Бета-функция (физика)

Эта статья о бета-функциях теоретической физики. Чтобы узнать о других бета-функциях, см. Бета-функция (значения) .

В теоретической физике , в частности в квантовой теории поля , функция бета - β(g) кодирует зависимость параметра связи g µ от энергии масштаба квантовой данного физического процесса, описываемого теорией поля .Это определяется как

$\beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \ln(\mu )}}~,$

и из-за базовой ренормгруппы он не имеет явной зависимости от µ , поэтому он зависит от µ только неявно через g .Эта зависимость от указанного таким образом энергетического масштаба известна как ход параметра связи, фундаментального параметра. особенность масштабной зависимости в квантовой теории поля, и ее явное вычисление достижимо с помощью различных математических методов.

Масштабная инвариантность

Если бета-функции квантовой теории поля исчезают, обычно при определенных значениях параметров связи, то теория называется масштабно-инвариантной . Почти все масштабно-инвариантные КТП также конформно инвариантны . Изучением таких теорий является конформная теория поля .

Параметры связи квантовой теории поля могут работать, даже если соответствующая классическая теория поля масштабно-инвариантна. В этом случае ненулевая бета-функция говорит нам, что классическая масштабная инвариантность аномальна .

Примеры

Бета-функции обычно вычисляются по какой-либо аппроксимационной схеме. Примером является теория возмущений , где предполагается, что параметры связи малы. Затем можно разложить параметры связи по степеням и обрезать члены более высокого порядка (также известные как вклады более высоких петель из-за количества петель в соответствующих графах Фейнмана ).

Вот несколько примеров бета-функций, вычисленных в теории возмущений:

Квантовая электродинамика

Основная статья: Квантовая электродинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовой электродинамике (КЭД) равна

• $\beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,$

или, что то же самое,

• $\beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,$

записанную через константу тонкой структуры в натуральных единицах: α = e ² /4п .

Эта бета-функция говорит нам, что связь увеличивается с увеличением масштаба энергии, и КЭД становится сильно связанной при высоких энергиях. Фактически, связь, по-видимому, становится бесконечной при некоторой конечной энергии, что приводит к полюсу Ландау . Однако нельзя ожидать, что пертурбативная бета-функция даст точные результаты при сильной связи, и поэтому вполне вероятно, что полюс Ландау является артефактом применения теории возмущений в ситуации, когда она больше не действительна.

Квантовая хромодинамика

Основная статья: Квантовая хромодинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовой хромодинамике с $n_{f}$ вкусы и $n_{s}$ скалярные цветные бозоны

$\beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,$

или

$\beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,$

записанное через α _s = $g^{2}/4\pi$ .

Предполагая, что n _s = 0, если n _f ≤ 16, полученная бета-функция диктует, что связь уменьшается с увеличением масштаба энергии - явление, известное как асимптотическая свобода . И наоборот, связь увеличивается с уменьшением масштаба энергии. Это означает, что связь становится большой при низких энергиях и на теорию возмущений уже нельзя полагаться.

SU(N) Неабелева калибровочная теория

В то время как калибровочная группа (Янга – Миллса) КХД $SU(3)$и определяет 3 цвета, мы можем обобщить любое количество цветов, $N_{c}$, с калибровочной группой $G=SU(N_{c})$. Тогда для этой калибровочной группы с фермионами Дирака в представлении $R_{f}$ из $G$ и с комплексными скалярами в представлении $R_{s}$, однопетлевая бета-функция равна

$\beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,$

где $C_{2}(G)$ квадратичный Казимир ​ $G$ и $T(R)$ - еще один инвариант Казимира, определяемый формулой $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ для генераторов $T_{R}^{a,b}$ алгебры Ли в представлении R. (Для Вейля или фермионов Майорана замените $4/3$ к $2/3$, а для реальных скаляров замените $1/3$ к $1/6$.) Для калибровочных полей ( т.е. ) обязательно в сопряженном глюонов $G$, $C_{2}(G)=N_{c}$; для фермионов в фундаментальном (или антифундаментальном) представлении $G$, $T(R)=1/2$. Тогда для КХД при $N_{c}=3$, приведенное выше уравнение сводится к уравнению, указанному для бета-функции квантовой хромодинамики.

Этот знаменитый результат был получен почти одновременно в 1973 году Политцером . Гросс и Вильчек . за что все трое были удостоены Нобелевской премии по физике в 2004 году.Без ведома этих авторов Г. 'т Хофт объявил о результате в комментарии после выступления К. Симанзика на небольшой встрече в Марселе в июне 1972 г., но так и не опубликовал его.

Стандартная модель муфт Хиггса-Юкавы

Основная статья: Инфракрасная фиксированная точка

В Стандартной модели кварки и лептоны имеют « юкавские связи » с бозоном Хиггса . Они определяют массу частицы. Почти все связи Юкавы кварков и лептонов малы по сравнению с топ-кварков связью Юкавы . Эти связи Юкавы меняют свои значения в зависимости от шкалы энергии, в которой они измеряются, посредством пробега . Динамика юкавских связей кварков определяется уравнением ренормгруппы :

$\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$,

где $g_{3}$ — это связь цветового датчика (которая является функцией $\mu$ и связанный с асимптотической свободой ) и $y$ это муфта Юкавы. Это уравнение описывает, как связь Юкавы меняется в зависимости от масштаба энергии. $\mu$.

Взаимодействия Юкавы верхнего, нижнего, очарованного, странного и нижнего кварков малы на чрезвычайно высоком энергетическом уровне Великого объединения . $\mu \approx 10^{15}$ ГэВ. Таким образом, $y^{2}$ в приведенном выше уравнении можно пренебречь. Решая, мы тогда находим, что $y$ немного увеличивается на масштабах низких энергий, на которых массы кварков генерируются бозоном Хиггса, $\mu \approx 100$ ГэВ.

С другой стороны, решения этого уравнения для больших начальных значений $y$ заставит правую сторону быстро приближаться к меньшим значениям по мере того, как мы спускаемся по шкале энергии. Приведенное выше уравнение затем блокирует $y$ к связи КХД $g_{3}$. Это известно как (инфракрасная) квазинеподвижная точка уравнения ренормгруппы для связи Юкавы. Независимо от того, каково начальное начальное значение связи, если оно достаточно велико, оно достигнет этого значения квазификсированной точки, и соответствующая масса кварка будет предсказана.

Значение квазинеподвижной точки довольно точно определено в Стандартной модели, что приводит к предсказанной массе топ-кварка 230 ГэВ. Наблюдаемая масса топ-кварка 174 ГэВ немного ниже предсказания стандартной модели примерно на 30%, что предполагает, что может существовать больше дублетов Хиггса, помимо одного бозона Хиггса стандартной модели.

Минимальная суперсимметричная стандартная модель

Основная статья: Минимальная суперсимметричная стандартная модель § Унификация калибровочной связи

Исследования группы реномализации в минимальной суперсимметричной стандартной модели (MSSM) великого объединения и фиксированных точках Хиггса-Юкавы очень обнадежили, что теория находится на правильном пути. не появилось никаких доказательств существования предсказанных частиц MSSM Однако до сих пор в экспериментах на Большом адронном коллайдере .

См. также

• Фиксированная точка Бэнкса – Закса
• Уравнение Каллана – Симанзика
• Квантовая тривиальность

Дальнейшее чтение

• Пескин М. и Шредер Д.; Введение в квантовую теорию поля, Westview Press (1995). Стандартный вводный текст, охватывающий многие темы QFT, включая вычисление бета-функций; см. особенно главу 16.
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей, (3 тома) Издательство Кембриджского университета (1995). Монументальный трактат по QFT.
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления, Oxford University Press (2002). Акцент на ренормгруппу и связанные с ней темы.