Перенормировка

Перенормировка — это набор методов квантовой теории поля , статистической теории поля и теории самоподобных геометрических структур, которые используются для обработки бесконечностей , возникающих в расчетных величинах, путем изменения значений этих величин для компенсации эффектов их самодействия. . Но даже если бы бесконечности не возникали в петлевых диаграммах квантовой теории поля, можно было бы показать, что необходимо перенормировать массу и поля, входящие в исходный лагранжиан .

Например, электронная теория может начаться с постулирования электрона с начальной массой и зарядом. В квантовой теории поля облако виртуальных частиц , таких как фотоны , позитроны и другие, окружает первоначальный электрон и взаимодействует с ним. Учет взаимодействий окружающих частиц (например, столкновений при разных энергиях) показывает, что электронная система ведет себя так, как если бы она имела другую массу и заряд, чем предполагалось изначально. В этом примере перенормировка математически заменяет первоначально постулированные массу и заряд электрона экспериментально наблюдаемыми массой и зарядом. Математика и эксперименты доказывают, что позитроны и более массивные частицы, такие как протоны, обладают точно таким же наблюдаемым зарядом, что и электрон – даже при наличии гораздо более сильных взаимодействий и более интенсивных облаков виртуальных частиц.

Перенормировка определяет взаимосвязи между параметрами теории, когда параметры, описывающие большие масштабы расстояний, отличаются от параметров, описывающих малые масштабы расстояний. Физически скопление вкладов от бесконечности масштабов, участвующих в задаче, может затем привести к дальнейшей бесконечности. При описании пространства-времени как континуума некоторые статистические и квантовомеханические конструкции не имеют четкого определения . Чтобы определить их или сделать их однозначными, предел континуума должен тщательно удалить «строительные леса» решеток в различных масштабах. Процедуры перенормировки основаны на требовании, чтобы определенные физические величины (например, масса и заряд электрона) были равны наблюдаемым (экспериментальным) значениям. То есть экспериментальное значение физической величины дает практическое применение, но из-за своей эмпирической природы наблюдаемое измерение представляет собой области квантовой теории поля, которые требуют более глубокого вывода из теоретических основ.

Перенормировка была впервые разработана в квантовой электродинамике (КЭД) для понимания бесконечных интегралов в теории возмущений . Первоначально даже некоторые из ее создателей считали перенормировку подозрительной временной процедурой, но в конечном итоге она была принята как важный и самосогласованный реальный механизм масштабной физики в нескольких областях физики и математики . Несмотря на свой более поздний скептицизм, именно Поль Дирак был пионером перенормировки.

Сегодня точка зрения изменилась: на основе прорывных о группе перенормировки идей Николая Боголюбова и Кеннета Уилсона основное внимание уделяется изменению физических величин в смежных масштабах, в то время как удаленные масштабы связаны друг с другом посредством «эффективных» описаний. . Все масштабы связаны в широком систематическом смысле, и реальная физика, относящаяся к каждому, извлекается с помощью подходящих конкретных вычислительных методов, подходящих для каждого. Уилсон пояснил, какие переменные системы являются решающими, а какие избыточными.

Ренормализация отличается от регуляризации , другого метода управления бесконечностями, предполагающего существование новой неизвестной физики в новых масштабах.

Самодействия в классической физике

Рисунок 1. Перенормировка в квантовой электродинамике. Простое взаимодействие электрона и фотона, определяющее заряд электрона в одной точке перенормировки, оказывается, состоит из более сложных взаимодействий в другой.

Проблема бесконечностей впервые возникла в классической электродинамике точечных частиц в XIX — начале XX века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле ( электромагнитную массу ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса r _e . Масса-энергия в поле равна

$m_{\text{em}}=\int {\frac {1}{2}}E^{2}\,dV=\int _{r_{\text{e}}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {q}{4\pi r^{2}}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {q^{2}}{8\pi r_{\text{e}}}},$

который становится бесконечным при r _e → 0 . Это означает, что точечная частица будет иметь бесконечную инерцию и, следовательно, не может быть ускорена. Кстати, значение r _e , которое делает $m_{\text{em}}$ равный массе электрона, называется классическим радиусом электрона , который (полагая $q=e$ и восстанавливающие факторы c и $\varepsilon _{0}$) оказывается

$r_{\text{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}}=\alpha {\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}\approx 2.8\times 10^{-15}~{\text{m}},$

где $\alpha \approx 1/137$ – константа тонкой структуры , а $\hbar /(m_{\text{e}}c)$ – приведенная комптоновская длина волны электрона.

Перенормировка: общая эффективная масса сферической заряженной частицы включает фактическую голую массу сферической оболочки (в дополнение к упомянутой выше массе, связанной с ее электрическим полем). Если чистая масса оболочки может быть отрицательной, возможно, можно будет принять последовательный предел в баллах. Это называлось перенормировкой , и Лоренц и Абрахам попытались таким образом разработать классическую теорию электрона. Эта ранняя работа послужила вдохновением для последующих попыток регуляризации и перенормировки в квантовой теории поля.

(См. также регуляризацию (физику) для альтернативного способа удаления бесконечностей из этой классической проблемы, предполагая, что новая физика существует в малых масштабах.)

При расчете электромагнитных взаимодействий заряженных частиц возникает соблазн игнорировать обратную реакцию собственного поля частицы на саму себя. (Аналогично обратной ЭДС при анализе цепей.) Но эта обратная реакция необходима для объяснения трения заряженных частиц, когда они излучают излучение. Если предположить, что электрон представляет собой точку, значение обратной реакции расходится по той же причине, по которой расходится масса, потому что поле имеет форму обратного квадрата .

Теория Абрахама-Лоренца имела некаузальное «предускорение». Иногда электрон начинал двигаться до того, как была приложена сила. Это признак того, что предел баллов не соответствует действительности.

Проблема была хуже в классической теории поля, чем в квантовой теории поля, потому что в квантовой теории поля заряженная частица испытывает Zitterbewegung из-за интерференции с виртуальными парами частица-античастица, тем самым эффективно размазывая заряд в области, сравнимой с комптоновской длиной волны. В квантовой электродинамике при малой связи электромагнитная масса расходится только как логарифм радиуса частицы.

Расхождения в квантовой электродинамике

(а) Поляризация вакуума, или экранирование заряда. Эта петля имеет логарифмическую ультрафиолетовую расходимость.

(б) Диаграмма собственной энергии в КЭД

(в) Пример диаграммы «пингвин»

При разработке квантовой электродинамики в 1930-х годах Макс Борн , Вернер Гейзенберг , Паскуаль Джордан и Поль Дирак обнаружили, что в пертурбативных поправках многие интегралы расходятся (см. «Проблему бесконечностей »).

Один из способов описания расходимости поправок теории возмущений был открыт в 1947–49 годах Гансом Крамерсом : Ганс Бете , Джулиан Швингер , Ричард Фейнман , и Синъитиро Томонага , и систематизирован Фрименом Дайсоном в 1949 году. Расходимости возникают в радиационных поправках, включающих диаграммы Фейнмана с замкнутыми контурами виртуальных частиц в них.

Хотя виртуальные частицы подчиняются сохранению энергии и импульса , они могут иметь любую энергию и импульс, даже ту, которая не допускается релятивистским соотношением энергии и импульса для наблюдаемой массы этой частицы (т. е. $E^{2}-p^{2}$не обязательно является квадратом массы частицы в этом процессе, например, для фотона она может быть ненулевой). Такая частица называется внеоболочковой . При наличии петли импульс частиц, участвующих в петле, не определяется однозначно энергиями и импульсами входящих и выходящих частиц. Изменение энергии одной частицы в петле может быть уравновешено равным и противоположным изменением энергии другой частицы в петле, не затрагивая входящие и выходящие частицы. Таким образом, возможны многие вариации. Таким образом, чтобы найти амплитуду петлевого процесса, необходимо проинтегрировать все возможные комбинации энергии и импульса, которые могут перемещаться по петле.

Эти интегралы часто расходятся , то есть дают бесконечные ответы. Наиболее существенными являются « ультрафиолетовые » (УФ) расхождения. Ультрафиолетовое расхождение можно описать как расхождение, возникающее из-за

• область в интеграле, где все частицы в петле имеют большие энергии и импульсы,
• очень короткие волны и высокочастотные флуктуации полей, в интеграле по траектории поля,
• очень короткое собственное время между испусканием и поглощением частиц, если рассматривать петлю как сумму по траекториям частиц.

Итак, эти расхождения — это кратковременные явления на небольшом расстоянии.

На рисунках справа показано, что в квантовой электродинамике существует ровно три однопетлевые расходящиеся петлевые диаграммы:

(а) Фотон создает виртуальную пару электрон- позитрон , которая затем аннигилирует. Это диаграмма поляризации вакуума .

(б) Электрон быстро испускает и поглощает виртуальный фотон, называемый собственной энергией .

(в) Электрон испускает фотон, испускает второй фотон и поглощает первый. Этот процесс показан в разделе ниже на рисунке 2 и называется перенормировкой вершин . Диаграмму Фейнмана для этого еще называют « диаграммой пингвина » из-за ее формы, отдаленно напоминающей пингвина.

Три расходимости соответствуют трем параметрам рассматриваемой теории:

1. Нормализация поля З.
2. Масса электрона.
3. Заряд электрона.

Второй класс расходимости, называемый инфракрасной расходимостью , обусловлен безмассовыми частицами, такими как фотон. Каждый процесс, в котором участвуют заряженные частицы, излучает бесконечное количество когерентных фотонов бесконечной длины волны, а амплитуда излучения любого конечного числа фотонов равна нулю. Для фотонов эти расхождения хорошо понятны. Например, в 1-петлевом порядке вершинная функция имеет как ультрафиолетовую, так и инфракрасную расходимости. В отличие от ультрафиолетовой расходимости, инфракрасная расходимость не требует перенормировки параметра рассматриваемой теории. Инфракрасная расходимость вершинной диаграммы устраняется путем включения диаграммы, аналогичной вершинной диаграмме, со следующим важным отличием: фотон, соединяющий две ножки электрона, отсекается и заменяется двумя фотонами на оболочке (то есть реальными), чьи длины волн имеют тенденцию до бесконечности; эта диаграмма эквивалентна процессу тормозного излучения . Эту дополнительную диаграмму необходимо включить, поскольку не существует физического способа отличить фотон с нулевой энергией, проходящий через петлю, как на вершинной диаграмме, и фотоны с нулевой энергией, испускаемые через петлю. тормозное излучение . С математической точки зрения ИК-расхождения можно регуляризовать, предположив дробное дифференцирование по параметру, например:

$\left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

хорошо определен при p = a , но расходится в УФ-диапазоне; если мы возьмем 3 ⁄ 2 -я дробная производная по − a ² , получим ИК-расхождение

${\frac {1}{p^{2}-a^{2}}},$

поэтому мы можем вылечить ИК-расхождения, превратив их в УФ-расхождения.

Расхождение петли

Рис. 2. Диаграмма, способствующая электрон-электронному рассеянию в КЭД. Петля имеет ультрафиолетовую расходимость.

Диаграмма на рисунке 2 показывает один из нескольких однопетлевых вкладов в электрон-электронное рассеяние в КЭД. Электрон в левой части диаграммы, представленный сплошной линией, начинается с 4-импульса p ^м и в итоге получаем 4-импульс r ^м . Он испускает виртуальный фотон, несущий r ^м − п ^м для передачи энергии и импульса другому электрону. Но на этой диаграмме, прежде чем это произойдет, он испускает еще один виртуальный фотон, несущий 4-импульс q. ^м , и он поглощает его после испускания другого виртуального фотона. Сохранение энергии и импульса не определяет 4-импульс q ^м уникальны, поэтому все возможности вносят одинаковый вклад, и мы должны интегрироваться.

Амплитуда этой диаграммы, помимо прочего, определяется коэффициентом из цикла

$-ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.$

Различные γ ^м множителями в этом выражении являются гамма-матрицы, как в ковариантной формулировке уравнения Дирака ; они связаны со спином электрона. Коэффициенты e представляют собой константу электрической связи, а $i\epsilon$дать эвристическое определение контура интегрирования вокруг полюсов в пространстве импульсов. Важной частью для наших целей является зависимость от q ^м из трех больших множителей в подынтегральном выражении, которые исходят от распространителей двух электронных линий и фотонной линии в петле.

Здесь есть фигура с двумя степенями q. ^м сверху, которая доминирует при больших значениях q ^м (Покорский 1987, стр. 122):

$e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.$

Этот интеграл расходится и бесконечен, если только мы каким-то образом не обрежем его при конечной энергии и импульсе.

Подобные расходимости петель встречаются и в других квантовых теориях поля.

Перенормированные и голые величины

Решение заключалось в том, чтобы осознать, что величины, первоначально возникающие в формулах теории (такие как формула для лагранжиана электрона ), представляющие такие вещи, как электрический заряд и масса , а также нормировки самих квантовых полей, на самом деле не соответствуют физическим константам, измеренным в лаборатории. Как было написано, это были голые величины, которые не учитывали вклад эффектов петли виртуальных частиц в сами физические константы . Среди прочего, эти эффекты будут включать в себя квантовый аналог обратной электромагнитной реакции, которая так раздражала классических теоретиков электромагнетизма. В общем, эти эффекты будут столь же расходящимися, как и рассматриваемые амплитуды; поэтому конечные измеряемые величины, как правило, подразумевают расходящиеся голые величины.

Тогда, чтобы войти в контакт с реальностью, формулы придется переписать в терминах измеримых перенормированных величин. Скажем, заряд электрона будет определяться в терминах величины, измеренной в определенной кинематической точке перенормировки или точке вычитания (которая обычно будет иметь характеристическую энергию, называемую шкалой перенормировки или просто шкалой энергии ). Оставшиеся части лагранжиана, включающие в себя оставшиеся части исходных величин, можно было бы тогда переинтерпретировать как контрчлены , участвующие в расходящихся диаграммах, точно компенсирующие неприятные расхождения для других диаграмм.

Перенормировка в КЭД

Рисунок 3. Вершина, соответствующая контрчлену Z ₁ , компенсирует расхождение на рисунке 2.

Например, в лагранжиане КЭД

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }$

поля и константа связи на самом деле являются простыми величинами, отсюда и нижний индекс B выше. Обычно голые величины записываются так, что соответствующие члены Лагранжа кратны перенормированным:

$\left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi$

$\left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi$

$\left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.$

Калибровочная инвариантность , посредством тождества Уорда – Такахаши , означает, что мы можем перенормировать два члена ковариантной производной части.

${\bar {\psi }}(\partial +ieA)\psi$

вместе (Pokorski 1987, стр. 115), что и произошло с Z ₂ ; это то же самое, что Z ₁ .

Тогда член этого лагранжиана, например, электрон-фотонное взаимодействие, изображенное на рисунке 1, можно записать

${\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi$

Физическую константу e , заряд электрона, можно тогда определить в терминах какого-то конкретного эксперимента: мы устанавливаем масштаб перенормировки равным энергетической характеристике этого эксперимента, а первый член дает взаимодействие, которое мы наблюдаем в лаборатории (с точностью до малых , конечные поправки из петлевых диаграмм, дающие такую ​​экзотику, как поправки высокого порядка к магнитному моменту ). Остальное — контртермин. Если теория перенормируема (подробнее об этом см. ниже), как это происходит в КЭД, все расходящиеся части петлевых диаграмм можно разложить на части с тремя или меньшим количеством ветвей с алгебраической формой, которая может быть сокращена вторым термином (или аналогичными контртермами, происходящими от Z ₀ и Z ₃ ).

Диаграмма с вершиной взаимодействия контрчлена Z ₁ , расположенной, как на рисунке 3, компенсирует расхождение с петлей на рисунке 2.

Исторически сложилось так, что разделение «голых членов» на исходные условия и контрчлены произошло до того, о группе ренормализации пришел к выводу как Кеннет Уилсон . Согласно представлениям такой группы ренормализации , подробно описанным в следующем разделе, это расщепление является неестественным и фактически нефизическим, поскольку все масштабы проблемы возникают непрерывным систематическим образом.

Ходовые муфты

Чтобы минимизировать вклад петлевых диаграмм в данный расчет (и, следовательно, облегчить извлечение результатов), выбирают точку перенормировки, близкую к энергиям и импульсам, которыми обмениваются при взаимодействии. Однако точка перенормировки сама по себе не является физической величиной: физические предсказания теории, рассчитанные для всех порядков, в принципе должны быть независимыми от выбора точки перенормировки, пока она находится в области применения теории. Изменения масштаба перенормировки просто повлияют на то, какая часть результата будет получена из диаграмм Фейнмана без петель, а какая — из оставшихся конечных частей петлевых диаграмм. Этот факт можно использовать для расчета эффективного изменения физических констант при изменении масштаба. Это изменение кодируется бета-функциями , а общая теория такого рода масштабной зависимости известна как ренормгруппа .

В разговорной речи физики элементарных частиц часто говорят об определенных физических «константах», которые изменяются в зависимости от энергии взаимодействия, хотя на самом деле независимой величиной является масштаб перенормировки. Однако этот подход дает удобный способ описания изменений в поведении теории поля при изменении энергий, участвующих во взаимодействии. Например, поскольку связь в квантовой хромодинамике становится малой при больших масштабах энергии, теория ведет себя скорее как свободная теория, когда энергия, обмениваемая при взаимодействии, становится большой – явление, известное как асимптотическая свобода . Выбор возрастающей шкалы энергии и использование ренормгруппы проясняют это из простых диаграмм Фейнмана; если бы этого не было сделано, предсказание было бы таким же, но возникло бы в результате сложных сокращений высокого порядка.

Например,

$I=\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}\,dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}\,dz=\ln a-\ln b-\ln 0+\ln 0$

является неопределенным.

Чтобы устранить расхождение, просто замените нижний предел интеграла на ε _a и ε _b :

$I=\ln a-\ln b-\ln {\varepsilon _{a}}+\ln {\varepsilon _{b}}=\ln {\tfrac {a}{b}}-\ln {\tfrac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}$

Убедиться ε _b / ε _a → 1 , то I = ln а / б .

Регуляризация

Поскольку величина ∞ − ∞ плохо определена, чтобы сделать это понятие сокращения расхождений точным, расхождения сначала должны быть укрощены математически, используя теорию пределов , в процессе, известном как регуляризация (Weinberg, 1995).

По сути произвольная модификация петлевых подынтегральных выражений или регулятора может заставить их падать быстрее при высоких энергиях и импульсах, таким образом, что интегралы сходятся. Регулятор имеет характерную шкалу энергии, известную как отсечка ; доведение этого ограничения до бесконечности (или, что то же самое, до нуля соответствующей шкалы длины/времени) восстанавливает исходные интегралы.

При наличии регулятора и конечном значении обрезания расходящиеся члены в интегралах превращаются в конечные, но зависящие от обрезания члены. После исключения этих членов с вкладами контрчленов, зависящих от обрезания, обрезание переводится на бесконечность и восстанавливаются конечные физические результаты. Если физика в масштабах, которые мы можем измерить, не зависит от того, что происходит на самых коротких расстояниях и в масштабах времени, тогда можно будет получить независимые от обрезания результаты для вычислений.

В расчетах по квантовой теории поля используется множество различных типов регуляторов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Одним из наиболее популярных в современном использовании является размерная регуляризация , изобретенная Герардусом 'т Хоофтом и Мартинусом Дж. Г. Вельтманом . который укрощает интегралы, перенося их в пространство с фиктивным дробным числом измерений. Другой вариант — регуляризация Паули-Вилларса , которая добавляет в теорию фиктивные частицы с очень большими массами, так что петлевые подынтегральные выражения, включающие массивные частицы, компенсируют существующие петли при больших импульсах.

Еще одна схема регуляризации — это решеточная регуляризация , предложенная Кеннетом Уилсоном , которая утверждает, что гиперкубическая решетка строит наше пространство-время с фиксированным размером сетки. Этот размер является естественным ограничением максимального импульса, которым может обладать частица при распространении по решетке. И после выполнения вычислений на нескольких решетках с разным размером сетки физический результат экстраполируется на размер сетки 0 или нашу естественную Вселенную. Это предполагает существование предела масштабирования .

Строгим математическим подходом к теории перенормировки является так называемая теория причинных возмущений , в которой ультрафиолетовые расходимости избегаются с самого начала в расчетах путем выполнения четко определенных математических операций только в рамках теории распределения . В этом подходе расхождения заменяются неоднозначностью: расходящейся диаграмме соответствует член, который теперь имеет конечный, но неопределенный коэффициент. Затем для уменьшения или устранения двусмысленности необходимо использовать другие принципы, такие как калибровочная симметрия.

Регуляризация дзета-функции

Джулиан Швингер обнаружил отношения между регуляризацией и перенормировкой дзета-функции , используя асимптотическое соотношение:

$I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dp\,p^{n}\sim 1+2^{n}+3^{n}+\cdots +\Lambda ^{n}\to \zeta (-n)$

как регулятор Λ → ∞ . Основываясь на этом, он рассмотрел возможность использования значений ζ (− n ) для получения конечных результатов. Хотя он достиг противоречивых результатов, улучшенная формула, изученная Хартлом , Дж. Гарсиа и основанная на работах Э. Элизальде, включает технику дзета-регуляризации алгоритма .

$I(n,\Lambda )={\frac {n}{2}}I(n-1,\Lambda )+\zeta (-n)-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}a_{n,r}(n-2r+1)I(n-2r,\Lambda ),$

где B — числа Бернулли , а

$a_{n,r}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-2r+2)}}.$

Таким образом, каждый I ( m , Λ) может быть записан как линейная комбинация ζ (−1), ζ (−3), ζ (−5), ..., ζ (− m ) .

Или просто используя формулу Абеля – Планы, которую мы имеем для каждого расходящегося интеграла:

$\zeta (-m,\beta )-{\frac {\beta ^{m}}{2}}-i\int _{0}^{\infty }dt{\frac {(it+\beta )^{m}-(-it+\beta )^{m}}{e^{2\pi t}-1}}=\int _{0}^{\infty }dp\,(p+\beta )^{m}$

действительно, когда m > 0 . Здесь дзета-функция — это дзета-функция Гурвица , а бета — положительное действительное число.

«Геометрическая» аналогия дается (если мы используем метод прямоугольника ) для вычисления интеграла следующим образом:

$\int _{0}^{\infty }dx\,(\beta +x)^{m}\approx \sum _{n=0}^{\infty }h^{m+1}\zeta \left(\beta h^{-1},-m\right)$

Использование дзета-регуляризации Гурвица плюс метод прямоугольника с шагом h (не путать с постоянной Планка ).

Логарифмический расходящийся интеграл имеет регуляризацию

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a)+\log(a)$

поскольку для серии Harmonic $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+1}}$ в пределе $a\to 0$ мы должны восстановить сериал $\sum _{n=0}^{\infty }1=1/2$

Для многопетлевых интегралов , которые будут зависеть от нескольких переменных $k_{1},\cdots ,k_{n}$ мы можем сделать замену переменных на полярные координаты, а затем заменить интеграл по углам $\int d\Omega$ суммой, поэтому мы имеем только расходящийся интеграл, который будет зависеть от модуля $r^{2}=k_{1}^{2}+\cdots +k_{n}^{2}$ и тогда мы сможем применить алгоритм дзета-регуляризации, основная идея многопетлевых интегралов состоит в замене множителя $F(q_{1},\cdots ,q_{n})$после перехода к гиперсферическим координатам F ( r , Ω) , поэтому перекрывающиеся УФ-расхождения кодируются в переменной r . Для регуляризации этих интегралов необходим регулятор, для случая многопетлевых интегралов этот регулятор можно принять как

$\left(1+{\sqrt {q}}_{i}q^{i}\right)^{-s}$

поэтому многопетлевой интеграл будет сходиться для достаточно больших s с использованием дзета-регуляризации. Мы можем аналитически продолжить переменную s до физического предела, где s = 0 , а затем регуляризовать любой УФ-интеграл, заменив расходящийся интеграл линейной комбинацией расходящихся рядов. , который можно регуляризовать в терминах отрицательных значений дзета-функции Римана ζ (− m ) .

и

Ранние создатели КЭД и других квантовых теорий поля, как правило, были недовольны таким положением дел. Казалось незаконным делать что-то, равносильное вычитанию бесконечностей из бесконечностей, чтобы получить конечные ответы.

Фримен Дайсон утверждал, что эти бесконечности имеют фундаментальную природу и не могут быть устранены никакими формальными математическими процедурами, такими как метод перенормировки.

Критика Дирака была самой настойчивой. Еще в 1975 году он говорил:

Большинство физиков очень довольны ситуацией. Они говорят: «Квантовая электродинамика — хорошая теория, и нам больше не о чем беспокоиться». Должен сказать, что я очень недоволен сложившейся ситуацией, поскольку эта так называемая «хорошая теория» предполагает пренебрежение бесконечностями, которые появляются в ее уравнениях, игнорирование их произвольным образом. Это просто не разумная математика. Разумная математика предполагает пренебрежение величиной, когда она мала, а не пренебрежение ею только потому, что она бесконечно велика, а вам это не нужно!

Другим важным критиком был Фейнман . Несмотря на свою решающую роль в развитии квантовой электродинамики, в 1985 году он написал следующее:

Игра-оболочка, в которую мы играем, чтобы найти n и j , технически называется «перенормировкой». Но каким бы умным ни было это слово, я бы все равно назвал этот процесс тупым! Необходимость прибегать к такому фокусу-покусу помешала нам доказать, что теория квантовой электродинамики математически непротиворечива. Удивительно, что теория так или иначе до сих пор не доказала свою непротиворечивость; Я подозреваю, что перенормировка математически незаконна.

Фейнмана беспокоило то, что все теории поля, известные в 1960-х годах, обладали свойством, заключающимся в том, что взаимодействия становятся бесконечно сильными на достаточно коротких масштабах расстояний. Это свойство, названное полюсом Ландау , сделало возможным, что все квантовые теории поля противоречивы. В 1974 году Гросс , Политцер и Вильчек показали, что другая квантовая теория поля — квантовая хромодинамика — не имеет полюса Ландау. Фейнман, как и большинство других, признал, что КХД является полностью последовательной теорией.

Общее беспокойство было почти повсеместным в текстах вплоть до 1970-х и 1980-х годов. Однако, начиная с 1970-х годов, вдохновленные работами над ренормгруппой и эффективной теорией поля , и несмотря на то, что Дирак и ряд других — все они принадлежали к старшему поколению — никогда не отказывались от своей критики, отношение начало меняться, особенно среди молодые теоретики. Кеннет Г. Уилсон и другие продемонстрировали, что ренормгруппа полезна в статистической теории поля, применяемой к физике конденсированного состояния , где она дает важное понимание поведения фазовых переходов . В физике конденсированного состояния существует физический регулятор ближнего действия: материя перестает быть непрерывной в масштабе атомов . Расхождения на малых расстояниях в физике конденсированного состояния не представляют собой философской проблемы, поскольку теория поля в любом случае является лишь эффективным, сглаженным представлением поведения вещества; бесконечностей нет, поскольку обрезание всегда конечно, и вполне логично, что голые величины зависят от обрезания.

Если КТП сохраняется вплоть до планковской длины (где она может уступить место теории струн , теории причинных множеств не может быть реальной проблемы с расхождениями на малых расстояниях или чему-то другому), то в физике частиц также ; все теории поля могли бы быть просто эффективными теориями поля. В некотором смысле этот подход перекликается со старым подходом, согласно которому расхождения в КТП говорят о человеческом незнании механизмов действия природы, но также признает, что это незнание можно измерить количественно и что полученные в результате эффективные теории остаются полезными.

Как бы то ни было, Салама замечание в 1972 году кажется все еще актуальным

Теоретико-полевые бесконечности, впервые обнаруженные Лоренцем при вычислении собственной массы электрона, сохраняются в классической электродинамике уже семьдесят лет, а в квантовой электродинамике - около тридцати пяти лет. Эти долгие годы разочарований оставили у субъекта любопытную привязанность к бесконечностям и страстную веру в то, что они являются неизбежной частью природы; настолько, что даже предположение о надежде на то, что их, в конце концов, можно обойти — и вычислить конечные значения констант перенормировки — считается иррациональным. Сравните постскриптум Рассела к третьему тому его автобиографии «Последние годы, 1944–1969» (George Allen and Unwin, Ltd., Лондон, 1969): п. 221:

В современном мире если сообщества несчастны, то это часто происходит потому, что у них есть невежество, привычки, убеждения и страсти, которые им дороже, чем счастье или даже жизнь. В наш опасный век я встречаю многих людей, которые, кажется, влюблены в несчастье и смерть и злятся, когда им внушают надежду. Они думают, что надежда иррациональна и что, предавшись ленивому отчаянию, они просто смотрят в лицо фактам.

В КТП значение физической константы, как правило, зависит от масштаба, выбранного в качестве точки перенормировки, и становится очень интересно изучить поведение физических констант в ренормгруппе при изменении шкалы энергии. Константы связи в Стандартной модели физики элементарных частиц изменяются по-разному с увеличением масштаба энергии: связь квантовой хромодинамики и слабая изоспиновая связь электрослабого взаимодействия имеют тенденцию уменьшаться, а слабая гиперзарядовая связь электрослабого взаимодействия имеет тенденцию увеличиваться. В колоссальной энергетической шкале 10 ¹⁵ ГэВ (далеко за пределами досягаемости наших нынешних ускорителей частиц ), все они становятся примерно одинакового размера (Гротц и Клапдор 1990, стр. 254), что является основным мотивом для спекуляций о теории великого объединения . Вместо того, чтобы быть просто тревожной проблемой, перенормировка стала важным теоретическим инструментом для изучения поведения теорий поля в различных режимах.

Если теорию, включающую перенормировку (например, КЭД), можно разумно интерпретировать только как эффективную теорию поля, то есть как приближение, отражающее человеческое невежество о механизме действия природы, тогда остается проблема открытия более точной теории, которая не имеет этих проблем перенормировки. . Как выразился Льюис Райдер : «В квантовой теории эти [классические] расхождения не исчезают; наоборот, они, по-видимому, ухудшаются. И, несмотря на сравнительный успех теории перенормировки, остается ощущение, что должно существовать более удовлетворительный способ ведения дел».

Перенормируемость

Из этой философской переоценки естественным образом вытекает новая концепция: понятие перенормируемости. Не все теории поддаются перенормировке описанным выше способом с конечным запасом контрчленов и тем, что в конце расчета все величины становятся независимыми от обрезания. Если лагранжиан содержит комбинации операторов поля достаточно высокой размерности в единицах энергии, то контрчлены, необходимые для устранения всех расходимостей, размножаются до бесконечности, и, на первый взгляд, может показаться, что теория обретает бесконечное число свободных параметров и, следовательно, теряет все предсказательная сила, становясь бесполезными с научной точки зрения. Такие теории называются неперенормируемыми .

Стандартная модель физики элементарных частиц содержит только перенормируемые операторы, но взаимодействия общей теории относительности становятся неперенормируемыми операторами, если попытаться построить теорию поля квантовой гравитации самым простым способом (рассматривая метрику в лагранжиане Эйнштейна–Гильберта как возмущение относительно метрика Минковского ), предполагая, что теория возмущений неудовлетворительна в применении к квантовой гравитации.

Однако в эффективной теории поля термин «перенормируемость», строго говоря, является неправильным . В неперенормируемой эффективной теории поля члены лагранжиана действительно умножаются до бесконечности, но имеют коэффициенты, подавляемые все более экстремальными обратными степенями ограничения энергии. Если обрезание является реальной физической величиной, то есть если теория представляет собой лишь эффективное описание физики до некоторого масштаба максимальной энергии или минимального расстояния, то эти дополнительные члены могут представлять реальные физические взаимодействия. Предполагая, что безразмерные константы в теории не становятся слишком большими, можно сгруппировать вычисления по обратным степеням обрезания и извлечь приблизительные предсказания с конечным порядком в обрезании, которые все еще имеют конечное число свободных параметров. Может быть даже полезно перенормировать эти «неперенормируемые» взаимодействия.

Неперенормируемые взаимодействия в эффективных теориях поля быстро становятся слабее, когда масштаб энергии становится намного меньше обрезания. Классическим примером является Ферми теория слабого ядерного взаимодействия , неперенормируемая эффективная теория, обрезание которой сравнимо с массой W. частицы Этот факт также может дать возможное объяснение того, почему почти все наблюдаемые нами взаимодействия частиц можно описать с помощью перенормируемых теорий. Возможно, что любые другие, которые могут существовать в масштабе Великого Объединения или Планка, просто становятся слишком слабыми, чтобы их можно было обнаружить в области, которую мы можем наблюдать, за одним исключением: гравитацией , чрезвычайно слабое взаимодействие которой усиливается присутствием огромных масс звезд звезд и . планеты .

Схемы перенормировки

В реальных расчетах контрчлены, введенные для устранения расхождений в расчетах диаграмм Фейнмана за пределами уровня дерева, должны быть зафиксированы с использованием набора условий перенормировки . Общие используемые схемы перенормировки включают:

• Схема минимального вычитания (MS) и связанная с ней модифицированная схема минимального вычитания (MS-bar)
• Схема на корпусе

Кроме того, существует «естественное» определение перенормированной связи (в сочетании с пропагатором фотонов) как распространителя дуальных свободных бозонов, не требующее явного введения контрчленов.

В статистической физике

История

Более глубокое понимание физического смысла и обобщение Процесс перенормировки, выходящий за пределы группы дилатации обычных перенормируемых теорий, пришел из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова в 1966 году была предложена ренормгруппа «блочного спина». — Идея блокировки это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку и получил полное вычислительное содержание. в обширном важном вкладе Кеннета Уилсона . Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итерационным перенормировочным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1974 году, а также предыдущими плодотворными разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений. в 1971 году. За этот решающий вклад в 1982 году он был удостоен Нобелевской премии.

Принципы

Говоря более техническим языком, давайте предположим, что у нас есть теория, описанная по определенной функции $Z$ переменных состояния $\{s_{i}\}$ и некоторый набор констант связи $\{J_{k}\}$. Эта функция может быть функцией секционирования . действие и , гамильтониан т. д. Оно должно содержать полное описание физики системы.

Теперь рассмотрим некое блокирующее преобразование состояния переменные $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$, количество ${\tilde {s}}_{i}$ должно быть меньше, чем количество $s_{i}$. Теперь попробуем переписать $Z$ функционировать только с точки зрения ${\tilde {s}}_{i}$. Если это достижимо с помощью определенное изменение параметров, $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$, то говорят, что теория перенормируемый .

Возможный макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набор фиксированных точек.

Фиксированные точки группы ренормализации

Самая важная информация в потоке РГ — это его неподвижные точки . Неподвижная точка определяется исчезновением бета-функции , связанной с потоком. Тогда неподвижные точки ренормгруппы по определению масштабно-инвариантны. Во многих случаях, представляющих физический интерес, масштабная инвариантность переходит в конформную инвариантность. Тогда возникает конформная теория поля в фиксированной точке .

Способность нескольких теорий стекаться к одной и той же фиксированной точке приводит к универсальности .

Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность . Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом.

См. также

• История квантовой теории поля
• Квантовая тривиальность
• Парадоксы Зенона

Дальнейшее чтение

Общее введение

• ДеДео, Саймон; Введение в перенормировку (2017). МООК Института Санта-Фе «Исследование сложности». Перенормировка с точки зрения сложных систем, включая цепи Маркова, клеточные автоматы, модель Изинга в реальном пространстве, теорему Крона-Родса, КЭД и теорию искажения скорости.
• Деламотт, Бертран (2004). «Намек на перенормировку». Американский журнал физики . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th/0212049 . Бибкод : 2004AmJPh..72..170D . дои : 10.1119/1.1624112 . S2CID   2506712 .
• Баэз, Джон; Перенормировка стала проще (2005). Качественное введение в тему.
• Блехман, Эндрю Э.; Ренормализация: наш совершенно непонятый друг (2002). Краткое содержание лекции; содержит дополнительную информацию о конкретных схемах регуляризации и вычитания дивергенций.
• Цао, Тянь Юй; Швебер, Сильван С. (1993). «Концептуальные основы и философские аспекты теории перенормировки». Синтезируйте . 97 : 33–108. дои : 10.1007/BF01255832 . S2CID   46968305 .
• Ширков Дмитрий ; Пятьдесят лет группы ренормализации , CERN Courrier 41(7) (2001). Полный текст доступен по адресу: Журналы IOP .
• Э. Элизальде; Методы дзета-регуляризации с помощью приложений .

: квантовая теория

• Н. Н. Боголюбов , Д. В. Ширков (1959): Теория квантованных полей . Нью-Йорк, Интерсайенс. Первый учебник по теории ренормгрупп .
• Райдер, Льюис Х.; Квантовая теория поля (издательство Кембриджского университета, 1985), ISBN   0-521-33859-X Легко читаемый учебник, безусловно, лучшее введение в релятивистскую КТП в физике элементарных частиц.
• Зи, Энтони; Квантовая теория поля в двух словах , Princeton University Press (2003) ISBN   0-691-01019-6 . Еще один отличный учебник по QFT.
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей (3 тома) Издательство Кембриджского университета (1995). Монументальный трактат по КТФ, написанный ведущим специалистом, лауреатом Нобелевской премии 1979 года .
• Покорски, Стефан; Теории калибровочного поля , издательство Кембриджского университета (1987) ISBN   0-521-47816-2 .
• 'т Хофт, Джерард; «Славные дни физики – перенормировка калибровочных теорий» , лекция, прочитанная в Эриче (август/сентябрь 1998 г.) нобелевским лауреатом 1999 г. Полный текст доступен по адресу: hep-th/9812203 .
• Ривассо, Винсент; Введение в перенормировку , Семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г. , Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003 г.) ISBN   3-7643-0579-7 . Полный текст доступен в PostScript .
• Ривассо, Винсент; От пертурбативной к конструктивной перенормировке , Princeton University Press (1991). ISBN   0-691-08530-7 . Полный текст доступен в PostScript. и в формате PDF (черновая версия) .
• Ягольницер, Дэниел и Магнен, Дж.; Ренормгрупповой анализ , Математическая энциклопедия, Kluwer Academic Publisher (1996). Полный текст доступен в PostScript и pdf здесь .
• Шарф, Гюнтер; Конечная квантовая электродинамика: причинный подход , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York (1995) ISBN   3-540-60142-2 .
• A. S. Švarc ( Albert Schwarz ), Математические основы квантовой теории поля, (Mathematical aspects of quantum field theory), Atomizdat, Moscow, 1975. 368 pp.

: статистическая

• А. Н. Васильев; Группа теоретико-полевой ренормализации в теории критического поведения и стохастической динамике (Рутледж Чепмен и Холл, 2004); ISBN   978-0-415-31002-4
• Найджел Голденфельд ; Лекции по фазовым переходам и ренормгруппе , Frontiers in Physics 85, Westview Press (июнь 1992 г.) ISBN   0-201-55409-7 . Эта популярная книга, охватывающая элементарные аспекты физики фазовых переходов и ренормгруппы, делает упор на понимание и ясность, а не на технические манипуляции.
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления , Oxford University Press (4-е издание – 2002 г.) ISBN   0-19-850923-5 . Шедевр применения методов перенормировки для расчета критических показателей в статистической механике, следующий идеям Вильсона (Кеннет Уилсон был лауреатом Нобелевской премии 1982 года ).
• Зинн-Джастин, Жан; Группа фазовых переходов и ренормализации: от теории к числам , семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г. , Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003 г.) ISBN   3-7643-0579-7 . Полный текст доступен в PostScript. Архивировано 15 октября 2005 г. на Wayback Machine .
• Домб, Кирилл; Критическая точка: историческое введение в современную теорию критических явлений , CRC Press (март 1996 г.) ISBN   0-7484-0435-X .
• Браун, Лори М. (ред.); Перенормировка: от Лоренца к Ландау (и далее) , Springer-Verlag (Нью-Йорк, 1993). ISBN   0-387-97933-6 .
• Карди, Джон ; Масштабирование и перенормировка в статистической физике , издательство Кембриджского университета (1996) ISBN   0-521-49959-3 .

Разное

• Ширков Дмитрий ; Ренормгруппа Боголюбова , Сообщение ОИЯИ Е2-96-15 (1996). Полный текст доступен по адресу: hep-th/9602024.
• Зинн-Джастин, Жан; Ренормировка и ренормгруппа: От открытия УФ-расходимостей к концепции эффективных теорий поля , в: де Витт-Моретт К., Зубер Ж.-Б. (ред.), Труды НАТО ASI по квантовой теории поля: перспектива и перспектива , 15–26 июня 1998 г., Лез Уш, Франция, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999). Полный текст доступен в PostScript .
• Конн, Ален; Симметрии Галуа и перенормировка , Семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г. , Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003 г.) ISBN   3-7643-0579-7 . Французский математик Ален Конн (медалист Филдса 1982 г.) описывает математическую основную структуру ( алгебру Хопфа ) перенормировки и ее связь с проблемой Римана-Гильберта. Полный текст (на французском языке) доступен на arXiv : math/0211199 .

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с перенормировкой, в Wikiquote