шахматная доска Фейнмана

Шахматная доска Фейнмана с двумя путями, дающими сумму для пропагатора из ( $x/\epsilon c$, $t/\epsilon$) = от (0, 0) до (3, 7)

Фейнмановская шахматная доска , или релятивистская модель шахматной доски, представляла собой Ричардом Фейнманом суммы по путям формулировку ядра частицы со свободным спином ½, движущейся в одном пространственном измерении. Он обеспечивает представление решений уравнения Дирака в (1+1)-мерном пространстве-времени в виде дискретных сумм.

Модель можно визуализировать, рассматривая релятивистские случайные блуждания на двумерной шахматной доске пространства-времени. На каждом дискретном временном шаге $\epsilon$ частица массы $m$ перемещается на расстояние $\epsilon c$ влево или вправо ( $c$ это скорость света ). Для такого дискретного движения интеграл Фейнмана по путям сводится к сумме по возможным путям. Фейнман продемонстрировал, что если каждый «поворот» (изменение движения слева направо или наоборот) пространственно-временного пути взвешивается $-i\epsilon mc^{2}/\hbar$ (с $\hbar$ обозначая приведенную константу Планка ), в пределе бесконечно малых шахматных квадратов сумма всех взвешенных путей дает пропагатор, удовлетворяющий одномерному уравнению Дирака . В результате спиральность (одномерный эквивалент спина ) получается на основе простого правила типа клеточного автомата .

Модель шахматной доски важна, поскольку она связывает аспекты вращения и киральности с распространением в пространстве-времени. и является единственной формулировкой суммирования по путям, в которой квантовая фаза дискретна на уровне путей, принимая только значения, соответствующие корням четвертой степени из единицы .

История

Ричард Фейнман изобрел эту модель в 1940-х годах, разрабатывая свой пространственно-временной подход к квантовой механике. Он не публиковал результат до тех пор, пока он не появился в тексте об интегралах по путям, соавтором которого был Альберт Хиббс в середине 1960-х годов. Модель не была включена в исходную статью о интеграле по пути. потому что подходящее обобщение на четырехмерное пространство-время не было найдено.

Одна из первых связей между амплитудами, предписанными Фейнманом для частицы Дирака в измерениях 1+1, и стандартной интерпретацией амплитуд в терминах ядра или пропагатора была установлена ​​Джаянтом Нарликаром в подробном анализе. Название «модель шахматной доски Фейнмана» было придумано Гарольдом А. Гершем, когда он продемонстрировал ее связь с одномерной моделью Изинга . Б. Гаво и др. обнаружил связь между моделью и стохастической моделью телеграфных уравнений благодаря Марку Кацу посредством аналитического продолжения . Тед Джейкобсон и Лоуренс Шульман исследовали переход от релятивистского к нерелятивистскому интегралу по траектории. Впоследствии Г. Н. Орд показал, что модель шахматной доски была встроена в корреляции в исходную стохастическую модель Каца. и таким же образом имелся чисто классический контекст, свободный от формального аналитического продолжения. В том же году Луи Кауфман и Пьер Нойес выпустил полностью дискретную версию, связанную с физикой битовых строк, которая превратилась в общий подход к дискретной физике.

Расширения

Хотя Фейнман не дожил до публикации расширений модели шахматной доски, из его архивных заметок видно, что он был заинтересован в установлении связи между четвертыми корнями из единицы (используемыми в качестве статистических весов в путях шахматной доски) и своим открытием, сделанным вместе с Джоном Арчибальдом. Уилера , что античастицы эквивалентны частицам, движущимся назад во времени. Его заметки содержат несколько эскизов шахматных дорожек с добавленными пространственно-временными петлями. Первым расширением модели, которое явно содержало такие циклы, была «спиральная модель», в которой путям шахматной доски разрешалось вращаться по спирали в пространстве-времени. В отличие от случая с шахматной доской, причинность должна была быть реализована явно, чтобы избежать расхождений, однако с этим ограничением уравнение Дирака превратилось в предел континуума . роли zitterbewegung , античастиц и моря Дирака в модели шахматной доски. Впоследствии были выяснены и последствия для уравнения Шредингера, рассматриваемого через нерелятивистский предел.

Дальнейшие расширения исходной двумерной модели пространства-времени включают такие функции, как улучшенные правила суммирования. и обобщенные решетки. Не существует единого мнения относительно оптимального расширения модели шахматной доски до полностью четырехмерного пространства-времени. Существуют два различных класса расширений: те, которые работают с фиксированной базовой решеткой. и те, которые встраивают двумерный случай в более высокое измерение. Преимущество первого состоит в том, что сумма по путям ближе к нерелятивистскому случаю, однако простая картина единой независимой по направлению скорости света теряется. В последних расширениях свойство фиксированной скорости сохраняется за счет изменения направлений на каждом шаге.