Размерная регуляризация

В теоретической физике размерная регуляризация — это метод, предложенный Джамбиаджи и Боллини. а также – самостоятельно и более комплексно - Т Хоофт и Вельтман для регуляризации интегралов при вычислении диаграмм Фейнмана ; другими словами, присваивая им значения, которые являются мероморфными функциями комплексного параметра d , аналитического продолжения числа измерений пространства-времени.

Размерная регуляризация записывает интеграл Фейнмана как интеграл, зависящий от размерности пространства-времени d и квадратов расстояний ( x _i − x _j ). ² точек пространства-времени x _i , ... появляющихся в нем. В евклидовом пространстве интеграл часто сходится при достаточно большом −Re( d ) и может быть аналитически продолжен из этой области до мероморфной функции, определенной для всех комплексных d . В общем, будет полюс при физическом значении (обычно 4) d , который необходимо отменить перенормировкой для получения физических величин. Этингоф (1999) показал, что размерная регуляризация математически четко определена, по крайней мере, в случае массивных евклидовых полей, используя полином Бернштейна – Сато для выполнения аналитического продолжения.

Хотя этот метод наиболее понятен, когда вычитаются полюса и d снова заменяется на 4, он также приводит к некоторым успехам, когда d приближается к другому целочисленному значению, когда теория оказывается сильно связанной, как в случае с Фиксированная точка Вильсона-Фишера . Дальнейший шаг — серьезно отнестись к интерполяции через дробные измерения. Это побудило некоторых авторов предположить, что размерная регуляризация может быть использована для изучения физики кристаллов, которые макроскопически кажутся фракталами .

Утверждалось, что регуляризация дзета-функции и размерная регуляризация эквивалентны, поскольку они используют один и тот же принцип использования аналитического продолжения для сходимости ряда или интеграла.

Пример: потенциал бесконечной заряженной линии

Рассмотрим бесконечную заряженную линию с плотностью заряда $s$, и мы вычисляем потенциал точечного расстояния $x$ вдали от линии. Интеграл расходится:

$$V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

где $A=s/(4\pi \epsilon _{0}).$

Поскольку заряженная линия имеет одномерную «сферическую симметрию» (которая в одномерном измерении является просто зеркальной симметрией), мы можем переписать интеграл, чтобы использовать сферическую симметрию:

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+t^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {vol} (S^{1})dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}$$

где мы сначала убрали зависимость от длины, разделив на единицу длины $x_{0}$, затем преобразовал интеграл по $\mathbb {R} ^{1}$ в интеграл по 1-сфере $S^{1}$, за которым следует интеграл по всем радиусам 1-сферы.

Теперь мы обобщаем это на размерность $d$. Объем d-сферы равен ${\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}$, где $\Gamma$ это гамма-функция . Теперь интеграл становится

$${\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}$$

Когда $d=1-\epsilon$, у интеграла доминирует его хвост, т.е. $\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}\sim \int _{c}^{\infty }r^{d-2}dr={\frac {1}{d-1}}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon },$ где $c=\Theta (x/x_{0})$ (в большой тета-нотации ). Таким образом $V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon$, и поэтому электрическое поле $V'(x)\sim x^{-1}$, как и должно быть.

Пример

Предположим, кто-то хочет регуляризовать петлевой интеграл, который логарифмически расходится в четырех измерениях, например

$I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.$

Сначала запишите интеграл в общем нецелом числе измерений. $d=4-\varepsilon$, где $\varepsilon$ позже будет считаться малым,

$$I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.$$

Если подынтегральная функция зависит только от $p^{2}$, мы можем применить формулу

$$\int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}).$$

Для целочисленных размеров, таких как $d=3$, эта формула сводится к знакомым интегралам по тонким оболочкам типа ${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$. Для нецелых размерностей мы определяем значение интеграла таким образом путем аналитического продолжения. Это дает

$$I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).$$

Заметим, что интеграл снова расходится как $\varepsilon \rightarrow 0$, но конечен для сколь угодно малых значений $\varepsilon \neq 0$.

Дальнейшее чтение

• Боллини, Чарльз; Джамбиаджи, Хуан Хосе (1972), «Размерная перенормировка: количество измерений как регуляризующий параметр». , The New Foundation B , 12 (1):20–26, : 1972NCimB..12 ...20B , doi : 10.1007/BF02895558 , S2CID   Bibcode
• Этингоф, Павел (1999), «Заметки о размерной регуляризации» , Квантовые поля и струны: курс для математиков, Vol. 1, (Принстон, Нью-Джерси, 1996/1997) , Провиденс, Род-Айленд: Amer. Математика. Soc., стр. 597–607, ISBN.  978-0-8218-2012-4 , МР   1701608
• Хофт, Г. 'т; Вельтман, М. (1972), «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей» , Nuclear Physics B , 44 (1): 189–213, Бибкод : 1972NuPhB..44..189T , doi : 10.1016/0550-3213(72) 90279-9 , hdl : 1874/4845 , ISSN   0550-3213