Формула Клейна – Нишиной

Распределение сечений углов рассеяния Клейна–Нишиной в диапазоне часто встречающихся энергий.

В физике элементарных частиц формула Клейна-Нишины дает дифференциальное сечение (т.е. «вероятность» и угловое распределение) фотонов , рассеянных от одного свободного электрона , рассчитанное в низшем порядке квантовой электродинамики . Впервые оно было получено в 1928 году Оскаром Кляйном и Ёсио Нишиной , что стало одним из первых успешных применений уравнения Дирака . Формула описывает как томсоновское рассеяние фотонов низкой энергии (например, видимого света ), так и комптоновское рассеяние фотонов высокой энергии (например, рентгеновских и гамма-лучей ), показывая, что полное сечение и ожидаемый угол отклонения уменьшаются с увеличением энергии фотона. .

Формула

Для падающего неполяризованного фотона энергии $E_{\gamma }$, дифференциальное сечение равно:

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]$

где

• $r_{e}$ — классический радиус электрона (~ 2,82 Фм , $r_{e}^{2}$ составляет около 7,94 × 10 ⁻³⁰ м ² или 79,4 Мб )
• $\lambda /\lambda '$ – отношение длин волн падающего и рассеянного фотонов
• $\theta$ — угол рассеяния (0 для неотклоненного фотона).

Отношение длины волны (или энергии, или частоты) фотона в зависимости от угла равно

${\frac {\lambda }{\lambda '}}={\frac {E_{\gamma '}}{E_{\gamma }}}={\frac {\omega '}{\omega }}={\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}$

как того требует сохранение релятивистской энергии и импульса (см. Комптоновское рассеяние ). Безразмерная величина $\epsilon =E_{\gamma }/m_{e}c^{2}$ выражает энергию падающего фотона через энергию покоя электрона (~ 511 кэВ ) и может также быть выражена как $\epsilon =\lambda _{c}/\lambda$, где $\lambda _{c}=h/m_{e}c$ — комптоновская длина волны электрона (~ 2,42 пм). Обратите внимание, что коэффициент рассеяния $\lambda '/\lambda$ возрастает монотонно с увеличением угла отклонения, от $1$ (рассеяние вперед, без передачи энергии) до $1+2\epsilon$ (обратное рассеяние на 180 градусов, максимальная передача энергии).

В некоторых случаях удобно выразить классический радиус электрона через комптоновскую длину волны: $r_{e}=\alpha {\bar {\lambda }}_{c}=\alpha \lambda _{c}/2\pi$, где $\alpha$ - постоянная тонкой структуры (~ 1/137) и ${\bar {\lambda }}_{c}=\hbar /m_{e}c$ - приведенная комптоновская длина волны электрона (~ 0,386 пм), так что константа в поперечном сечении может быть задана как:

${\frac {1}{2}}r_{e}^{2}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{c}^{2}={\frac {\alpha ^{2}\lambda _{c}^{2}}{8\pi ^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}$

Поляризованные фотоны

Если падающий фотон поляризован, рассеянный фотон больше не изотропен по отношению к азимутальному углу. Для линейно поляризованного фотона, рассеянного свободным электроном, дифференциальное сечение вместо этого определяется выражением:

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]$

где $\phi$ – азимутальный угол рассеяния. Заметим, что неполяризованное дифференциальное сечение можно получить усреднением по $\cos ^{2}(\phi )$.

Пределы

Низкая энергия

Для фотонов низкой энергии сдвиг длины волны становится пренебрежимо малым ( $\lambda /\lambda '\approx 1$) и формула Клейна–Нишиной сводится к классическому выражению Томсона :

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left(1+\cos ^{2}(\theta )\right)\qquad (\epsilon \ll 1)$

который симметричен по углу рассеяния, т.е. фотон с одинаковой вероятностью рассеивается как назад, так и вперед. С увеличением энергии эта симметрия нарушается, и фотон с большей вероятностью рассеивается в прямом направлении.

Высокая энергия

Для фотонов высоких энергий полезно различать рассеяние на малые и большие углы. Для больших углов, где $\epsilon (1-\cos \theta )\gg 1$, коэффициент рассеяния $\lambda '/\lambda$ большой и

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {\lambda }{\lambda '}}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}\qquad (\epsilon \gg 1,\theta \gg \epsilon ^{-1/2})$

показывая, что дифференциальное сечение (большого угла) обратно пропорционально энергии фотона.

Дифференциальное сечение имеет постоянный пик в прямом направлении:

$\left({\frac {d\sigma }{d\Omega }}\right)_{\theta =0}=r_{e}^{2}$

независимо от $\epsilon$. Из анализа под большим углом следует, что этот пик может простираться только примерно до $\theta _{c}\approx \epsilon ^{-1/2}$. Таким образом, передний пик ограничен небольшим телесным углом примерно $\pi \theta _{c}^{2}$, и мы можем заключить, что полное малоугловое сечение уменьшается с $\epsilon ^{-1}$.

Общее сечение

Дифференциальное сечение можно проинтегрировать, чтобы найти полное сечение :

$\sigma =2\pi r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {1+\epsilon }{\epsilon ^{3}}}{\Biggl (}{\frac {2\epsilon (1+\epsilon )}{1+2\epsilon }}-\ln {(1+2\epsilon )}{\Biggr )}+{\frac {\ln {(1+2\epsilon )}}{2\epsilon }}-{\frac {1+3\epsilon }{(1+2\epsilon )^{2}}}{\Biggr ]}$

В низкоэнергетическом пределе энергетическая зависимость отсутствует, и мы восстанавливаем томсоновское сечение (~66,5 Фм ² ):

$\sigma \approx {\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}\qquad (E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2})$

История

Формула Клейна-Нисины была выведена в 1928 году Оскаром Кляйном и Ёсио Нисиной и была одним из первых результатов, полученных в результате изучения квантовой электродинамики . Учет релятивистских и квантовомеханических эффектов позволил разработать точное уравнение рассеяния излучения электроном мишени. До этого вывода сечение электрона было классически получено британским физиком и первооткрывателем электрона Дж Томсоном . Дж. . Однако эксперименты по рассеянию показали значительные отклонения от результатов, предсказанных томсоновским сечением. Дальнейшие эксперименты по рассеянию полностью согласовались с предсказаниями формулы Клейна – Нишиной.

См. также

• Синхротронное излучение
• Ёсио Нишина
• Оскар Кляйн

Дальнейшее чтение

• Эванс, Р.Д. (1955). Атомное ядро . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 674–676. OCLC   542611 .
• Мелиссинос, AC (1966). Эксперименты в современной физике . Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 252–265. ISBN  0-12-489850-5 .
• Кляйн, О.; Нишина, Ю. (1994). «О рассеянии излучения свободными электронами согласно новой релятивистской квантовой динамике Дирака». В Экспонге, Гёста (ред.). Лекции памяти Оскара Кляйна, Vol. 2: Лекции Ганса А. Бете и Алана Х. Гута с переведенными отпечатками Оскара Кляйна . Сингапур: World Scientific. стр. 113–139. Бибкод : 1994okml.book.....E .