Параметризация Фейнмана

Параметризация Фейнмана — это метод вычисления петлевых интегралов , которые возникают из диаграмм Фейнмана с одной или несколькими петлями. Однако иногда это полезно при интеграции в областях чистой математики и .

Формулы

Ричард Фейнман заметил, что:

${\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}$

которая справедлива для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке, соединяющем A и B. Формула помогает вычислять такие интегралы, как:

${\begin{aligned}\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}&=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.\end{aligned}}$

Если A ( p ) и B ( p ) являются линейными функциями от p , то последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака $\delta$:

${\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\left[A_{1}u_{n-1}+A_{2}(u_{n-2}-u_{n-1})+\dots +A_{n}(1-u_{1})\right]^{n}}}.\end{aligned}}$

Эта формула справедлива для любых комплексных чисел A ₁ ,..., An _{выпуклой} до тех пор, пока 0 не содержится в их оболочке .

Даже в более общем плане, при условии, что ${\text{Re}}(\alpha _{j})>0$ для всех $1\leq j\leq n$:

${\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}$

где гамма-функция $\Gamma$ был использован.

Вывод

${\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right)={\frac {1}{A-B}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.$

С помощью замены $u=(z-B)/(A-B)$,

у нас есть $du=dz/(A-B)$, и $z=uA+(1-u)B$,

откуда мы получаем желаемый результат

${\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}.$

В более общих случаях вывод можно очень эффективно выполнять с помощью параметризации Швингера . Например, чтобы получить параметризованную Фейнманом форму ${\frac {1}{A_{1}...A_{n}}}$, мы сначала перевыразим все множители в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

${\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ {\text{for }}i=1,\ldots ,n$

и переписать,

${\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).$

Затем мы выполняем следующую замену переменных интегрирования:

$\alpha =s_{1}+...+s_{n},$

$\alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,$

чтобы получить,

${\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\right).$

где ${\textstyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}}$ обозначает интеграцию по региону $0\leq \alpha _{i}\leq 1$ с ${\textstyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1}$.

Следующим шагом будет выполнение $\alpha$ интеграция.

$\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial (-x)^{n-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n-1\right)!}{x^{n}}}.$

где мы определили $x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}.$

Подставив этот результат, мы придем к предпоследней форме:

${\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},$

и после введения дополнительного интеграла приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

${\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.$

Аналогично, чтобы получить форму параметризации Фейнмана для наиболее общего случая, ${\textstyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}...A_{n}^{\alpha _{n}}}}}$ можно было бы начать с подходящей другой формы параметризации Швингера множителей в знаменателе, а именно:

${\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}}={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!}}\int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1}-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)$

а затем действуйте точно так же, как в предыдущем случае.

Альтернативная форма

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна:

${\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}.$

Эту форму можно получить с помощью замены переменных $\lambda =u/(1-u)$.Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что $d\lambda =du/(1-u)^{2}$, затем

${\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{\frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}$

В более общем плане мы имеем

${\frac {1}{A^{m}B^{n}}}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m}}},$

где $\Gamma$ это гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя $A$ с квадратичным знаменателем $B$, например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Симметричная форма

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого интеграл выполняется на интервале $[-1,1]$, что приводит к:

${\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right]^{2}}}.$