Бхабха рассеяние

Диаграммы Фейнмана
Уничтожение
Рассеяние

В квантовой электродинамике рассеяние Баба — это электронов и позитронов процесс рассеяния :

$e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}$

главного порядка две диаграммы Фейнмана Этому взаимодействию способствуют : процесс аннигиляции и процесс рассеяния. Бхабха-рассеяние названо в честь индийского физика Хоми Дж. Бхабхи .

Скорость рассеяния Бабхи используется в качестве монитора светимости в электрон-позитронных коллайдерах.

Дифференциальное сечение

В старшем порядке усредненное по спину дифференциальное сечение этого процесса равно

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{s}}\left(u^{2}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)^{2}+\left({\frac {t}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {s}{t}}\right)^{2}\right)\,$

где s , t и u — переменные Мандельштама , $\alpha$ – константа тонкой структуры , а $\theta$ — угол рассеяния.

Это сечение рассчитывается без учета массы электрона относительно энергии столкновения и включает только вклад фотонного обмена. Это правильное приближение при энергиях столкновения, малых по сравнению с массой Z-бозона , около 91 ГэВ; при более высоких энергиях становится важным и вклад обмена Z-бозона.

Переменные Мандельштама

В этой статье переменные Мандельштама определяются формулой

$s=\,$	$(k+p)^{2}=\,$	$(k'+p')^{2}\approx \,$	$2k\cdot p\approx \,$	$2k'\cdot p'\,$
$t=\,$	$(k-k')^{2}=\,$	$(p-p')^{2}\approx \,$	$-2k\cdot k'\approx \,$	$-2p\cdot p'\,$
$u=\,$	$(k-p')^{2}=\,$	$(p-k')^{2}\approx \,$	$-2k\cdot p'\approx \,$	$-2k'\cdot p\,$

где аппроксимации даны для высокоэнергетического (релятивистского) предела.

Получение неполяризованного сечения

Элементы матрицы

Диаграммы рассеяния и аннигиляции дают вклад в матричный элемент перехода. Полагая, что k и k' представляют собой четырехимпульс позитрона, а p и p' представляют четырехимпульс электрона, и используя правила Фейнмана , можно показать, что следующие диаграммы дают эти матричные элементы:

			Где мы используем: $\gamma ^{\mu }\,$ являются гамма-матрицами , $u,\ \mathrm {and} \ {\bar {u}}\,$ являются четырехкомпонентными спинорами фермионов, а $v,\ \mathrm {and} \ {\bar {v}}\,$ являются четырехкомпонентными спинорами антифермионов (см. Четыре спинора ).
	(рассеяние)	(уничтожение)
${\mathcal {M}}=\,$	$-e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}\right){\frac {1}{(k-k')^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}\right)$	$+e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p}\right){\frac {1}{(k+p)^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'}\right)$

Обратите внимание, что между двумя диаграммами существует относительная разница знаков.

Площадь матричного элемента

Для расчета неполяризованного сечения необходимо усреднить по спинам прилетающих частиц ( s _e- и s _e+ возможные значения ) и суммировать по спинам вылетающих частиц. То есть,

${\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\,$	$={\frac {1}{(2s_{e-}+1)(2s_{e+}+1)}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,$
	$={\frac {1}{4}}\sum _{s=1}^{2}\sum _{s'=1}^{2}\sum _{r=1}^{2}\sum _{r'=1}^{2}|{\mathcal {M}}|^{2}\,$

Сначала посчитаем $|{\mathcal {M}}|^{2}\,$:

$|{\mathcal {M}}|^{2}\,$=	$e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right|^{2}\,$	(рассеяние)
	${}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)^{*}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)\,$	(помехи)
	${}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)^{*}\,$	(помехи)
	${}+e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right|^{2}\,$	(уничтожение)

Член рассеяния (t-канал)

Величина в квадрате М

$|{\mathcal {M}}|^{2}\,$	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}){\Big )}^{*}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,$	$(1)\,$
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})^{*}({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})^{*}{\Big )}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,$	$(2)\,$
	(комплексное сопряжение изменит порядок)
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right){\Big )}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right){\Big )}\,$	$(3)\,$
	(переместите члены, которые зависят от одного и того же импульса, чтобы они оказались рядом друг с другом)
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,$	$(4)\,$

Сумма по вращениям

Далее мы хотели бы просуммировать спины всех четырех частиц. Пусть s и s’ — спин электрона, а r и r’ — спин позитрона.

$\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,$	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(\sum _{r'}{\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }(\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k})\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left(\sum _{s}{\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }(\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}})\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,$	$(5)\,$
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{r'}v_{k'}{\bar {v}}_{k'}{\Big )}\gamma ^{\mu }{\Big (}\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\Big )}\gamma ^{\nu }\right)\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{s}u_{p}{\bar {u}}_{p}{\Big )}\gamma _{\mu }{\Big (}\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}}{\Big )}\gamma _{\nu }\right)\,$	$(6)\,$
	(теперь используйте отношения полноты )
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left((k\!\!\!/'-m)\gamma ^{\mu }(k\!\!\!/-m)\gamma ^{\nu }\right)\cdot \operatorname {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\right)\,$	$(7)\,$
	(теперь используйте идентификаторы Trace )
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(4\left({k'}^{\mu }k^{\nu }-(k'\cdot k)\eta ^{\mu \nu }+k'^{\nu }k^{\mu }\right)+4m^{2}\eta ^{\mu \nu }\right)\left(4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\mu }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\right)\,$	$(8)\,$
	$={\frac {32{e^{4}}}{(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')-m^{2}p'\cdot p-m^{2}k'\cdot k+2m^{4}\right)\,$	$(9)\,$

Это точная форма: в случае электронов обычно интересуют энергетические масштабы, которые намного превышают массу электрона. Пренебрежение массой электрона дает упрощенную форму:

${\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,$	$={\frac {32e^{4}}{4(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,$
	(используйте переменные Мандельштама в этом релятивистском пределе)
	$={\frac {8e^{4}}{t^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}s{\tfrac {1}{2}}s+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,$
	$=2e^{4}{\frac {s^{2}+u^{2}}{t^{2}}}\,$

Термин аннигиляции (s-канал)

Процесс нахождения аннигиляционного члена аналогичен описанному выше. Поскольку две диаграммы связаны перекрестной симметрией , а частицы в начальном и конечном состоянии одинаковы, достаточно переставить импульсы, что дает

${\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,$	$={\frac {32e^{4}}{4(k+p)^{4}}}\left((k\cdot k')(p\cdot p')+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,$
	$={\frac {8e^{4}}{s^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}t{\tfrac {1}{2}}t+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,$
	$=2e^{4}{\frac {t^{2}+u^{2}}{s^{2}}}\,$

(Это пропорционально $(1+\cos ^{2}\theta )$где $\theta$ — угол рассеяния в системе центра масс.)

Решение

Оценка интерференционного члена по тем же правилам и добавление трех членов дает окончательный результат.

${\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,$

Упрощение шагов

Отношения полноты

Отношения полноты для четырехспиноров u и v имеют вид

$\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/+m\,$

$\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/-m\,$

где

$p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,$ (см. обозначение косой черты Фейнмана )

${\bar {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}\,$

Отследить личности

Основная статья: Отследить личности

Чтобы упростить след гамма-матриц Дирака , необходимо использовать тождества следа. В этой статье используются три:

1. След любого произведения числа нечетного $\gamma _{\mu }\,$'s - ноль
2. $\operatorname {Tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }$
3. $\operatorname {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)=4\left(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\right)\,$

Используя эти два, можно обнаружить, что, например,

$\operatorname {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\right)\,$	$=\operatorname {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\right)+\operatorname {Tr} \left(m\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\right)\,$
	$+\operatorname {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }m\gamma _{\nu }\right)+\operatorname {Tr} \left(m^{2}\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right)\,$
	(два средних члена равны нулю из-за (1))
	$=\operatorname {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\right)+m^{2}\operatorname {Tr} \left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right)\,$
	(используйте тождество (2) для термина справа)
	$={p'}^{\rho }p^{\sigma }\operatorname {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)+m^{2}\cdot 4\eta _{\mu \nu }\,$
	(теперь используйте тождество (3) для термина слева)
	$={p'}^{\rho }p^{\sigma }4\left(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\,$
	$=4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\mu }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\,$

Использует

Рассеяние Бхабхи использовалось в качестве монитора светимости в ряде исследований. ⁺ и ⁻ коллайдерные эксперименты по физике. Точное измерение светимости необходимо для точных измерений поперечных сечений.

Малоугловое рассеяние Бабы использовалось для измерения светимости Стэнфордского большого детектора (SLD) в 1993 году с относительной погрешностью менее 0,5%.

Электрон-позитронные коллайдеры, работающие в области низколежащих адронных резонансов (от 1 до 10 ГэВ), такие как Пекинский электрон-позитронный коллайдер II и эксперименты «B-фабрика» Belle и BaBar , используют широкоугловую систему Bhabha. рассеяние как монитор светимости. следующего за ведущим порядком Чтобы достичь желаемой точности на уровне 0,1%, экспериментальные измерения необходимо сравнить с теоретическими расчетами, включая радиационные поправки . Высокоточное измерение полного адронного сечения при таких низких энергиях является решающим вкладом в теоретические расчеты аномального магнитного дипольного момента мюона выходящих , который используется для ограничения суперсимметрии и других физических моделей, за рамки Стандартной модели .

Ссылки

• Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-88741-2 .
• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1994). Введение в квантовую теорию поля . Издательство Персей. ISBN  0-201-50397-2 .
• Рассеяние бхабх на arxiv.org