Теория Эйнштейна – Картана

В теоретической физике теория Эйнштейна-Картана , также известная как теория Эйнштейна-Картана-Скиамы-Киббла , представляет собой классическую теорию гравитации , одну из нескольких альтернатив общей теории относительности . ^{[ 1 ]} Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году.

Обзор

Теория Эйнштейна–Картана отличается от общей теории относительности в двух отношениях: (1) она сформулирована в рамках геометрии Римана–Картана, которая обладает локально калибровочной симметрией Лоренца, в то время как общая теория относительности сформулирована в рамках римановой геометрии, которая не ; (2) ставится дополнительная система уравнений, связывающая кручение со вращением. Эту разницу можно учесть

общая теория относительности (Эйнштейн – Гильберт) → общая теория относительности (Палатини) → Эйнштейн – Картан

сначала переформулировав общую теорию относительности в геометрию Римана-Картана, заменив действие Эйнштейна-Гильберта над римановой геометрией действием Палатини над геометрией Римана-Картана; и, во-вторых, удаление ограничения нулевого кручения из действия Палатини, что приводит к дополнительному набору уравнений для вращения и кручения, а также к добавлению дополнительных членов, связанных со спином, в сами уравнения поля Эйнштейна.

Теория общей относительности была первоначально сформулирована в рамках римановой геометрии действием Эйнштейна-Гильберта , из которого возникают уравнения поля Эйнштейна . На момент ее первоначальной формулировки понятия геометрии Римана – Картана не существовало. Не было также достаточного понимания концепции калибровочной симметрии , чтобы понять, что риманова геометрия не обладает необходимой структурой для воплощения локально калибровочной симметрии Лоренца , которая потребовалась бы для выражения уравнений непрерывности и законов сохранения для вращения и буста. симметрии или для описания спиноров в искривленной геометрии пространства-времени. Результатом добавления этой инфраструктуры является геометрия Римана – Картана. В частности, чтобы иметь возможность описывать спиноры, необходимо включить спиновую структуру , которой достаточно для создания такой геометрии.

Основное различие между геометрией Римана-Картана и римановой геометрией состоит в том, что в первой аффинная связность не зависит от метрики, а во второй она выводится из метрики как связность Леви-Чивита , причем разница между ними заключается в том, что называется конторсией . В частности, антисимметричная часть соединения (называемая кручением ) равна нулю для соединений Леви-Чивита, что является одним из определяющих условий таких соединений.

Поскольку искривление можно выразить линейно через кручение, тогда также возможно напрямую перевести действие Эйнштейна-Гильберта в геометрию Римана-Картана, результатом чего будет действие Палатини (см. также вариант Палатини ). Он получается путем переписывания действия Эйнштейна-Гильберта в терминах аффинной связи, а затем отдельного установления ограничения, которое заставляет как кручение, так и искривление быть равным нулю, что, таким образом, заставляет аффинную связь быть равной связи Леви-Чивита. Поскольку это прямой перевод уравнений действия и поля общей теории относительности, выраженный в терминах связи Леви-Чивиты, ее можно рассматривать как саму теорию общей относительности, перенесенную в рамки геометрии Римана-Картана.

Теория Эйнштейна-Картана ослабляет это условие и, соответственно, ослабляет предположение общей теории относительности о том, что аффинная связность имеет исчезающую антисимметричную часть ( тензор кручения ). Используемое действие такое же, как и действие Палатини, за исключением того, что ограничение на кручение удалено. Это приводит к двум отличиям от общей теории относительности: (1) уравнения поля теперь выражаются в терминах аффинной связи, а не связи Леви-Чивита, и поэтому в уравнениях поля Эйнштейна имеются дополнительные члены, включающие искажение, которых нет в уравнениях поля Эйнштейна. уравнения поля, полученные на основе формулировки Палатини; (2) теперь имеется дополнительный набор уравнений, которые связывают кручение с собственным угловым моментом ( спином ) материи, во многом таким же образом, как аффинная связь связана с энергией и импульсом материи. В теории Эйнштейна-Картана кручение теперь является переменной в принципе стационарного действия , которое связано с формулировкой спина в искривленном пространстве-времени ( тензор спина ). Эти дополнительные уравнения выражают кручение линейно через тензор вращения, связанный с источником материи, что означает, что кручение внутри материи обычно не равно нулю.

Следствием линейности является то, что вне материи кручение отсутствует, так что внешняя геометрия остается такой же, как та, что была бы описана в общей теории относительности. Различия между теорией Эйнштейна-Картана и общей теорией относительности (сформулированной либо в терминах действия Эйнштейна-Гильберта в римановой геометрии, либо в терминах действия Палатини в геометрии Римана-Картана) основаны исключительно на том, что происходит с геометрией внутри источников материи. То есть: «кручение не распространяется». Рассмотрены обобщения действия Эйнштейна–Картана, допускающие распространение кручения. ^{[ 2 ]}

Поскольку геометрии Римана – Картана обладают лоренцевой симметрией как локальной калибровочной симметрией, можно сформулировать соответствующие законы сохранения. В частности, рассмотрение метрики и тензоров кручения как независимых переменных дает правильное обобщение закона сохранения полного (орбитального плюс собственного) углового момента на наличие гравитационного поля.

История

Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году. ^{[ 3 ]} и изложены в последующие несколько лет. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Альберт Эйнштейн присоединился к этой теории в 1928 году во время своей неудачной попытки сопоставить кручение с тензором электромагнитного поля как часть единой теории поля. Эта линия мысли привела его к родственной, но отличной теории телепараллелизма . ^{[ 7 ]}

Деннис Шиама ^{[ 8 ]} и Том Киббл ^{[ 9 ]} независимо пересмотрели эту теорию в 1960-х годах, а важный обзор был опубликован в 1976 году. ^{[ 10 ]}

Теория Эйнштейна-Картана исторически была в тени своей аналогии без кручения и других альтернатив, таких как теория Бранса-Дике, потому что кручение, казалось, приносило мало преимуществ для прогнозирования за счет понятности ее уравнений. Поскольку теория Эйнштейна-Картана является чисто классической, она также не полностью решает проблему квантовой гравитации . В теории Эйнштейна–Картана уравнение Дирака становится нелинейным. ^{[ 11 ]} Хотя известные физики, такие как Стивен Вайнберг , «никогда не понимали, что с физической точки зрения так важно в возможности кручения в дифференциальной геометрии», другие физики утверждают, что теории кручения ценны. ^{[ 12 ]} Эта теория косвенно повлияла на петлевую квантовую гравитацию (и, похоже, также повлияла на твисторную теорию). ^{[ 13 ]}).

Уравнения поля

Уравнения поля Эйнштейна в общей теории относительности можно вывести, постулируя, что действие Эйнштейна – Гильберта является истинным действием пространства-времени, а затем изменяя это действие относительно метрического тензора. Уравнения поля теории Эйнштейна – Картана основаны на точно таком же подходе: общая асимметричная аффинная связность за исключением того, что предполагается , а не симметричная связность Леви-Чивита. (т.е. предполагается, что пространство-время помимо кривизны имеет кручение ), и тогда метрика и кручение изменяются независимо.

Позволять ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ представляют собой лагранжеву плотность материи и ${\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }$ представляют собой лагранжеву плотность гравитационного поля. Плотность Лагранжа гравитационного поля в теории Эйнштейна – Картана пропорциональна скаляру Риччи :

{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={\frac {1}{2\kappa }}R{\sqrt {|g|}}

S=\int \left({\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)\,d^{4}x,

где $g$ – определитель метрического тензора, а $\kappa$ это физическая константа $8\pi G/c^{4}$ включая гравитационную постоянную и скорость света . По принципу Гамильтона изменение полного действия $S$ ибо гравитационное поле и материя исчезает:

\delta S=0.

Вариация относительно метрического тензора $g^{ab}$ дает уравнения Эйнштейна:

{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta g^{ab}}}-{\frac {1}{2}}P_{ab}=0

$R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=\kappa P_{ab}$

где $R_{ab}$ – тензор Риччи и $P_{ab}$ – канонический тензор напряжения-энергии-импульса . Тензор Риччи больше не является симметричным, поскольку связность содержит ненулевой тензор кручения; следовательно, правая часть уравнения также не может быть симметричной, а это означает, что $P_{ab}$ должен включать асимметричный вклад, который, как можно показать, связан с тензором спина . Этот канонический тензор энергии-импульса связан с более известным симметричным тензором энергии-импульса процедурой Белинфанте-Розенфельда .

Вариация по тензору кручения ${T^{ab}}_{c}$ Картана спиновой связи дает уравнения

{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta {T^{ab}}_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\sigma _{ab}}^{c}=0

${T_{ab}}^{c}+{g_{a}}^{c}{T_{bd}}^{d}-{g_{b}}^{c}{T_{ad}}^{d}=\kappa {\sigma _{ab}}^{c}$

где ${\sigma _{ab}}^{c}$ – тензор спина. Поскольку уравнение кручения представляет собой алгебраическое ограничение , а не уравнение в частных производных , поле кручения не распространяется как волна и исчезает вне материи. Следовательно, в принципе кручение можно алгебраически исключить из теории в пользу тензора спина, который порождает эффективное нелинейное самодействие «спин-спин» внутри материи. Кручение равно исходному члену и может быть заменено границей или топологической структурой с горловиной, такой как «червоточина». ^{[ 14 ]}

Избегание особенностей

В последнее время интерес к теории Эйнштейна-Картана был направлен на космологические выводы, и, что наиболее важно, на избежание гравитационной сингулярности в начале Вселенной, например, в космологии черной дыры . ^{[ 15 ]} статическая вселенная , ^{[ 16 ]} или циклическая модель . ^{[ 17 ]}

Теоремы о сингулярности, которые основаны на римановой геометрии и сформулированы в ее рамках (например, теоремы Пенроуза-Хокинга о сингулярности ), не обязательно должны выполняться в геометрии Римана-Картана. Следовательно, теория Эйнштейна-Картана способна обойти общерелятивистскую проблему сингулярности Большого взрыва . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Минимальная связь между кручением и спинорами Дирака порождает эффективное нелинейное спин-спиновое самодействие, которое становится существенным внутри фермионной материи при чрезвычайно высоких плотностях. Предполагается, что такое взаимодействие заменит сингулярный Большой взрыв похожим на каспа Большим отскоком при минимальном, но конечном масштабном коэффициенте , до которого наблюдаемая Вселенная сжималась. Этот сценарий также объясняет, почему нынешняя Вселенная в крупнейших масштабах кажется пространственно плоской, однородной и изотропной, обеспечивая физическую альтернативу космической инфляции . Кручение позволяет фермионам быть пространственно расширенными, а не «точечными» , что помогает избежать образования сингулярностей, таких как черные дыры , и устраняет ультрафиолетовую расходимость в квантовой теории поля. ^{[ 20 ]} Согласно общей теории относительности, гравитационный коллапс достаточно компактной массы образует сингулярную черную дыру. Вместо этого в теории Эйнштейна-Картана коллапс достигает отскока и образует обычный мост Эйнштейна-Розена ( червоточину ) к новой, растущей Вселенной на другой стороне горизонта событий ; Производство пар гравитационным полем после отскока, когда кручение еще велико, генерирует конечный период инфляции. ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

См. также

Ссылки

^ Кабрал, Франциско; Лобо, Франциско С.Н.; Рубьера-Гарсия, Диего (декабрь 2019 г.). «Гравитация Эйнштейна – Картана – Дирака с нарушением симметрии U (1)» . Европейский физический журнал C . 79 (12): 1023. arXiv : 1902.02222 . Бибкод : 2019EPJC...79.1023C . doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7536-3 . ISSN 1434-6044 .
^ Невилл, Дональд Э. (15 февраля 1980 г.). «Теории гравитации с распространяющимся кручением». Физический обзор D . 21 (4): 867–873. Бибкод : 1980PhRvD..21..867N . дои : 10.1103/physrevd.21.867 . ISSN 0556-2821 .
^ Эли Картан (1922). «Об одном обобщении понятия римановой кривизны и пространств кручения» . Труды Парижской академии наук (на французском языке). 174 : 593–595.
^ Картан, Эли (1923). «Об аффинно-связных многообразиях и общей теории относительности (часть первая)» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 40 : 325–412. дои : 10.24033/asens.751 . ISSN 0012-9593 .
^ Картан, Эли (1924). «Об аффинно-связных многообразиях и теории общей относительности (первая часть) (Продолжение)» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 41 :1–25. дои : 10.24033/asens.753 . ISSN 0012-9593 .
^ Картан, Эли (1925). «Об аффинно-связных многообразиях и общей теории относительности (часть вторая)» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 42 :17–88. дои : 10.24033/asens.761 . ISSN 0012-9593 .
^ Гённер, Хуберт FM (2004). «К истории единых теорий поля» . Живые обзоры в теории относительности . 7 (1): 2. Бибкод : 2004LRR.....7....2G . дои : 10.12942/lrr-2004-2 . ПМК 5256024 . ПМИД 28179864 .
^ Шиама, Д.В. (1 января 1964 г.). «Физическая структура общей теории относительности». Обзоры современной физики . 36 (1): 463–469. Бибкод : 1964РвМП...36..463С . дои : 10.1103/revmodphys.36.463 . ISSN 0034-6861 .
^ Киббл, TWB (1961). «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле». Журнал математической физики . 2 (2): 212–221. Бибкод : 1961JMP.....2..212K . дои : 10.1063/1.1703702 . ISSN 0022-2488 . S2CID 54806287 .
^ Хель, Фридрих В.; фон дер Хейде, Пол; Керлик, Дж. Дэвид; Нестер, Джеймс М. (1 июля 1976 г.). «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы». Обзоры современной физики . 48 (3): 393–416. Бибкод : 1976РвМП...48..393H . дои : 10.1103/revmodphys.48.393 . ISSN 0034-6861 . S2CID 55726649 .
^ Хель, ФРВ; Датта, Б.К. (1971). «Нелинейное спинорное уравнение и асимметричная связь в общей теории относительности». Журнал математической физики . 12 (7): 1334–1339. Бибкод : 1971JMP....12.1334H . дои : 10.1063/1.1665738 . ISSN 0022-2488 .
^ Хель, Фридрих В. (2007). «Замечание о тензоре кручения» . Физика сегодня . 60 (3): 16. Бибкод : 2007PhT....60c..16H . дои : 10.1063/1.2718743 .
^ Эллис, Джордж Ф.Р.; Пенроуз, сэр Роджер (2010). «Деннис Уильям Шиама. 18 ноября 1926 г. - 19 декабря 1999 г.». Биографические мемуары членов Королевского общества . 56 : 411. дои : 10.1098/rsbm.2009.0023 . S2CID 73035217 .
^ Ричард Дж. Петти (1986). «О локальной геометрии вращающейся материи». Общая теория относительности и гравитация . 18 (5): 441–460. Бибкод : 1986GReGr..18..441P . дои : 10.1007/bf00770462 . ISSN 0001-7701 . S2CID 120013580 .
^ Н. Поплавский (2023). «Глава 13: Гравитационный коллапс с кручением и Вселенная в черной дыре». В К. Бэмби (ред.). Обычные черные дыры: к новой парадигме гравитационного коллапса . Спрингер. стр. 485–499. arXiv : 2307.12190 . дои : 10.1007/978-981-99-1596-5_13 .
^ К. Атазаде (2014). «Стабильность статической вселенной Эйнштейна в теории Эйнштейна-Картана». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2014 (6): 020. arXiv : 1401.7639 . дои : 10.1088/1475-7516/2014/06/020 .
^ Ф. Кабрал, ФСН Лобо, Д. Рубьера-Гарсия (2020). «Космологические отскоки, циклические вселенные и эффективная космологическая постоянная в теории Эйнштейна-Картана-Дирака-Максвелла». Физический обзор D . 102 (8): 083509. arXiv : 2003.07463 . дои : 10.1103/PhysRevD.102.083509 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Никодем Ю. Поплавский (2010). «Космология с кручением: альтернатива космической инфляции». Буквы по физике Б. 694 (3): 181–185. arXiv : 1007.0587 . Бибкод : 2010PhLB..694..181P . дои : 10.1016/j.physletb.2010.09.056 .
^ Никодем Поплавский (2012). «Несингулярная космология большого отскока от спинорно-торсионной связи». Физический обзор D . 85 (10): 107502. arXiv : 1111.4595 . Бибкод : 2012PhRvD..85j7502P . дои : 10.1103/PhysRevD.85.107502 . S2CID 118434253 .
^ Никодем Ю. Поплавский (2010). «Несингулярные частицы Дирака в пространстве-времени с кручением». Буквы по физике Б. 690 (1): 73–77. arXiv : 0910.1181 . Бибкод : 2010PhLB..690...73P . дои : 10.1016/j.physletb.2010.04.073 .
^ Н. Поплавский (2016). «Вселенная в черной дыре в гравитации Эйнштейна-Картана» . Астрофизический журнал . 832 (2): 96. arXiv : 1410.3881 . Бибкод : 2016ApJ...832...96P . дои : 10.3847/0004-637X/832/2/96 . S2CID 119771613 .
^ Г. Унгер, Н. Поплавский (2019). «Большой отскок и закрытая Вселенная от вращения и кручения» . Астрофизический журнал . 870 (2): 78. arXiv : 1808.08327 . Бибкод : 2019ApJ...870...78U . дои : 10.3847/1538-4357/aaf169 . S2CID 119514549 .

Дальнейшее чтение

Гронвальд, Ф.; Хель, ФРВ (1996). «О калибровочных аспектах гравитации». arXiv : gr-qc/9602013 .
Хаммонд, Ричард Т. (27 марта 2002 г.). «Торсионная гравитация». Отчеты о прогрессе в физике . 65 (5): 599–649. Бибкод : 2002РПФ...65..599Х . дои : 10.1088/0034-4885/65/5/201 . ISSN 0034-4885 . S2CID 250831296 .
Хель, ФРВ (1973). «Спин и кручение в общей теории относительности: I. Основы». Общая теория относительности и гравитация . 4 (4): 333–349. Бибкод : 1973GReGr...4..333H . дои : 10.1007/bf00759853 . ISSN 0001-7701 . S2CID 120910420 .
Хель, ФРВ (1974). «Спин и кручение в общей теории относительности II: Геометрия и уравнения поля». Общая теория относительности и гравитация . 5 (5): 491–516. Бибкод : 1974GReGr...5..491H . дои : 10.1007/bf02451393 . ISSN 0001-7701 . S2CID 120844152 .
Хель, Фридрих В.; фон дер Хейде, Пол; Керлик, Дж. Дэвид (15 августа 1974 г.). «Общая теория относительности со спином и кручением и ее отклонения от теории Эйнштейна». Физический обзор D . 10 (4): 1066–1069. Бибкод : 1974PhRvD..10.1066H . дои : 10.1103/physrevd.10.1066 . ISSN 0556-2821 .
Кляйнерт, Хаген (2000). «Принцип неголономного отображения для классической и квантовой механики в пространствах с кривизной и кручением». Общая теория относительности и гравитация . 32 (5): 769–839. arXiv : gr-qc/9801003 . Бибкод : 2000GReGr..32..769K . дои : 10.1023/а:1001962922592 . ISSN 0001-7701 . S2CID 14846186 .
Кучович, Бронислав (1978). «Космологические модели типа Фридмана без сингулярности». Общая теория относительности и гравитация . 9 (6): 511–517. Бибкод : 1978GReGr...9..511K . дои : 10.1007/bf00759545 . ISSN 0001-7701 . S2CID 118380177 .
Лорд, Э.А. (1976). «Тензоры, теория относительности и космология» (МакГроу-Хилл).
Петти, Р.Дж. (1976). «Некоторые аспекты геометрии первоквантованных теорий». Общая теория относительности и гравитация . 7 (11): 869–883. Бибкод : 1976GReGr...7..869P . дои : 10.1007/bf00771019 . ISSN 0001-7701 . S2CID 189851295 .
Петти, Р.Дж. (12 января 2006 г.). «Поступательные пространственно-временные симметрии в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 23 (3): 737–751. arXiv : 1804.06730 . Бибкод : 2006CQGra..23..737P . дои : 10.1088/0264-9381/23/3/012 . ISSN 0264-9381 . S2CID 118897253 .
Петти, Р.Дж. (2021). «Вывод теории Эйнштейна – Картана из общей теории относительности». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 18 (6): 2150083–2151205. arXiv : 1301.1588 . Бибкод : 2021IJGMM..1850083P . дои : 10.1142/S0219887821500833 . S2CID 119218875 .
Поплавский, Никодем Дж. (2009). «Пространство-время и поля». arXiv : 0911.0334 [ gr-qc ].
де Саббата В. и Гасперини М. (1985). «Введение в гравитацию» (World Scientific).
де Саббата В. и Шиварам К. (1994). «Спин и кручение в гравитации» (World Scientific).
Шапиро, Иллинойс (2002). «Физические аспекты кручения пространства-времени». Отчеты по физике . 357 (2): 113–213. arXiv : hep-th/0103093 . Бибкод : 2002ФР...357..113С . дои : 10.1016/s0370-1573(01)00030-8 . ISSN 0370-1573 . S2CID 119356912 .
Траутман, Анджей (1973). «Вращение и кручение могут предотвратить гравитационные сингулярности». Природа Физика . 242 (114): 7–8. Бибкод : 1973НПфС..242....7Т . дои : 10.1038/physci242007a0 . ISSN 0300-8746 .
Траутман, Анджей (2006). «Теория Эйнштейна – Картана». arXiv : gr-qc/0606062 .

[1] Кабрал, Франциско; Лобо, Франциско С.Н.; Рубьера-Гарсия, Диего (декабрь 2019 г.). «Гравитация Эйнштейна – Картана – Дирака с нарушением симметрии U (1)» . Европейский физический журнал C . 79 (12): 1023. arXiv : 1902.02222 . Бибкод : 2019EPJC...79.1023C . doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7536-3 . ISSN 1434-6044 .

[Propagating-Torsion-2] Невилл, Дональд Э. (15 февраля 1980 г.). «Теории гравитации с распространяющимся кручением». Физический обзор D . 21 (4): 867–873. Бибкод : 1980PhRvD..21..867N . дои : 10.1103/physrevd.21.867 . ISSN 0556-2821 .

[3] Эли Картан (1922). «Об одном обобщении понятия римановой кривизны и пространств кручения» . Труды Парижской академии наук (на французском языке). 174 : 593–595.

[4] Картан, Эли (1923). «Об аффинно-связных многообразиях и общей теории относительности (часть первая)» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 40 : 325–412. дои : 10.24033/asens.751 . ISSN 0012-9593 .

[5] Картан, Эли (1924). «Об аффинно-связных многообразиях и теории общей относительности (первая часть) (Продолжение)» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 41 :1–25. дои : 10.24033/asens.753 . ISSN 0012-9593 .

[6] Картан, Эли (1925). «Об аффинно-связных многообразиях и общей теории относительности (часть вторая)» . Научные анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 42 :17–88. дои : 10.24033/asens.761 . ISSN 0012-9593 .

[7] Гённер, Хуберт FM (2004). «К истории единых теорий поля» . Живые обзоры в теории относительности . 7 (1): 2. Бибкод : 2004LRR.....7....2G . дои : 10.12942/lrr-2004-2 . ПМК 5256024 . ПМИД 28179864 .

[8] Шиама, Д.В. (1 января 1964 г.). «Физическая структура общей теории относительности». Обзоры современной физики . 36 (1): 463–469. Бибкод : 1964РвМП...36..463С . дои : 10.1103/revmodphys.36.463 . ISSN 0034-6861 .

[9] Киббл, TWB (1961). «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле». Журнал математической физики . 2 (2): 212–221. Бибкод : 1961JMP.....2..212K . дои : 10.1063/1.1703702 . ISSN 0022-2488 . S2CID 54806287 .

[10] Хель, Фридрих В.; фон дер Хейде, Пол; Керлик, Дж. Дэвид; Нестер, Джеймс М. (1 июля 1976 г.). «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы». Обзоры современной физики . 48 (3): 393–416. Бибкод : 1976РвМП...48..393H . дои : 10.1103/revmodphys.48.393 . ISSN 0034-6861 . S2CID 55726649 .

[11] Хель, ФРВ; Датта, Б.К. (1971). «Нелинейное спинорное уравнение и асимметричная связь в общей теории относительности». Журнал математической физики . 12 (7): 1334–1339. Бибкод : 1971JMP....12.1334H . дои : 10.1063/1.1665738 . ISSN 0022-2488 .

[12] Хель, Фридрих В. (2007). «Замечание о тензоре кручения» . Физика сегодня . 60 (3): 16. Бибкод : 2007PhT....60c..16H . дои : 10.1063/1.2718743 .

[13] Эллис, Джордж Ф.Р.; Пенроуз, сэр Роджер (2010). «Деннис Уильям Шиама. 18 ноября 1926 г. - 19 декабря 1999 г.». Биографические мемуары членов Королевского общества . 56 : 411. дои : 10.1098/rsbm.2009.0023 . S2CID 73035217 .

[14] Ричард Дж. Петти (1986). «О локальной геометрии вращающейся материи». Общая теория относительности и гравитация . 18 (5): 441–460. Бибкод : 1986GReGr..18..441P . дои : 10.1007/bf00770462 . ISSN 0001-7701 . S2CID 120013580 .

[NP6-15] Н. Поплавский (2023). «Глава 13: Гравитационный коллапс с кручением и Вселенная в черной дыре». В К. Бэмби (ред.). Обычные черные дыры: к новой парадигме гравитационного коллапса . Спрингер. стр. 485–499. arXiv : 2307.12190 . дои : 10.1007/978-981-99-1596-5_13 .

[16] К. Атазаде (2014). «Стабильность статической вселенной Эйнштейна в теории Эйнштейна-Картана». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2014 (6): 020. arXiv : 1401.7639 . дои : 10.1088/1475-7516/2014/06/020 .

[17] Ф. Кабрал, ФСН Лобо, Д. Рубьера-Гарсия (2020). «Космологические отскоки, циклические вселенные и эффективная космологическая постоянная в теории Эйнштейна-Картана-Дирака-Максвелла». Физический обзор D . 102 (8): 083509. arXiv : 2003.07463 . дои : 10.1103/PhysRevD.102.083509 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[NP1-18] Никодем Ю. Поплавский (2010). «Космология с кручением: альтернатива космической инфляции». Буквы по физике Б. 694 (3): 181–185. arXiv : 1007.0587 . Бибкод : 2010PhLB..694..181P . дои : 10.1016/j.physletb.2010.09.056 .

[NP2-19] Никодем Поплавский (2012). «Несингулярная космология большого отскока от спинорно-торсионной связи». Физический обзор D . 85 (10): 107502. arXiv : 1111.4595 . Бибкод : 2012PhRvD..85j7502P . дои : 10.1103/PhysRevD.85.107502 . S2CID 118434253 .

[NP0-20] Никодем Ю. Поплавский (2010). «Несингулярные частицы Дирака в пространстве-времени с кручением». Буквы по физике Б. 690 (1): 73–77. arXiv : 0910.1181 . Бибкод : 2010PhLB..690...73P . дои : 10.1016/j.physletb.2010.04.073 .

[NP3-21] Н. Поплавский (2016). «Вселенная в черной дыре в гравитации Эйнштейна-Картана» . Астрофизический журнал . 832 (2): 96. arXiv : 1410.3881 . Бибкод : 2016ApJ...832...96P . дои : 10.3847/0004-637X/832/2/96 . S2CID 119771613 .

[NP4-22] Г. Унгер, Н. Поплавский (2019). «Большой отскок и закрытая Вселенная от вращения и кручения» . Астрофизический журнал . 870 (2): 78. arXiv : 1808.08327 . Бибкод : 2019ApJ...870...78U . дои : 10.3847/1538-4357/aaf169 . S2CID 119514549 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

v т и Альберт Эйнштейн
Physics	Theory of relativity Special relativity General relativity Mass–energy equivalence (E=mc²) Brownian motion Photoelectric effect Einstein coefficients Einstein solid Equivalence principle Einstein field equations Einstein radius Einstein relation (kinetic theory) Cosmological constant Bose–Einstein condensate Bose–Einstein statistics Bose–Einstein correlations Einstein–Cartan theory Einstein–Infeld–Hoffmann equations Einstein–de Haas effect EPR paradox Bohr–Einstein debates Teleparallelism Thought experiments Unsuccessful investigations Wave–particle duality Gravitational wave Tea leaf paradox
Works	Annus mirabilis papers (1905) "Investigations on the Theory of Brownian Movement" (1905) Relativity: The Special and the General Theory (1916) The Meaning of Relativity (1922) The World as I See It (1934) The Evolution of Physics (1938) "Why Socialism?" (1949) Russell–Einstein Manifesto (1955)
In popular culture	Die Grundlagen der Einsteinschen Relativitäts-Theorie (1922 documentary) The Einstein Theory of Relativity (1923 documentary) Relics: Einstein's Brain (1994 documentary) Insignificance (1985 film) Young Einstein (1988 film) Picasso at the Lapin Agile (1993 play) I.Q. (1994 film) Einstein's Gift (2003 play) Einstein and Eddington (2008 TV film) Genius (2017 series) Oppenheimer (2023 film)
Prizes	Albert Einstein Award Albert Einstein Medal Kalinga Prize Albert Einstein Peace Prize Albert Einstein World Award of Science Einstein Prize for Laser Science Einstein Prize (APS)
Books about Einstein	Albert Einstein: Creator and Rebel Einstein and Religion Einstein for Beginners Einstein: His Life and Universe Einstein's Cosmos I Am Albert Einstein Introducing Relativity Subtle is the Lord
Family	Mileva Marić (first wife) Elsa Einstein (second wife; cousin) Lieserl Einstein (daughter) Hans Albert Einstein (son) Pauline Koch (mother) Hermann Einstein (father) Maja Einstein (sister) Eduard Einstein (son) Robert Einstein (cousin) Bernhard Caesar Einstein (grandson) Evelyn Einstein (granddaughter) Thomas Martin Einstein (great-grandson) Siegbert Einstein (distant cousin)
Related	Awards and honors Brain House Memorial Political views Religious views Things named after Albert Einstein Archives Einstein's Blackboard Einstein Papers Project Einstein refrigerator Einsteinhaus Einsteinium Max Talmey Emergency Committee of Atomic Scientists
Category