Дрожащее движение

В физике дрожащее движение ( Немецкое произношение: [ˈtsɪtɐ.bəˌveːɡʊŋ] , от немецкого zittern «дрожать, дрожать» и Bewegung «движение») — теоретическое предсказание быстрого колебательного движения элементарных частиц , подчиняющихся релятивистским волновым уравнениям . Это предсказание впервые было обсуждено Грегори Брейтом в 1928 году. а затем Эрвином Шрёдингером в 1930 году. в результате анализа волновых пакетных решений уравнения Дирака для релятивистских электронов в свободном пространстве, в которых интерференция состояний положительной и отрицательной энергии вызывает кажущееся колебание (вплоть до скорости света) положения электрона вокруг медиана с частотой угловой 2 мк ² / ℏ , или примерно 1,6 × 10 ²¹ радиан в секунду.

Это кажущееся колебательное движение часто интерпретируется как артефакт использования уравнения Дирака в описании одной частицы и исчезает при использовании квантовой теории поля . Для атома водорода zitterbewegung связан с дарвиновским членом , небольшой поправкой к энергетическому уровню s-орбиталей .

Теория

1/2

Зависящее от времени уравнение Дирака записывается как

$H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$,

где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка , $\psi (\mathbf {x} ,t)$ — волновая функция ( биспинор ) фермионной частицы со спином-1/2 , а H — гамильтониан Дирака свободной частицы :

$H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c$,

где ${\textstyle m}$ - масса частицы, ${\textstyle c}$ это скорость света , ${\textstyle p_{j}}$ — оператор импульса , а $\beta$ и $\alpha _{j}$ являются матрицами, связанными с гамма-матрицами ${\textstyle \gamma _{\mu }}$, как ${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$ и ${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$.

В картине Гейзенберга временная зависимость произвольной наблюдаемой Q подчиняется уравнению

$-i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}=\left[H,Q\right].$

В частности, зависимость оператора положения от времени определяется выражением

${\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}\left[H,x_{k}\right]=c\alpha _{k}$.

где xk _{времени} ( t ) — оператор положения в момент t .

Приведенное выше уравнение показывает, что оператор α _k можно интерпретировать как k -ю компоненту «оператора скорости».

Обратите внимание, что это означает, что

$\left\langle \left({\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}$,

как будто «среднеквадратическая скорость» во всех направлениях пространства — это скорость света.

Чтобы добавить зависимость от времени к α _k , реализуют картину Гейзенберга, которая гласит:

$\alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}$.

Зависимость оператора скорости от времени определяется выражением

$\hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)$,

где

$\sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].$

Теперь, поскольку и p _k, и H не зависят от времени, приведенное выше уравнение можно легко проинтегрировать дважды, чтобы найти явную зависимость оператора положения от времени.

Первый:

$\alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}$,

и наконец

$x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)$.

Результирующее выражение состоит из начального положения, движения, пропорционального времени, и члена колебаний с амплитудой, равной приведенной комптоновской длине волны . Этот член колебаний и есть так называемое zitterbewegung.

Интерпретация

В квантовой механике термин zitterbewegung исчезает при принятии ожидаемых значений для волновых пакетов, которые полностью состоят из волн положительной (или полностью отрицательной) энергии. Стандартную релятивистскую скорость можно восстановить с помощью преобразования Фолди – Ваутхейзена , когда положительные и отрицательные компоненты разделены. Таким образом, мы приходим к интерпретации zitterbewegung как вызванного интерференцией волновых компонент положительной и отрицательной энергии.

В квантовой электродинамике (КЭД) состояния с отрицательной энергией заменяются позитронными состояниями, а под zitterbewegung понимают результат взаимодействия электрона со спонтанно образующимися и аннигилирующими электрон-позитронными парами .

Совсем недавно было отмечено, что в случае свободных частиц это могло быть просто артефактом упрощенной теории. Zitterbewegung появляется из-за «малых компонентов» 4-спинора Дирака, из-за небольшого количества античастиц, смешанных с волновой функцией частицы для нерелятивистского движения. Он не появляется в правильной теории второго квантования , или, скорее, он решается с помощью пропагаторов Фейнмана и выполнения КЭД . Тем не менее, это интересный способ понять некоторые эффекты КЭД эвристически на основе картины одной частицы.

фермионов

Смотрите также: шахматная доска Фейнмана

Альтернативный взгляд на физический смысл zitterbewegung был предложен Роджером Пенроузом . заметив, что уравнение Дирака можно переформулировать путем разделения четырехкомпонентного спинора Дирака $\psi$ на пару безмассовых левых и правых двухкомпонентных спиноров $\psi =(\psi _{\rm {L}},\psi _{\rm {R}})$ (или зигзагообразные и зигзагообразные компоненты), где каждый является исходным членом в уравнении движения другого, с константой связи, пропорциональной массе покоя исходной частицы. $m$, как

$\left\{{\begin{matrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=m\psi _{\rm {L}}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=m\psi _{\rm {R}}\end{matrix}}\right.$.

Тогда исходную массивную частицу Дирака можно рассматривать как состоящую из двух безмассовых компонентов, каждый из которых постоянно преобразуется в другой. Поскольку компоненты не имеют массы, они движутся со скоростью света, а их вращение ограничено направлением движения, но каждый из них имеет противоположную спиральность: а поскольку вращение остается постоянным, направление скорости меняется на противоположное, что приводит к характеристике зигзагообразное или zitterbewegung движение.

моделирование

Zitterbewegung свободной релятивистской частицы никогда не наблюдался напрямую, хотя некоторые авторы считают, что нашли доказательства в пользу ее существования. Он также дважды моделировался в модельных системах, которые обеспечивают аналоги релятивистского явления в конденсированном состоянии. В первом примере, в 2010 году, захваченный ион был помещен в среду, в которой нерелятивистское уравнение Шредингера для иона имело ту же математическую форму, что и уравнение Дирака (хотя физическая ситуация была иной). Затем, в 2013 году, оно было смоделировано на установке с бозе-эйнштейновскими конденсатами .

Другие предложения по аналогам конденсированного состояния включают полупроводниковые наноструктуры, графен и топологические изоляторы .

См. также

• Эффект Казимира
• Баранья смена

Дальнейшее чтение

• Мессия, А. (1962). «ХХ, раздел 37» (pdf) . Квантовая механика . Том. II. стр. 950–952. ISBN  9780471597681 .

Внешние ссылки

• Встряхивающее движение в New Scientist