейный коэффициент затухания взаимодействия фотона с поглотителем атомной плотности N :

$\mu =\sigma _{total}N$

или массовый коэффициент затухания :

$\mu _{d}={\frac {\mu }{\rho }}={\frac {\sigma _{total}}{uA}}$

где ρ – массовая плотность , u – атомная единица массы , a A – атомная масса поглотителя.

Это можно напрямую использовать на практике, например, в радиационной защите .

Аналитический расчет сечения каждого конкретного явления весьма затруднителен, поскольку соответствующие уравнения длинные и сложные. Таким образом, полное сечение гамма-взаимодействия может быть представлено одним феноменологическим уравнением, сформулированным Форнальским: который можно использовать вместо:

$\sigma _{total}(k,Z)=\sum _{i=0}^{6}{\biggl [}(\ln {k})^{i}\sum _{j=0}^{4}a_{i,j}Z^{j}{\biggr ]}$

где параметры a _i,j представлены в таблице ниже. Эта формула является аппроксимацией полного сечения взаимодействия гамма-лучей с веществом для разных энергий (от 1 МэВ до 10 ГэВ, а именно 2< k <20 000) и атомных номеров поглотителя (от Z =1 до 100).

а я, дж	я = 0	я = 1	я = 2	я = 3	я = 4	я = 5	я = 6
j=0	0.0830899	-0.08717743	0.02610534	-2.74655∙10 −3	4.39504∙10 −5	9.05605∙10 −6	-3.97621∙10 −7
j=1	0.265283	-0.10167009	0.00701793	2.371288∙10 −3	-5.020251∙10 −4	3.6531∙10 −5	-9.46044∙10 −7
j=2	2.18838∙10 −3	-2.914205∙10 −3	1.26639∙10 −3	-7.6598∙10 −5	-1.58882∙10 −5	2.18716∙10 −6	-7.49728∙10 −8
j=3	-4.48746∙10 −5	4.75329∙10 −5	-1.43471∙10 −5	1.19661∙10 −6	5.7891∙10 −8	-1.2617∙10 −8	4.633∙10 −10
j=4	6.29882∙10 −7	-6.72311∙10 −7	2.61963∙10 −7	-5.1862∙10 −8	5.692∙10 −9	-3.29∙10 −10	7.7∙10 −12

Для области более низких энергий (<1 МэВ) уравнение Форнальского более сложное из-за большей изменчивости функций различных элементов . Следовательно, модифицированное уравнение

$\sigma _{total}(E,Z)=\exp \sum _{i=0}^{6}{\biggl [}(\ln {E})^{i}\sum _{j=0}^{6}a_{i,j}Z^{j}{\biggr ]}$

является хорошим приближением для энергий фотонов от 150 кэВ до 10 МэВ, где энергия фотонов E указана в МэВ, а параметры a _i,j представлены в таблице ниже с гораздо большей точностью. Аналогично, уравнение справедливо для всех Z от 1 до 100.

а я, дж	j=0	j=1	j=2	j=3	j=4	j=5	j=6
я = 0	-1.539137959563277	0.3722271606115605	-0.018918894979230043	5.304673816064956∙10 −4	-7.901251450214221∙10 −6	5.9124040925689876∙10 −8	-1.7450439521037788∙10 −10
я = 1	-0.49013771295901015	7.366301806437177∙10 −4	-8.898417420107425∙10 −5	3.294237085781055∙10 −6	-8.450746169984143∙10 −8	7.640266479340313∙10 −10	-2.282367050913894∙10 −12
я = 2	-0.05705460622256227	0.001957234615764126	-6.187107799669643∙10 −5	2.1901234933548505∙10 −6	1.9412437622425253∙10 −8	-5.851534943255455∙10 −10	2.7073481839614158∙10 −12
я = 3	0.001395861376531693	-7.137867469026608∙10 −4	2.462958782088413∙10 −4	-9.660290609660555∙10 −6	1.295493742164346∙10 −7	-6.538025860945927∙10 −10	8.763097742806648∙10 −13
я = 4	5.105805426257604∙10 −5	0.0011420827759804927	-8.177273886356552∙10 −5	4.564725445290536∙10 −6	-9.707786695822055∙10 −8	8.351662725636947∙10 −10	-2.545941852995417∙10 −12
я = 5	-5.416099245465933∙10 −4	5.65398317844477∙10 −4	-5.294089702089374∙10 −5	5.437298837558547∙10 −7	1.4824427385312707∙10 −8	-2.8079293400520423∙10 −10	1.247192025425616∙10 −12
я = 6	3.6322794450615036∙10 −4	-2.186723664102979∙10 −4	1.739236692381265∙10 −5	-3.7341071277534563∙10 −7	1.1585158108088033∙10 −9	3.1805366711255584∙10 −11	-2.0806866173605604∙10 −13

XCOM База данных сечений

Национальный США институт стандартов и технологий опубликовал в Интернете полная и подробная база данных значений сечений взаимодействия рентгеновских и гамма-лучей с различными материалами при разных энергиях. База данных, называемая XCOM, содержит также линейные и массовые коэффициенты затухания, полезные для практического применения.

См. также

• Сечение (физика)
• Гамма-лучи
• Коэффициент линейного затухания
• Массовый коэффициент затухания
• Нейтронное сечение
• Ядерное сечение

Внешние ссылки

• База данных XCOM