Уравнение Дирака

Не путать с дельта-функцией Дирака .

В физике элементарных частиц представляет уравнение Дирака собой релятивистское волновое уравнение , выведенное британским физиком Полем Дираком в 1928 году. В своей свободной форме или включая электромагнитные взаимодействия оно описывает все спином 1/2 массивные частицы со , называемые «частицами Дирака», такие как электроны и кварки , для которых четность является симметрией . Это согласуется как с принципами квантовой механики , так и со специальной теорией относительности . и была первой теорией, полностью объяснившей специальную теорию относительности в контексте квантовой механики. Это было подтверждено путем учета тонкой структуры спектра водорода совершенно строгого .

Уравнение также подразумевало существование новой формы материи, антиматерии , о которой ранее не подозревали и которую не наблюдали, и которая была экспериментально подтверждена несколько лет спустя. Это также обеспечило обоснование введения нескольких составляющих волновых функций в Паули феноменологическую теорию спина теоретическое . Волновые функции в теории Дирака представляют собой векторы четырех комплексных чисел (известных как биспиноры ), два из которых напоминают волновую функцию Паули в нерелятивистском пределе, в отличие от уравнения Шредингера , которое описывало волновые функции только одного комплексного значения. Более того, в пределе нулевой массы уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля .

Хотя Дирак поначалу не вполне осознавал важность своих результатов, последующее объяснение спина как следствие объединения квантовой механики и теории относительности – и возможное открытие позитрона – представляет собой один из величайших триумфов теоретической физики . Это достижение было описано как полностью соответствующее работам Ньютона , Максвелла и Эйнштейна до него. Некоторые физики считают его «настоящим семенем современной физики». В контексте квантовой теории поля уравнение Дирака переосмысливается для описания квантовых полей, соответствующих спин- 1/2 ​ частицы .

Уравнение Дирака начертано на мемориальной доске на полу Вестминстерского аббатства . Мемориальная доска, открытая 13 ноября 1995 года, увековечивает жизнь Дирака.

История

Уравнение Дирака в форме, первоначально предложенной Дираком :

$$\left(\beta mc^{2}+c\sum _{n=1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}$$

где ψ ( x , t ) — волновая функция электрона массы покоя m x с пространственно- координатами , временными t . P 1 _, понимаемого p ₂ , p ₃ являются компонентами импульса , как оператор импульса в уравнении Шредингера . Кроме того, c — скорость света , а ħ — приведенная постоянная Планка . Эти фундаментальные физические константы отражают специальную теорию относительности и квантовую механику соответственно.

Целью Дирака при составлении этого уравнения было объяснить поведение релятивистски движущегося электрона и, таким образом, позволить рассматривать атом в соответствии с теорией относительности. Его довольно скромная надежда заключалась в том, что внесенные таким образом поправки могут иметь отношение к проблеме атомных спектров .

До этого времени попытки сделать старую квантовую теорию атома совместимой с теорией относительности, которая была основана на дискретизации углового момента , хранящегося на возможно некруговой орбите электрона атомного ядра , терпели неудачу – и новая квантовая механика Гейзенберга , Паули , Йордана , Шредингера и самого Дирака не была достаточно развита для решения этой проблемы. Хотя первоначальные намерения Дирака были удовлетворены, его уравнение имело гораздо более глубокие последствия для структуры материи и ввело новые математические классы объектов, которые теперь являются важными элементами фундаментальной физики.

Новыми элементами в этом уравнении являются четыре 4 × 4 матрицы α ₁ , α ₂ , α ₃ и β , а также четырехкомпонентная волновая функция ψ . В ψ четыре компонента , поскольку его оценка в любой заданной точке конфигурационного пространства является биспинором . Он интерпретируется как суперпозиция электрона со спином вверх , электрона со спином вниз, позитрона со спином вверх и позитрона со спином вниз.

матрицы 4 размером αk _{являются эрмитовыми} и β Все инволютивными и 4 × :

$$\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$$

и все они взаимно против поездок на работу :

$${\begin{aligned}\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}&=0\quad (i\neq j)\\\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}&=0\end{aligned}}$$

Эти матрицы и вид волновой функции имеют глубокое математическое значение. Алгебраическая структура, представленная гамма -матрицами, была создана около 50 лет назад английским математиком У.К. Клиффордом . В свою очередь, идеи Клиффорда возникли в середине XIX века в работе немецкого математика Грассмана Германа «Lineare Ausdehnungslehre» (« Теория линейного расширения »). Последнее считалось почти непостижимым большинством его современников. Появление чего-то, казалось бы, абстрактного, в столь позднее время и таким непосредственным физическим образом является одной из самых замечательных глав в истории физики. (Более того, это подтверждение изысканной проницательности математиков Грассмана и Клиффорда.)

Таким образом, единственное символическое уравнение распадается на четыре связанных линейных уравнения в частных производных первого порядка для четырех величин, составляющих волновую функцию. Уравнение можно более явно записать в единицах Планка как:

$$i\partial _{x}{\begin{bmatrix}+\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{y}{\begin{bmatrix}+\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}+\psi _{3}\\-\psi _{4}\\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}-m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\+\psi _{3}\\+\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{t}{\begin{bmatrix}-\psi _{1}\\-\psi _{2}\\+\psi _{3}\\+\psi _{4}\end{bmatrix}}$$

что проясняет, что это набор четырех уравнений в частных производных с четырьмя неизвестными функциями.

Шредингера

Уравнение Дирака внешне похоже на уравнение Шрёдингера для массивной свободной частицы :

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.$$

Левая часть представляет собой квадрат оператора импульса, разделенный на удвоенную массу, которая представляет собой нерелятивистскую кинетическую энергию. Поскольку теория относительности рассматривает пространство и время как единое целое, релятивистское обобщение этого уравнения требует, чтобы производные по пространству и времени входили симметрично, как это происходит в уравнениях Максвелла , которые определяют поведение света - уравнения должны быть дифференциально одного и того же порядка в пространстве. и время. В теории относительности импульс и энергии представляют собой пространственную и временную части вектора пространства-времени, четырехимпульса , и они связаны релятивистски инвариантным соотношением

$$E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$$

который говорит, что длина этого четырехвектора пропорциональна массе покоя m . Подстановка операторных эквивалентов энергии и импульса из теории Шрёдингера приводит к уравнению Клейна – Гордона , описывающему распространение волн, построенному из релятивистски инвариантных объектов:

$$\left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi$$

при этом волновая функция φ является релятивистским скаляром: комплексным числом, которое имеет одно и то же числовое значение во всех системах отсчета. Производные по пространству и времени входят во второй порядок. Это имеет важные последствия для интерпретации уравнения. Поскольку уравнение имеет второй порядок по производной по времени, для решения определенных задач необходимо указать начальные значения как самой волновой функции, так и ее первой производной по времени. Поскольку и то, и другое может быть задано более или менее произвольно, волновая функция не может сохранять свою прежнюю роль по определению плотности вероятности обнаружения электрона в данном состоянии движения. В теории Шредингера плотность вероятности определяется положительно определенным выражением

$$\rho =\phi ^{*}\phi$$

и эта плотность конвектируется в соответствии с вектором вероятностного тока

$$J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})$$

с сохранением вероятностного тока и плотности, следующих из уравнения неразрывности:

$$\nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.$$

Тот факт, что плотность положительно определена и конвектируется в соответствии с этим уравнением непрерывности, означает, что можно проинтегрировать плотность в определенной области и установить общую величину равной 1, и это условие будет поддерживаться законом сохранения . Правильная релятивистская теория с током плотности вероятности также должна обладать этой особенностью. Чтобы сохранить понятие конвекционной плотности, необходимо обобщить выражение Шредингера для плотности и тока так, чтобы производные по пространству и времени снова входили симметрично по отношению к скалярной волновой функции. Выражение Шредингера для тока можно сохранить, но плотность вероятности необходимо заменить симметрично составленным выражением

$$\rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*}\right).$$

который теперь становится 4-м компонентом вектора пространства-времени, а вся плотность вероятностного 4-тока имеет релятивистски-ковариантное выражение

$$J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right).$$

Уравнение непрерывности остается прежним. Теперь все совместимо с теорией относительности, но выражение плотности больше не является положительно определенным; начальные значения как ψ, так и ∂ _t ψ могут быть выбраны свободно, и, таким образом, плотность может стать отрицательной, что невозможно для законной плотности вероятности. Таким образом, невозможно получить простое обобщение уравнения Шрёдингера при наивном предположении, что волновая функция является релятивистским скаляром, а уравнение, которому она удовлетворяет, имеет второй порядок по времени.

Хотя это не является успешным релятивистским обобщением уравнения Шредингера, это уравнение возрождается в контексте квантовой теории поля , где оно известно как уравнение Клейна-Гордона , и описывает бесспиновое поле частиц (например, пи-мезон или бозон Хиггса ). . Исторически сложилось так, что сам Шредингер пришел к этому уравнению раньше, чем к уравнению, носящему его имя, но вскоре отказался от него. В контексте квантовой теории поля под неопределенной плотностью понимают плотность заряда , которая может быть положительной или отрицательной, а не плотность вероятности.

Дирака

Таким образом, Дирак решил попробовать уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени. Он постулировал уравнение вида

$$E\psi =({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta m)\psi$$

где операторы $({\vec {\alpha }},\beta )$ должен быть независимым от $({\vec {p}},t)$ линейности и независимости от $({\vec {x}},t)$за пространственно-временную однородность. Эти ограничения подразумевали дополнительные динамические переменные, которые $({\vec {\alpha }},\beta )$операторы будут зависеть от; Из этого требования Дирак пришел к выводу, что операторы будут зависеть от матриц 4x4, связанных с матрицами Паули.

Можно, например, формально (т. е. путем злоупотребления обозначениями ) принять релятивистское выражение для энергии

$$E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,$$

замените p его операторным эквивалентом, разложите квадратный корень в бесконечную серию производных операторов, поставьте задачу на собственные значения, а затем формально решите уравнение путем итераций. Большинство физиков мало верили в такой процесс, даже если он был технически возможен.

Как гласит история, Дирак смотрел в камин в Кембридже, размышляя над этой проблемой, когда ему в голову пришла идея извлечь квадратный корень из волнового оператора (см. также полупроизводную ) следующим образом:

$$\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.$$

При умножении правой части становится очевидным, что для того, чтобы все перекрестные члены, такие как ∂ _x ∂ _y, исчезли, нужно предположить, что

$$AB+BA=0,~\ldots ~$$

с

$$A^{2}=B^{2}=\dots =1~.$$

Дирак, который как раз тогда активно занимался разработкой основ матричной механики Гейзенберга , сразу понял, что эти условия могут быть выполнены, если A , B , C и D являются матрицами , что означает, что волновая функция имеет несколько компонентов . Это сразу же объяснило появление двухкомпонентных волновых функций в феноменологической теории спина Паули , что до тех пор считалось загадочным даже для самого Паули. необходима матрица как минимум 4 × 4 Однако для создания системы с требуемыми свойствами — поэтому волновая функция имела четыре компонента, а не два, как в теории Паули, или один, как в голой теории Шрёдингера. Четырехкомпонентная волновая функция представляет собой новый класс математических объектов физических теорий, который впервые появляется здесь.

Учитывая факторизацию по этим матрицам, теперь можно сразу записать уравнение

$$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi$$

с $\kappa$быть определенным. Повторное применение матричного оператора с обеих сторон дает

$$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.$$

принимая $\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$показывает, что все компоненты волновой функции по отдельности удовлетворяют релятивистскому соотношению энергия-импульс. Таким образом, искомое уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени имеет вид

$$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.$$

Параметр

$$A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,$$

и потому что $D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$, уравнение Дирака получается, как написано выше.

Ковариантная форма

Чтобы продемонстрировать релятивистскую инвариантность уравнения, выгодно привести его к форме, в которой производные по пространству и времени фигурируют на равных. Новые матрицы вводятся следующим образом:

$${\begin{aligned}D&=\gamma ^{0},\\A&=i\gamma ^{1},\quad B=i\gamma ^{2},\quad C=i\gamma ^{3},\end{aligned}}$$

и уравнение принимает вид (с учетом определения ковариантных компонент 4-градиента и особенно того, что ∂ ₀ = 1 / c ∂ _t )

Уравнение Дирака

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$

где подразумевается суммирование по значениям дважды повторяющегося индекса µ = 0, 1, 2, 3 и ∂ _µ — 4-градиент. часто записывают На практике гамма-матрицы в виде подматриц 2 × 2, взятых из матриц Паули 2 × 2 и единичной матрицы . Явно стандартное представление имеет вид

$$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}.$$

Полная система суммируется с использованием метрики Минковского в пространстве-времени в форме

$$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$$

где выражение в скобках

$$\{a,b\}=ab+ba$$

обозначает антикоммутатор . Это определяющие соотношения алгебры Клиффорда над псевдоортогональным 4-мерным пространством с метрической сигнатурой (+ - - -) . Конкретная алгебра Клиффорда, используемая в уравнении Дирака, сегодня известна как алгебра Дирака . Хотя это и не признавалось Дираком в то время, когда уравнение было сформулировано, в ретроспективе введение этой геометрической алгебры представляет собой огромный шаг вперед в развитии квантовой теории.

Уравнение Дирака теперь можно интерпретировать как уравнение собственных значений , где масса покоя пропорциональна собственному значению оператора 4-импульса , а константой пропорциональности является скорость света:

$$P_{\text{op}}\psi =mc\psi \,.$$

С использованием ${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ ( ${\partial \!\!\!{\big /}}$ произносится как «д-слэш»), согласно обозначениям Фейнмана, уравнение Дирака принимает вид:

$$i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0\,.$$

На практике физики часто используют такие единицы измерения, как ħ = c = 1 , известные как натуральные единицы . Тогда уравнение принимает простой вид

Уравнение Дирака (натуральные единицы)

$(i{\partial \!\!\!{\big /}}-m)\psi =0$

Фундаментальная теорема гласит, что если даны два различных набора матриц, которые оба удовлетворяют соотношениям Клиффорда , то они соединяются друг с другом преобразованием подобия :

$$\gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S\,.$$

Если, кроме того, все матрицы унитарны , как и множество Дирака, то S само унитарно ;

$$\gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\,.$$

Преобразование U уникально с точностью до мультипликативного множителя абсолютного значения 1. Представим теперь, что преобразование Лоренца выполняется над пространственными и временными координатами, а также над производными операторами, которые образуют ковариантный вектор. Для оператора γ ^м ∂ _µ , чтобы оставаться инвариантными, гаммы должны трансформироваться между собой как контравариантный вектор относительно своего пространственно-временного индекса. Эти новые гаммы сами будут удовлетворять соотношениям Клиффорда из-за ортогональности преобразования Лоренца. По основной теореме можно заменить новое множество старым, подвергнутым унитарному преобразованию. В новой системе отсчета, учитывая, что масса покоя является релятивистским скаляром, уравнение Дирака примет вид

$${\begin{aligned}\left(iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\\U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\,.\end{aligned}}$$

Если преобразованный спинор определяется как

$$\psi ^{\prime }=U\psi$$

тогда преобразованное уравнение Дирака получается таким образом, что демонстрирует явную релятивистскую инвариантность :

$$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime },t^{\prime }\right)=0\,.$$

Таким образом, выбор любого унитарного представления гаммы является окончательным при условии преобразования спинора по унитарному преобразованию, соответствующему данному преобразованию Лоренца.

Различные представления используемых матриц Дирака привлекут внимание к конкретным аспектам физического содержания волновой функции Дирака. Показанное здесь представление известно как стандартное представление – в нем две верхние компоненты волновой функции переходят в 2-спинорную волновую функцию Паули в пределе низких энергий и малых по сравнению со светом скоростей.

Приведенные выше соображения раскрывают происхождение гамм в геометрии , возвращаясь к первоначальной мотивации Грассмана; они представляют фиксированную основу единичных векторов в пространстве-времени. Точно так же продукты гамм, такие как γ _μ γ _ν, представляют собой ориентированные элементы поверхности и так далее. Имея это в виду, можно найти форму элемента единичного объема в пространстве-времени в терминах гамм следующим образом. По определению, это

$$V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.$$

Чтобы это было инвариантом, символ эпсилон должен быть тензором и, следовательно, должен содержать коэффициент √ g , где g — определитель метрического тензора . Поскольку это отрицательное значение, этот фактор является мнимым . Таким образом

$$V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.$$

Этой матрице присвоен специальный символ γ ⁵ , из-за его важности при рассмотрении неправильных преобразований пространства-времени, то есть тех, которые меняют ориентацию базисных векторов. В стандартном представлении это

$$\gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$$

Также будет обнаружено, что эта матрица антикоммутирует с другими четырьмя матрицами Дирака:

$$\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0$$

Он играет ведущую роль при возникновении вопросов о четности , поскольку элемент объема как направленная величина меняет знак при пространственно-временном отражении. Таким образом, извлечение положительного квадратного корня выше равносильно выбору соглашения о направленности пространства-времени.

с

Теория Паули

См. Также: уравнение Паули и уравнение Леви-Леблона.

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное неоднородное магнитное поле , которое затем распадается на N частей в зависимости от собственных угловых моментов атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок расщепляется надвое; поэтому основное состояние не могло быть целым , потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньшим, 1, пучок был бы разделен на три части, соответствующие атомам с L _z = -1, 0, +1. . Вывод состоит в том, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент 1/2 ​ ​ . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление путем введения двухкомпонентной волновой функции и соответствующего поправочного члена в гамильтониан , представляющего полуклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, как это происходит в единицах СИ : (Примечание что символы, выделенные жирным шрифтом, подразумевают евклидовы векторы в трех измерениях , тогда как Минковского четырехвектор A _μ можно определить как $A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )$.)

$$H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.$$

Здесь А и $\phi$представляют собой компоненты электромагнитного четырехпотенциала в их стандартных единицах СИ, а три сигмы — это матрицы Паули . При возведении в квадрат первого слагаемого обнаруживается остаточное взаимодействие с магнитным полем, а также обычный классический гамильтониан заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем в единицах СИ :

$$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.$$

Этот гамильтониан теперь представляет собой матрицу размера 2 × 2 , поэтому основанное на нем уравнение Шредингера должно использовать двухкомпонентную волновую функцию. При введении аналогичным способом внешнего электромагнитного 4-векторного потенциала в уравнение Дирака, известного как минимальная связь , он принимает вид:

$$\left(\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc\right)\psi =0~.$$

Второе применение оператора Дирака теперь воспроизведет член Паули точно так же, как и раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i , имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутации, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящее перед новым термином Паули, объясняется из первых принципов. Это было главным достижением уравнения Дирака и вселило в физиков большую веру в его общую правильность. Однако есть еще кое-что. Теорию Паули можно рассматривать как нижний энергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в виде связанных уравнений для 2-спиноров с восстановленными единицами СИ:

$${\begin{pmatrix}mc^{2}-E+e\phi &c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&mc^{2}+E-e\phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.$$

так

$${\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}-(E-e\phi )\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}$$

Если предположить, что поле слабое, а движение электрона нерелятивистское, то полная энергия электрона примерно равна его энергии покоя , а импульс переходит к классическому значению:

$${\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\\mathbf {p} &\approx m\mathbf {v} \end{aligned}}$$

и поэтому второе уравнение можно записать

$$\psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}$$

что в порядке вещей v / c – таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении сильно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки

$$\left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}$$

Оператор слева представляет энергию частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является классической энергией, поэтому можно восстановить теорию Паули, отождествив его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом нового уравнения, поскольку оно проследило загадочное i , которое появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции вплоть до геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя и внешне имеет форму уравнения диффузии , на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что такое разделение спинора Дирака на большую и малую компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой несократимое целое, и компоненты, которыми мы здесь пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, приведут к новым явлениям в релятивистском режиме – антиматерии и идее рождения и уничтожения частиц.

Теория Вейля

В безмассовом случае $m=0$, уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля , которое описывает релятивистский безмассовый спин- 1/2 ​ частицы .

Теория приобретает второе ${\text{U}}(1)$ симметрия: см. ниже.

Физическая

Идентификация наблюдаемых

Критический физический вопрос в квантовой теории заключается в следующем: каковы физически наблюдаемые величины, определяемые теорией? Согласно постулатам квантовой механики, такие величины определяются эрмитовыми операторами , действующими на гильбертовом пространстве возможных состояний системы. Собственные значения этих операторов тогда являются возможными результатами измерения соответствующей физической величины. В теории Шредингера простейшим таким объектом является общий гамильтониан, который представляет полную энергию системы. Чтобы сохранить эту интерпретацию при переходе к теории Дирака, гамильтониан необходимо принять равным

$$H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\gamma ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\right]+cqA^{0}.$$

где, как всегда, подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся индексу k = 1, 2, 3 . Это выглядит многообещающе, поскольку при рассмотрении можно увидеть энергию покоя частицы, а в случае A = 0 - энергию заряда, помещенного в электрический потенциал cqA. ⁰ . А как насчет термина, связанного с векторным потенциалом? В классической электродинамике энергия заряда, движущегося в приложенном потенциале, равна

$$H=c{\sqrt {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0}.$$

Таким образом, гамильтониан Дирака фундаментально отличается от своего классического аналога, и нужно очень внимательно идентифицировать то, что наблюдается в этой теории. Большая часть явно парадоксального поведения, подразумеваемого уравнением Дирака, сводится к неправильной идентификации этих наблюдаемых.

Теория дырок

Отрицательные E- решения уравнения проблематичны, поскольку предполагалось, что частица имеет положительную энергию. Однако с математической точки зрения у нас, похоже, нет причин отвергать решения с отрицательной энергией. Поскольку они существуют, их нельзя просто игнорировать, поскольку, как только будет включено взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в собственное состояние с положительной энергией, распадется на собственные состояния с отрицательной энергией и последовательно более низкой энергией. Реальные электроны, очевидно, не ведут себя таким образом, иначе они бы исчезли, испустив энергию в виде фотонов .

Чтобы справиться с этой проблемой, Дирак выдвинул гипотезу, известную как теория дырок , о том, что вакуум — это многочастичное квантовое состояние, в котором все собственные состояния электронов с отрицательной энергией заняты. Такое описание вакуума как «моря» электронов называется морем Дирака . Поскольку принцип исключения Паули запрещает электронам занимать одно и то же состояние, любой дополнительный электрон будет вынужден занять собственное состояние с положительной энергией, а электронам с положительной энергией будет запрещено распадаться на собственные состояния с отрицательной энергией.

Дирак далее рассуждал, что если собственные состояния с отрицательной энергией заполнены не полностью, каждое незанятое собственное состояние, называемое дыркой , будет вести себя как положительно заряженная частица. Дырка обладает положительной энергией, поскольку для создания пары частица-дырка из вакуума требуется энергия. Как отмечалось выше, Дирак первоначально думал, что дырка может быть протоном, но Герман Вейль указал, что дырка должна вести себя так, как если бы она имела ту же массу, что и электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. В конечном итоге дырка была идентифицирована как позитрон , экспериментально открытый Карлом Андерсоном в 1932 году.

Не совсем удовлетворительно описывать «вакуум», используя бесконечное море электронов с отрицательной энергией. Бесконечно отрицательный вклад от моря электронов с отрицательной энергией должен быть компенсирован бесконечной положительной «голой» энергией, а вклад в плотность заряда и ток, исходящий от моря электронов с отрицательной энергией, в точности компенсируется бесконечной положительной энергией. «желе » на фоне, так что результирующая плотность электрического заряда вакуума равна нулю. В квантовой теории поля операторов преобразование Боголюбова рождения и уничтожения (превращение занятого состояния электрона с отрицательной энергией в незанятое состояние позитрона с положительной энергией и незанятого состояния электрона с отрицательной энергией в занятое состояние позитрона с положительной энергией) позволяет нам обойти морской формализм Дирака, хотя формально он ему эквивалентен.

Однако в некоторых приложениях физики конденсированного состояния основные концепции «теории дырок» справедливы. Море электронов проводимости в электрическом проводнике , называемое морем Ферми , содержит электроны с энергиями, достигающими химического потенциала системы. Незаполненное состояние в море Ферми ведет себя как положительно заряженный электрон, и хотя его тоже называют «электронной дыркой», оно отличается от позитрона. Отрицательный заряд ферми-моря уравновешивается положительно заряженной ионной решеткой материала.

В квантовой теории поля

Смотрите также: Фермионное поле

В квантовых теориях поля, таких как квантовая электродинамика , поле Дирака подвергается процессу вторичного квантования , который разрешает некоторые парадоксальные особенности уравнения.

Математическая

В современной формулировке теории поля уравнение Дирака записывается в терминах спинорного поля Дирака. $\psi$ принимающие значения в сложном векторном пространстве, конкретно описываемом как $\mathbb {C} ^{4}$, определенное в плоском пространстве-времени ( пространстве Минковского ) $\mathbb {R} ^{1,3}$. Его выражение также содержит гамма-матрицы и параметр $m>0$интерпретируется как масса, а также другие физические константы. Дирак сначала получил свое уравнение путем факторизации отношения эквивалентности энергии-импульса-массы Эйнштейна, приняв скалярное произведение векторов импульса, определенных метрическим тензором, и проквантовал полученное соотношение, связав импульсы с соответствующими операторами.

С точки зрения поля $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$тогда уравнение Дирака будет

Уравнение Дирака

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0$

и в натуральных единицах , с обозначением Фейнмана косой чертой ,

Уравнение Дирака (натуральные единицы)

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0$

Гамма-матрицы представляют собой набор из четырех $4\times 4$ комплексные матрицы (элементы ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$), которые удовлетворяют определяющим антикоммутационным соотношениям:

$$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$$

где $\eta ^{\mu \nu }$ – элемент метрики Минковского, а индексы $\mu ,\nu$пробегают 0,1,2 и 3. Эти матрицы можно реализовать явно при выборе представления. Двумя распространенными вариантами являются представление Дирака.

$$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},$$

где $\sigma ^{i}$ — матрицы Паули и киральное представление: $\gamma ^{i}$ одинаковы, но $\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

Обозначение косой черты — это компактное обозначение для

$$A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }$$

где $A$ является четырехвекторным (часто это четырехвекторный дифференциальный оператор $\partial _{\mu }$). Суммирование по индексу $\mu$ подразумевается.

сопряженное

Дираковское сопряжение спинорного поля. $\psi (x)$ определяется как

$${\bar {\psi }}(x)=\psi (x)^{\dagger }\gamma ^{0}.$$

Используя свойство гамма-матриц (которое непосредственно следует из свойств гермичности $\gamma ^{\mu }$) что

$$(\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},$$

можно получить сопряженное уравнение Дирака, взяв эрмитово сопряженное уравнение Дирака и умножив справа на $\gamma ^{0}$:

$${\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0$$

где частная производная ${\overleftarrow {\partial }}_{\mu }$ действует справа на ${\bar {\psi }}(x)$: записывая обычным образом через левое действие производной, имеем

$$-i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.$$

Клейна

Применение $i\partial \!\!\!/+m$ к уравнению Дирака дает

$$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\psi (x)=0.$$

То есть каждая компонента спинорного поля Дирака удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона .

Сохранился текущий

Сохраняющееся течение теории

$$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$$

Доказательство сохранения из уравнения Дирака

Сложение уравнений Дирака и сопряженных с ними уравнений Дирака дает

$$i((\partial _{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi )=0$$

поэтому по правилу Лейбница

$$i\partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )=0$$

Другой подход к выводу этого выражения — вариационные методы, применяющие теорему Нётер для глобальной ${\text{U}}(1)$ симметрия для получения сохраняющегося тока $J^{\mu }.$

Доказательство сохранения из теоремы Нётер.

Напомним, что лагранжиан

$${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi .$$

Под $U(1)$ симметрия, которая посылает

$${\begin{aligned}\psi &\mapsto e^{i\alpha }\psi ,\\{\bar {\psi }}&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\psi }},\end{aligned}}$$

мы находим, что лагранжиан инвариантен.

Теперь рассмотрим параметр вариации $\alpha$ чтобы быть бесконечно малым, мы работаем в первом порядке в $\alpha$ и игнорировать ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$условия. Из предыдущего обсуждения мы сразу видим явное изменение лагранжиана из-за $\alpha$ исчезает, то есть находится под вариацией,

$${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\delta {\mathcal {L}},$$

где $\delta {\mathcal {L}}=0$.

В рамках теоремы Нётер мы находим неявное изменение лагранжиана из-за изменения полей. Если уравнение движения для $\psi ,{\bar {\psi }}$ удовлетворены, тогда

$$\delta {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\delta \psi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }{\bar {\psi }})}}\delta {\bar {\psi }}\right)$$

( * )

Это сразу упрощается, поскольку нет частных производных от ${\bar {\psi }}$ в лагранжиане. $\delta \psi$ это бесконечно малая вариация

$$\delta \psi (x)=i\alpha \psi (x).$$

Мы оцениваем

$${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }.$$

Уравнение ( * ) в конечном итоге равно

$$0=-\alpha \partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )$$

Решения

Дополнительная информация: спинор Дирака и § теория дырок.

Поскольку оператор Дирака действует на 4-х наборах функций, интегрируемых с квадратом , его решения должны быть членами одного и того же гильбертова пространства . Неожиданным является тот факт, что энергии решений не имеют нижней границы.

Плосковолновые

Плосковолновые решения - это те, которые возникают в результате анзаца.

$$\psi (x)=u(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}$$

который моделирует частицу с определенным 4-импульсом $p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )$ где ${\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}$

Для этого анзаца уравнение Дирака становится уравнением для $u(\mathbf {p} )$:

$$\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m\right)u(\mathbf {p} )=0.$$

После выбора представления гамма-матриц $\gamma ^{\mu }$, решение этого вопроса представляет собой решение системы линейных уравнений. Это свойство гамма-матриц, не требующее представления, заключается в том, что пространство решений является двумерным (см. Здесь ).

Например, в киральном представлении для $\gamma ^{\mu }$, пространство решений параметризуется $\mathbb {C} ^{2}$ вектор $\xi$, с

$$u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma ^{\mu }p_{\mu }}}\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }}}\xi \end{pmatrix}}$$

где $\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})$ и ${\sqrt {\cdot }}$ – квадратный корень эрмитовой матрицы.

Эти решения в виде плоских волн обеспечивают отправную точку для канонического квантования.

Лагранжева

И уравнение Дирака, и присоединенное уравнение Дирака могут быть получены путем (изменения) действия с определенной лагранжевой плотностью, которая определяется выражением:

$${\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi$$

Если изменить это по отношению к $\psi$получается сопряженное уравнение Дирака. Между тем, если варьировать это по отношению к ${\bar {\psi }}$ получается уравнение Дирака.

В натуральных единицах и с использованием косой черты действие тогда будет

Действие Дирака

$S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi$

Для этого действия сохраняющийся ток $J^{\mu }$ выше, возникает как сохраняющийся ток, соответствующий глобальному ${\text{U}}(1)$симметрия посредством теоремы Нётер для теории поля. Калибровка этой теории поля путем изменения симметрии на локальную, зависящую от точки пространства-времени, дает калибровочную симметрию (на самом деле, калибровочную избыточность). Результирующая теория — квантовая электродинамика или КЭД. Более подробное обсуждение смотрите ниже.

Лоренц-инвариантность

Уравнение Дирака инвариантно относительно преобразований Лоренца, т. е. относительно действия группы Лоренца ${\text{SO}}(1,3)$ или строго ${\text{SO}}(1,3)^{+}$, компонент, связанный с личностью.

Для спинора Дирака, рассматриваемого конкретно как принимающего значения в $\mathbb {C} ^{4}$, преобразование при преобразовании Лоренца $\Lambda$ дается $4\times 4$ комплексная матрица $S[\Lambda ]$. Есть некоторые тонкости в определении соответствующего $S[\Lambda ]$, а также стандартное злоупотребление обозначениями.

Большинство методов лечения происходит на уровне алгебры Ли . Более подробное лечение смотрите здесь . Группа Лоренца $4\times 4$ действительные матрицы, действующие на $\mathbb {R} ^{1,3}$ генерируется набором из шести матриц $\{M^{\mu \nu }\}$ с компонентами

$$(M^{\mu \nu })^{\rho }{}_{\sigma }=\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }.$$

Когда оба $\rho ,\sigma$ индексы повышаются или понижаются, это просто «стандартный базис» антисимметричных матриц.

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Лоренца

$$[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.$$

В статье об алгебре Дирака также обнаружено, что генераторы спина

$$S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$$

удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Лоренца.

Преобразование Лоренца $\Lambda$ можно записать как

$$\Lambda =\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)$$

где компоненты $\omega _{\mu \nu }$ антисимметричны по $\mu ,\nu$.

Соответствующее преобразование в спиновом пространстве есть

$$S[\Lambda ]=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).$$

Это злоупотребление обозначениями, но стандартное. Причина в том $S[\Lambda ]$ не является четко определенной функцией $\Lambda$, поскольку существуют два разных набора компонентов $\omega _{\mu \nu }$ (с точностью до эквивалентности), которые дают одно и то же $\Lambda$ но другой $S[\Lambda ]$. На практике мы неявно выбираем один из этих $\omega _{\mu \nu }$ а потом $S[\Lambda ]$ хорошо определен с точки зрения $\omega _{\mu \nu }.$

При преобразовании Лоренца уравнение Дирака

$$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)=0$$

становится

$$i\gamma ^{\mu }((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _{\nu })S[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)-mS[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)=0.$$

Оставшаяся часть доказательства лоренц-инвариантности

Умножив обе части слева на $S^{-1}[\Lambda ]$ и возвращаем фиктивную переменную в $x$ дает

$$iS[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ]((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _{\nu })\psi (x)-m\psi (x)=0.$$

Мы докажем инвариантность, если

$$S[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ](\Lambda ^{-1})^{\nu }{}_{\mu }=\gamma ^{\nu }$$

или эквивалентно

$$S[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ]=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\gamma ^{\nu }.$$

Легче всего это показать на уровне алгебры. Предположим, что преобразования параметризованы бесконечно малыми компонентами. $\omega _{\mu \nu }$, то сначала закажите в $\omega$, в левой части получаем

$${\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }(M^{\rho \sigma })^{\mu }{}_{\nu }\gamma ^{\nu }$$

а в правой части мы получаем

$$\left[{\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }S^{\rho \sigma },\gamma ^{\mu }\right]={\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }\left[S^{\rho \sigma },\gamma ^{\mu }\right]$$

Это стандартное упражнение для оценки коммутатора с левой стороны. Письмо $M^{\rho \sigma }$ в терминах компонент завершает доказательство.

С лоренц-инвариантностью связан сохраняющийся ток Нётера или, скорее, тензор сохраняющихся токов Нётера. $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$. Аналогично, поскольку уравнение инвариантно относительно сдвигов, существует тензор сохраняющихся нетеровских токов $T^{\mu \nu }$, который можно назвать тензором энергии-импульса теории. Ток Лоренца $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ может быть записано в терминах тензора энергии-импульса в дополнение к тензору, представляющему внутренний угловой момент.

лоренц-ковариации уравнения

Уравнение Дирака является лоренц-ковариантным . Формулирование этого помогает пролить свет не только на уравнение Дирака, но также на спинор Майораны и спинор Элко , которые, хотя и тесно связаны, имеют тонкие и важные различия.

Понимание ковариации Лоренца упрощается, если учитывать геометрический характер процесса. Позволять $a$быть единственной фиксированной точкой в ​​пространственно-временном многообразии . Его местоположение может быть выражено в нескольких системах координат . В физической литературе они обозначаются как $x$ и $x'$, понимая, что оба $x$ и $x'$ опиши ту же точку $a$, но в разных локальных системах отсчета ( система отсчета, охватывающая небольшой расширенный участок пространства-времени). Можно себе представить $a$как наличие над ним волокна разных систем координат. В геометрических терминах говорят, что пространство-время можно охарактеризовать как расслоение волокон , а точнее, расслоение фреймов . Разница между двумя точками $x$ и $x'$в одном и том же волокне происходит комбинация вращений и усилений Лоренца . Выбор системы координат — это (локальное) сечение этого пучка.

С каркасным расслоением связан второй расслоение — спинорное расслоение . Сечение спинорного пучка представляет собой не что иное, как поле частицы (в данном случае спинор Дирака). Разные точки спинорного слоя соответствуют одному и тому же физическому объекту (фермиону), но выраженному в разных системах Лоренца. Очевидно, что для получения согласованных результатов расслоение фреймов и спинорное расслоение должны быть согласованно связаны друг с другом; формально говорят, что спинорное расслоение является ассоциированным расслоением ; он связан с основным пакетом , который в данном случае является пакетом кадров. Различия между точками на волокне соответствуют симметриям системы. Спинорное расслоение имеет два различных генератора своих симметрий: полный угловой момент и собственный угловой момент . Оба соответствуют преобразованиям Лоренца, но по-разному.

Представленная здесь презентация следует за презентацией Ицыксона и Зубера. Он почти идентичен Бьоркену и Дреллу. Подобный вывод в общей релятивистской ситуации можно найти у Вайнберга. Здесь мы фиксируем наше пространство-время как плоское, то есть наше пространство-время — это пространство Минковского.

При преобразовании Лоренца $x\mapsto x',$ спинор Дирака преобразовать как

$$\psi '(x')=S\psi (x)$$

Можно показать, что явное выражение для $S$ дан кем-то

$$S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)$$

где $\omega ^{\mu \nu }$ параметризует преобразование Лоренца и $\sigma _{\mu \nu }$ удовлетворяют ли шесть матриц 4×4:

$$\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.$$

Эту матрицу можно интерпретировать как собственный угловой момент поля Дирака. То, что он заслуживает такой интерпретации, становится очевидным, если противопоставить его генератору $J_{\mu \nu }$ , преобразований Лоренца имеющих вид

$$J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })$$

Это можно интерпретировать как полный угловой момент . Он действует на спинорное поле как

$$\psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x)$$

Обратите внимание $x$ выше нет штриха: приведенное выше получается путем преобразования $x\mapsto x'$ получение изменения в $\psi (x)\mapsto \psi '(x')$ а затем возвращаемся в исходную систему координат $x'\mapsto x$.

Геометрическая интерпретация вышеизложенного заключается в том, что поле кадра является аффинным и не имеет предпочтительного происхождения. Генератор $J_{\mu \nu }$ порождает симметрии этого пространства: обеспечивает перемаркировку неподвижной точки $x~.$ Генератор $\sigma _{\mu \nu }$ генерирует движение от одной точки волокна к другой: движение от $x\mapsto x'$ с обоими $x$ и $x'$ все еще соответствующий той же точке пространства-времени $a.$ Эти, возможно, глупые замечания можно объяснить с помощью явной алгебры.

Позволять $x'=\Lambda x$быть преобразованием Лоренца. Уравнение Дирака

$$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0$$

Если уравнение Дирака должно быть ковариантным, то оно должно иметь одинаковую форму во всех системах Лоренца:

$$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0$$

Два спинора $\psi$ и $\psi ^{\prime }$оба должны описывать одно и то же физическое поле и поэтому должны быть связаны преобразованием, которое не меняет никаких физических наблюдаемых величин (заряд, ток, масса и т. д. ). Преобразование должно кодировать только изменение системы координат. Можно показать, что такое преобразование представляет собой унитарную матрицу 4×4 . Таким образом, можно предположить, что связь между двумя кадрами можно записать как

$$\psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)$$

Подставив это в преобразованное уравнение, получим результат:

$$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}S(\Lambda )\psi (x)-mS(\Lambda )\psi (x)=0$$

Координаты, связанные преобразованием Лоренца, удовлетворяют:

$${\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }$$

Тогда исходное уравнение Дирака восстанавливается, если

$$S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }$$

Явное выражение для $S(\Lambda )$ (равный приведенному выше выражению) можно получить, рассматривая преобразование Лоренца бесконечно малого вращения вблизи тождественного преобразования:

$${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\ ,\ {(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }-{\omega ^{\mu }}_{\nu }$$

где ${g^{\mu }}_{\nu }$ метрический тензор : ${g^{\mu }}_{\nu }=g^{\mu \nu '}g_{\nu '\nu }={\delta ^{\mu }}_{\nu }$ и является симметричным, в то время как $\omega _{\mu \nu }={\omega ^{\alpha }}_{\nu }g_{\alpha \mu }$является антисимметричным. После подключения и пыхтения получается

$$S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}\left(\Lambda ^{2}\right)$$

что является (бесконечно малой) формой для $S$ выше и дает соотношение $\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$. Чтобы получить аффинную перемаркировку, напишите

$${\begin{aligned}\psi '(x')&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x'+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\psi (x')\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x')\\\end{aligned}}$$

После правильной антисимметризации получается генератор симметрий $J_{\mu \nu }$данное ранее. Таким образом, оба $J_{\mu \nu }$ и $\sigma _{\mu \nu }$ можно назвать «генераторами преобразований Лоренца», но с тонким различием: первое соответствует перемаркировке точек на расслоении аффинных реперов , что приводит к перемещению вдоль слоя спинора на расслоении спинов , в то время как вторая соответствует трансляциям по волокну спинового пучка (принимаемым как движение $x\mapsto x'$ по связке рамы, а также движение $\psi \mapsto \psi '$ вдоль слоя спинового расслоения.) Вайнберг приводит дополнительные аргументы в пользу физической интерпретации их как полного и собственного углового момента.

Другие составы

Уравнение Дирака можно сформулировать и другими способами.

Искривленное пространство-время

В этой статье разработано уравнение Дирака в плоском пространстве-времени согласно специальной теории относительности. Можно сформулировать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени .

Алгебра физического пространства

В этой статье было разработано уравнение Дирака с использованием четырехвекторов и операторов Шредингера. Уравнение Дирака в алгебре физического пространства использует алгебру Клиффорда над действительными числами, тип геометрической алгебры.

Спаренные спиноры Вейля

Как уже говорилось выше , безмассовое уравнение Дирака немедленно сводится к однородному уравнению Вейля . Используя киральное представление гамма-матриц , уравнение ненулевой массы также можно разложить на пару связанных неоднородных уравнений Вейля, действующих на первую и последнюю пары индексов исходного четырехкомпонентного спинора, т.е. $\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}$, где $\psi _{L}$ и $\psi _{R}$каждый является двухкомпонентным спинором Вейля . Это связано с тем, что перекошенная блочная форма киральных гамма-матриц означает, что они меняют местами $\psi _{L}$ и $\psi _{R}$ и примените к каждому матрицы Паули два на два:

$\gamma ^{\mu }{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}$.

Итак, уравнение Дирака

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m){\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=0$

становится

$i{\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}$

что, в свою очередь, эквивалентно паре неоднородных уравнений Вейля для безмассовых спиноров левой и правой спиральности , где сила связи пропорциональна массе:

$i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=m\psi _{L}$

$i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=m\psi _{R}$.

Это было предложено как интуитивное объяснение Zitterbewegung , поскольку эти безмассовые компоненты будут распространяться со скоростью света и двигаться в противоположных направлениях, поскольку спиральность — это проекция вращения на направление движения. Здесь роль «массы» $m$заключается не в том, чтобы сделать скорость меньше скорости света, а вместо этого контролирует среднюю скорость, с которой происходят эти изменения; в частности, развороты можно смоделировать как процесс Пуассона .

U(1) симметрия

В этом разделе используются натуральные единицы. Константа связи условно обозначается знаком $e$: этот параметр также можно рассматривать как моделирование заряда электрона.

Векторная симметрия

Уравнение и действие Дирака допускают ${\text{U}}(1)$ симметрия, где поля $\psi ,{\bar {\psi }}$ трансформировать как

$${\begin{aligned}\psi (x)&\mapsto e^{i\alpha }\psi (x),\\{\bar {\psi }}(x)&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).\end{aligned}}$$

Это глобальная симметрия, известная как ${\text{U}}(1)$ векторная симметрия (в отличие от ${\text{U}}(1)$ осевая симметрия: см. ниже). По теореме Нётер существует соответствующий сохраняющийся ток: об этом упоминалось ранее как

$$J^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x).$$

симметрии

Смотрите также: Квантовая электродинамика

Если мы «продвигаем» глобальную симметрию, параметризованную константой $\alpha$, к локальной симметрии, параметризованной функцией $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R}$или эквивалентно $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),$ уравнение Дирака больше не является инвариантным: существует остаточная производная $\alpha (x)$.

Исправление происходит так же, как в скалярной электродинамике : частная производная преобразуется в ковариантную производную. $D_{\mu }$

$$D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi ,$$

$$D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ieA_{\mu }{\bar {\psi }}.$$

Ковариантная производная зависит от действующего поля. Недавно представленный $A_{\mu }$ - это 4-векторный потенциал из электродинамики, но его также можно рассматривать как ${\text{U}}(1)$ калибровочное поле или ${\text{U}}(1)$ связь .

Закон преобразования при калибровочных преобразованиях для $A_{\mu }$ тогда это обычное дело

$$A_{\mu }(x)\mapsto A_{\mu }(x)+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha (x)$$

но его также можно получить, спросив, что ковариантные производные преобразуются при калибровочном преобразовании как

$$D_{\mu }\psi (x)\mapsto e^{i\alpha (x)}D_{\mu }\psi (x),$$

$$D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\alpha (x)}D_{\mu }{\bar {\psi }}(x).$$

Затем мы получаем калибровочно-инвариантное действие Дирака, превращая частную производную в ковариантную:

$$S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi =\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi .$$

Последним шагом, необходимым для записи калибровочно-инвариантного лагранжиана, является добавление лагранжиана Максвелла:

$$S_{\text{Maxwell}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right].$$

Соединение этих вещей вместе дает

КЭД действие

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi \right]$

Расширение ковариантной производной позволяет записать действие во второй полезной форме:

$$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi -eJ^{\mu }A_{\mu }\right]$$

Осевая симметрия

Безмассовые фермионы Дирака, то есть поля $\psi (x)$ удовлетворяющее уравнению Дирака с $m=0$, допустим второй, неэквивалентный ${\text{U}}(1)$ симметрия.

В этом легче всего убедиться, написав четырехкомпонентный фермион Дирака $\psi (x)$ как пара двухкомпонентных векторных полей,

$$\psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{pmatrix}},$$

и приняв киральное представление для гамма-матриц, так что $i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ может быть написано

$$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\ &0\end{pmatrix}}$$

где $\sigma ^{\mu }$ имеет компоненты $(I_{2},\sigma ^{i})$ и ${\bar {\sigma }}^{\mu }$ имеет компоненты $(I_{2},-\sigma ^{i})$.

Тогда действие Дирака принимает вид

$$S=\int d^{4}x\,\psi _{1}^{\dagger }(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{1}+\psi _{2}^{\dagger }(i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{2}.$$

То есть она распадается на теорию двух спиноров Вейля или фермионов Вейля.

Прежняя векторная симметрия все еще присутствует, где $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$вращаться одинаково. Такая форма действия делает вторую неэквивалентной. ${\text{U}}(1)$ манифест симметрии:

$${\begin{aligned}\psi _{1}(x)&\mapsto e^{i\beta }\psi _{1}(x),\\\psi _{2}(x)&\mapsto e^{-i\beta }\psi _{2}(x).\end{aligned}}$$

Это также можно выразить на уровне фермиона Дирака как

$$\psi (x)\mapsto \exp(i\beta \gamma ^{5})\psi (x)$$

где $\exp$ — экспоненциальная карта для матриц.

Это не единственный ${\text{U}}(1)$симметрия возможна, но она условна. Любая «линейная комбинация» векторной и осевой симметрий также является ${\text{U}}(1)$ симметрия.

Классически осевая симметрия допускает хорошо сформулированную калибровочную теорию. Но на квантовом уровне существует аномалия , то есть препятствие для измерения.

Расширение

Смотрите также: квантовая хромодинамика

Мы можем продолжить это обсуждение с абелевой ${\text{U}}(1)$ симметрия к общей неабелевой симметрии относительно калибровочной группы $G$, группа цветовых симметрий теории.

Для конкретности фиксируем $G={\text{SU}}(N)$, специальная унитарная группа матриц, действующих на $\mathbb {C} ^{N}$.

Перед этим разделом $\psi (x)$ можно рассматривать как спинорное поле в пространстве Минковского, другими словами, как функцию $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$и его компоненты в $\mathbb {C} ^{4}$ помечены спиновыми индексами, условно греческими индексами, взятыми из начала алфавита. $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$.

Неофициальное продвижение теории к калибровочной теории $\psi$ приобретает часть, преобразующуюся как $\mathbb {C} ^{N}$, и они помечены цветовыми индексами, условно латинскими индексами. $i,j,k,\cdots$. В итоге, $\psi (x)$ имеет $4N$ компоненты, представленные в индексах $\psi ^{i,\alpha }(x)$. «Спинор» обозначает только то, как поле трансформируется при преобразованиях пространства-времени.

Формально, $\psi (x)$ оценивается в тензорном произведении, то есть является функцией $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$

Калибрование происходит аналогично абелеву ${\text{U}}(1)$случае, с некоторыми отличиями. При калибровочном преобразовании $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ спинорные поля преобразуются как

$$\psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)$$

$${\bar {\psi }}(x)\mapsto {\bar {\psi }}(x)U^{\dagger }(x).$$

Матричнозначное калибровочное поле $A_{\mu }$ или ${\text{SU}}(N)$ соединение трансформируется как

$$A_{\mu }(x)\mapsto U(x)A_{\mu }(x)U(x)^{-1}+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U(x)^{-1},$$

и ковариантные производные, определенные

$$D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi ,$$

$$D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ig{\bar {\psi }}A_{\mu }^{\dagger }$$

трансформировать как

$$D_{\mu }\psi (x)\mapsto U(x)D_{\mu }\psi (x),$$

$$D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto (D_{\mu }{\bar {\psi }}(x))U(x)^{\dagger }.$$

Запись калибровочно-инвариантного действия происходит точно так же, как и ${\text{U}}(1)$ случай, заменяя лагранжиан Максвелла лагранжианом – Миллса. Янга

$$S_{\text{Y-M}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })$$

где напряженность или кривизна поля Янга – Миллса определяется здесь как

$$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]$$

и $[\cdot ,\cdot ]$ является матричным коммутатором.

Тогда действие

Действие КХД

$S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi$

Физические приложения

Для физических приложений случай $N=3$описывает кварковый сектор Стандартной модели , моделирующей сильные взаимодействия . Кварки моделируются как спиноры Дирака; калибровочное поле — это глюонное поле. Дело $N=2$описывает часть электрослабого сектора Стандартной модели. Лептоны, такие как электроны и нейтрино, являются спинорами Дирака; калибровочное поле – это $W$ калибровочный бозон.

Обобщения

Это выражение можно обобщить на произвольную группу Ли. $G$ с подключением $A_{\mu }$ и представительство $(\rho ,G,V)$, где цветная часть $\psi$ ценится в $V$. Формально поле Дирака является функцией $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$

Затем $\psi$ преобразуется при калибровочном преобразовании $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ как

$$\psi (x)\mapsto \rho (g(x))\psi (x)$$

и ковариантная производная определяется

$$D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +\rho (A_{\mu })\psi$$

где здесь мы смотрим $\rho$ как представление алгебры Ли алгебры Ли ${\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)$ связано с $G$.

Эту теорию можно обобщить на искривленное пространство-время, но в калибровочной теории общего пространства-времени (или, в более общем смысле, многообразия) возникают тонкости, которые в плоском пространстве-времени можно игнорировать. В конечном итоге это связано с сжимаемостью плоского пространства-времени, которая позволяет нам рассматривать калибровочное поле и калибровочные преобразования, как они определены глобально на $\mathbb {R} ^{1,3}$.

См. также

Статьи по уравнению Дирака

• Поле Дирака
• Спинор Дирака
• Разложение Гордона
• Парадокс Клейна
• Нелинейное уравнение Дирака

Другие уравнения

• Широкое уравнение
• Уравнение Дирака – Кэлера
• Уравнение Клейна – Гордона
• Уравнение Рариты – Швингера
• Уравнения Дирака двух тел
• Уравнение Вейля
• Уравнение Майораны

Другие темы

• Фермионное поле
• шахматная доска Фейнмана
• Преобразование Фолди – Ваутхайзена
• Квантовая электродинамика
• Квантовая хромодинамика

Ссылки

Избранные статьи

• Андерсон, Карл (1933). «Положительный электрон» . Физический обзор . 43 (6): 491. Бибкод : 1933PhRv...43..491A . дои : 10.1103/PhysRev.43.491 .
• Арминджон, М.; Ф. Райфлер (2013). «Эквивалентные формы уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени и обобщенные соотношения де Бройля». Бразильский физический журнал . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Бибкод : 2013BrJPh..43...64A . дои : 10.1007/s13538-012-0111-0 . S2CID   38235437 .
• Дирак, ПАМ (1928). «Квантовая теория электрона» (PDF) . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D . дои : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR   94981 . Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2015 года.
• Дирак, ПАМ (1930). «Теория электронов и протонов» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 126 (801): 360–365. Бибкод : 1930RSPSA.126..360D . дои : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR   95359 .
• Фриш, Р.; Стерн, О. (1933). «О магнитном отклонении молекул водорода и магнитном моменте протона. I». Журнал по физике . 85 (1–2): 4. Бибкод : 1933ZPhy...85....4F . дои : 10.1007/BF01330773 . S2CID   120793548 .

Учебники

• Бьоркен, доктор юридических наук; Дрелл, С. (1964). Релятивистская квантовая механика . Нью-Йорк, МакГроу-Хилл.
• Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN  9780471887416 .
• Гриффитс, диджей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). Вайли-ВЧ. ISBN  978-3-527-40601-2 .
• Рэй, Аластер, И.М.; Джим Наполитано (2015). Квантовая механика (6-е изд.). Рутледж. ISBN  978-1482299182 .
• Шифф, Л.И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Пленум.
• Таллер, Б. (1992). Уравнение Дирака . Тексты и монографии по физике. Спрингер.

Внешние ссылки

• История позитрона. Лекция Дирака в 1975 году.
• Уравнение Дирака на MathPages
• Уравнение Дирака для спина 1 ⁄ частица ​