Нелинейное уравнение Дирака

Обозначения см . в исчислении Риччи и обозначениях Ван дер Вардена .

В квантовой теории поля нелинейное уравнение Дирака представляет собой модель самодействующих фермионов Дирака . Эта модель широко рассматривается в квантовой физике как игрушечная модель самодействующих электронов .

Нелинейное уравнение Дирака появляется в Эйнштейна-Картана теории гравитации -Скиамы-Киббл, которая расширяет общую теорию относительности на материю с собственным угловым моментом ( спином ). Эта теория снимает ограничение симметрии аффинной связности и рассматривает ее антисимметричную часть, тензор кручения , как переменную при изменении действия. В полученных уравнениях поля тензор кручения является однородной линейной функцией тензора спина . Таким образом, минимальная связь между кручением и спинорами Дирака порождает аксиально-осевое спин-спиновое взаимодействие в фермионной материи, которое становится значимым только при чрезвычайно высоких плотностях. Следовательно, уравнение Дирака становится нелинейным (кубическим) в спинорном поле: что заставляет фермионы расширяться в пространстве и может устранить ультрафиолетовую расходимость в квантовой теории поля.

Модели

Двумя распространенными примерами являются массивная модель Тирринга и модель Солера .

Модель Тирринга

Модель Тирринга первоначально была сформулирована как модель в (1 + 1) измерениях пространства-времени и характеризуется лагранжевой плотностью

${\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right),$

где ψ ∈ C ² — спинорное поле, ψ = ψ * c ⁰ является присоединенным спинором Дирака,

$\partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0,1}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\,,$

( обозначение Фейнмана с косой чертой используется ), g — константа связи , m — масса , а γ ^м — двумерные µ гамма-матрицы , наконец, = 0, 1 — индекс .

Модель Солера

Модель Солера первоначально была сформулирована в (3 + 1) измерениях пространства-времени. Он характеризуется лагранжевой плотностью

${\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{2},$

используя те же обозначения, что и выше, за исключением

$\partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\,,$

теперь представляет собой четырехградиентный оператор, сжатый с четырехмерными гамма -матрицами Дирака γ ^м , поэтому здесь µ = 0, 1, 2, 3 .

Другие модели

Помимо модели Солера, была проделана обширная работа, в которой нелинейные версии уравнения Дирака используются для описания чисто классических нелинейных частицоподобных решений (PLS) в (3 + 1) измерениях пространства-времени. Раньяда дал обзор этой темы. Хотя более поздний обзор, специально посвященный чисто классической нелинейной PLS, по-видимому, не появился, соответствующие ссылки доступны в различных более поздних публикациях.

Модели, рассмотренные Раньядой, должны быть полностью классическими по своей природе и их следует правильно рассматривать как не имеющие ничего общего с квантовой механикой, но зависимая переменная в уравнении Дирака по-прежнему обычно принимается в качестве спинора. Когда необходимо рассматривать чисто классическую модель такого рода, использование спинора в качестве зависимой переменной кажется неуместным.

Если использовать незначительную модификацию основного уравнения Дирака, проблемы можно избежать относительно простым способом. Вместо использования обычного вектора-столбца в качестве зависимой переменной в уравнении Дирака можно использовать матрицу 4 × 4. Когда преобразование координат отсутствует, в уравнении Дирака обычным образом используется самый левый столбец матрицы, но когда требуется преобразование в пространстве-времени, иногда допускается появление четырех компонентов зависимой переменной. различные позиции в матрице 4 × 4.

Результат можно понять в терминах алгебры Клиффорда, поскольку зависимая переменная в уравнении Дирака может быть представлена ​​как четырехмерный левый идеал алгебры Клиффорда. В этом случае просто позволяют зависимой переменной находиться в другом левом идеале, когда происходит преобразование пространства-времени.

Теория Эйнштейна – Картана

В теории Эйнштейна – Картана плотность лагранжиана спинорного поля Дирака определяется выражением ( $c=\hbar =1$)

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left({\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi \right),$

где

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\nu \rho \mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$

Фока–Иваненко – ковариантная производная спинора относительно аффинной связности, $\omega _{\mu \nu \rho }$ это спиновая связь , $g$ – определитель метрического тензора $g_{\mu \nu }$, а матрицы Дирака удовлетворяют

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I.$

Уравнения поля Эйнштейна -Картана для спиновой связи дают алгебраическое ограничение между спиновой связью и спинорным полем, а не уравнение в частных производных , что позволяет явно исключить спиновую связь из теории. Конечным результатом является нелинейное уравнение Дирака, содержащее эффективное самодействие «спин-спин»,

$i\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi -m\psi =i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\frac {3\kappa }{8}}\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma ^{5}\psi \right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi -m\psi =0,$

где $\nabla _{\mu }$ является общерелятивистской ковариантной производной спинора, а $\kappa$ гравитационная постоянная Эйнштейна, ${\textstyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$. Кубический член в этом уравнении становится значимым при плотностях порядка ${\frac {m^{2}}{\kappa }}$.

См. также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Уравнение Дирака – Кэлера
• Модель Гросса – Невё
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Дирака
• Модель Солера
• Модель Тирринга