Интеграл петли

В квантовой теории поля и статистической механике петлевые интегралы — это интегралы, которые появляются при оценке диаграмм Фейнмана с одной или несколькими петлями путем интегрирования по внутренним импульсам. Эти интегралы используются для определения контрчленов, которые, в свою очередь, позволяют оценить бета-функцию , кодирующую зависимость связи $g$ для взаимодействия в энергетическом масштабе $\mu$.

Одноконтурный интеграл

Общая формула

Общий однопетлевой интеграл, например, возникающий при однопетлевой перенормировке КЭД или КХД, может быть записан как линейная комбинация членов в форме

$\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k+q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}$

где $q_{i}$ представляют собой 4-импульсы, которые представляют собой линейные комбинации внешних импульсов, а $m_{i}$ представляют собой массы взаимодействующих частиц. В этом выражении используется евклидова сигнатура. В лоренцевой сигнатуре знаменатель вместо этого был бы продуктом выражений формы $(k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon$.

Используя параметризацию Фейнмана , это можно переписать как линейную комбинацию интегралов вида

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

где 4-вектор $l$ и $\Delta$ являются функциями $q_{i},m_{i}$ и параметры Фейнмана. Этот интеграл также интегрируется по области параметров Фейнмана. Интеграл является изотропным тензором и поэтому может быть записан как изотропный тензор без $l$ зависимость (но, возможно, зависит от размерности $d$), умноженный на интеграл

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}.$

Обратите внимание, что если $n$ были нечетными, то интеграл исчезает, и мы можем определить $n=2a$.

Регуляризация интеграла

Регуляризация отсечки

При вильсоновой перенормировке интеграл делается конечным путем указания шкалы обрезания. $\Lambda >0$. Тогда интеграл, который необходимо оценить, равен

$\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

где $\int ^{\Lambda }$ это сокращение для интеграции в домене $\{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}$. Выражение конечно, но, вообще говоря, так как $\Lambda \rightarrow \infty$, выражение расходится.

Размерная регуляризация

Интеграл без обрезания по импульсу можно оценить как

$I_{d}(b,a,\Delta ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}={\frac {1}{(4\pi )^{d/2}}}{\frac {1}{\Gamma (d/2)}}B\left(b-a-{\frac {d}{2}},a+{\frac {d}{2}}\right)\Delta ^{-(b-a-d/2)},$

где $B$ это бета-функция . Для расчетов в перенормировке КЭД или КХД $a$ принимает значения $0,1$ и $2$.

Для петлевых интегралов в КТП $B$ на самом деле имеет полюс для соответствующих значений $a,b$ и $d$. Например, в скалярном $\phi ^{4}$ теории в 4 измерениях, петлевой интеграл при вычислении однопетлевой перенормировки вершины взаимодействия имеет $(a,b,d)=(0,2,4)$. Используем «хитрость» размерной регуляризации , аналитически продолжая $d$ к $d=4-\epsilon$ с $\epsilon$ небольшой параметр.

Для расчета контрчленов петлевой интеграл должен быть выражен в виде ряда Лорана в виде $\epsilon$. Для этого необходимо воспользоваться лорановским разложением Гамма-функции ,

$\Gamma (\epsilon )={\frac {1}{\epsilon }}-\gamma +{\mathcal {O}}(\epsilon )$

где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . На практике петлевой интеграл обычно расходится как $\epsilon \rightarrow 0$.

Для полной оценки диаграммы Фейнмана могут потребоваться алгебраические факторы, которые необходимо оценить. Например, в КЭД индексы тензора интеграла могут быть сжаты с помощью гамма-матриц , и для вычисления интеграла необходимы тождества, включающие их. В КХД могут существовать дополнительные факторы алгебры Ли , такие как квадратичный Казимир присоединенного представления, а также любых представлений, которые имеют значение (скалярные или спинорные поля) в преобразовании теории.

Примеры

Скалярная теория поля

ж ⁴ теория

Отправной точкой является действие по $\phi ^{4}$ теория в $\mathbb {R} ^{d}$ является

$S[\phi _{0}]=\int d^{d}x{\frac {1}{2}}(\partial \phi _{0})^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}\phi _{0}^{2}+{\frac {1}{4!}}\lambda _{0}\phi _{0}^{4}.$

Где $(\partial \phi _{0})^{2}=\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}=\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\phi _{0}\partial _{i}\phi _{0}$. Область намеренно оставлена ​​неоднозначной, поскольку она варьируется в зависимости от схемы регуляризации.

евклидовой сигнатуры Распространитель в импульсном пространстве:

${\frac {1}{p^{2}+m_{0}^{2}}}.$

Однопетлевой вклад в двухточечный коррелятор $\langle \phi (x)\phi (y)\rangle$ (или, скорее, к двухточечному коррелятору в пространстве импульсов или преобразованию Фурье двухточечного коррелятора) происходит из одной диаграммы Фейнмана и является

${\frac {\lambda _{0}}{2}}\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.$

Это пример петлевого интеграла.

Если $d\geq 2$ и областью интегрирования является $\mathbb {R} ^{d}$, этот интеграл расходится. Это типичная загадка расхождений, которая исторически преследовала квантовую теорию поля. Для получения конечных результатов мы выбираем схему регуляризации . Для иллюстрации приведем две схемы.

Регуляризация отсечки : исправлено $\Lambda >0$. Регуляризованный петлевой интеграл — это интеграл по области $k=|\mathbf {k} |<\Lambda ,$ и этот интеграл принято обозначать через

${\frac {\lambda _{0}}{2}}\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.$

Этот интеграл конечен и в этом случае поддается вычислению.

Размерная регуляризация : мы интегрируем по всем $\mathbb {R} ^{d}$, но вместо того, чтобы рассматривать $d$ чтобы быть положительным целым числом, мы аналитически продолжаем $d$ к $d=n-\epsilon$, где $\epsilon$ мал. Проведенными выше вычислениями мы показали, что интеграл можно записать в виде выражений, которые имеют четко определенное аналитическое продолжение из целых чисел. $n$ функционировать на $\mathbb {C}$: в частности, гамма-функция имеет аналитическое продолжение и степень принятия, $x^{d}$, — операция, которую можно аналитически продолжить.

См. также

• Регуляризация (физика)
• Перенормировка