Радиус Эйнштейна

Радиус Эйнштейна — это радиус кольца Эйнштейна и характерный угол для гравитационного линзирования в целом, поскольку типичные расстояния между изображениями при гравитационном линзировании имеют порядок радиуса Эйнштейна.

Вывод

Геометрия гравитационных линз

При следующем выводе радиуса Эйнштейна мы будем считать, что вся масса M линзирующей галактики L сосредоточена в центре галактики.

Для точечной массы отклонение можно вычислить, и это один из классических тестов общей теории относительности . Для малых углов α ₁ полное отклонение точечной массой M определяется (см. метрику Шварцшильда ) выражением

$\alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}$

где

b ₁ – прицельный параметр (расстояние наибольшего сближения светового луча с центром масс)

G — гравитационная постоянная ,

с — скорость света .

Заметив, что для малых углов и угла, выраженного в радианах , точка наибольшего сближения b ₁ под углом θ ₁ для линзы L на расстоянии D _L определяется выражением b ₁ = θ ₁ D _L , мы можем пересчитать -выразите угол изгиба α ₁ как

$\alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}$ ..... (уравнение 1)

Если мы установим θ _S как угол, под которым можно было бы увидеть источник без линзы (что обычно не наблюдается), а θ ₁ как наблюдаемый угол изображения источника по отношению к линзе, то можно будет увидеть из геометрия линзирования (подсчет расстояний в плоскости источника) заключается в том, что вертикальное расстояние, охватываемое углом θ ₁ на расстоянии D _S , такое же, как сумма двух вертикальных расстояний θ _S D _S и α ₁ D _LS . Это дает уравнение линзы

$\theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}$

который можно переставить, чтобы дать

$\alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})$ ..... (уравнение 2)

Приравняв (уравнение 1) к (уравнению 2) и переставив их, мы получим

$\theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}$

Для источника прямо за линзой, θ _S = 0 , уравнение линзы для точечной массы дает характерное значение для θ ₁ которое называется углом Эйнштейна и обозначается θ _E. , Когда θ _E выражается в радианах, а источник линзирования находится достаточно далеко, радиус Эйнштейна , обозначаемый RE _{выражением} , определяется

$R_{E}=\theta _{E}D_{\rm {L}}$.

Полагая θ _S = 0 и решая для θ _1, получаем

$\theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}$

Угол Эйнштейна для точечной массы обеспечивает удобную линейную шкалу для создания безразмерных переменных линзирования. В терминах угла Эйнштейна уравнение линзы для точечной массы принимает вид

$\theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}$

Замена констант дает

$\theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}$

В последней форме масса выражается в массах Солнца ( M _☉ и расстояниях в гигапарсеках ( Гпк). Радиус Эйнштейна наиболее заметен для линзы, обычно находящейся на полпути между источником и наблюдателем.

Для плотного скопления с массой M _c ≈ 10 × 10 ¹⁵  M _☉ на расстоянии 1 гигапарсек (1 Гпк) этот радиус может достигать 100 угловых секунд (так называемое макролинзирование ). Для события гравитационного микролинзирования (с массой порядка 1 M _☉ ), искомого на галактических расстояниях (скажем, D ~ 3 кпк ), типичный радиус Эйнштейна будет порядка миллиугловых секунд. Следовательно, отдельные изображения в событиях микролинзирования невозможно наблюдать с помощью современных методов.

Аналогично для нижнего луча света, достигающего наблюдателя из-под линзы, имеем

$\theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}$

и

$\theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}$

и таким образом

$\theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}$

Приведенный выше аргумент можно распространить на линзы, которые имеют распределенную массу, а не точечную массу, используя другое выражение для угла изгиба α, после чего можно вычислить положения θ _I ( θ _S ) изображений. При малых отклонениях это отображение взаимно однозначно и состоит из обратимых искажений наблюдаемых положений. Это называется слабым линзированием . Для больших отклонений можно иметь несколько изображений и необратимое отображение: это называется сильным линзированием . Обратите внимание, что для того, чтобы распределенная масса образовала кольцо Эйнштейна, оно должно быть аксиально-симметричным.

См. также

• Гравитационная линза
• кольцо Эйнштейна

Библиография

• Чволсон, О (1924). «О возможной форме вымышленных двойных звезд». Астрономические новости . 221 (20): 329–330. Бибкод : 1924AN....221..329C . дои : 10.1002/asna.19242212003 . (Первая статья, предлагающая кольца)
• Эйнштейн, Альберт (1936). «Линзоподобное действие звезды при отклонении света в гравитационном поле» (PDF) . Наука . 84 (2188): 506–507. Бибкод : 1936Sci....84..506E . дои : 10.1126/science.84.2188.506 . JSTOR   1663250 . ПМИД   17769014 . S2CID   38450435 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 апреля 2018 г. (Знаменитая статья Кольца Эйнштейна)
• Ренн, Юрген ; Тилман Зауэр и Джон Стэчел (1997). «Происхождение гравитационного линзирования: постскриптум к научной статье Эйнштейна 1936 года». Наука . 275 (5297): 184–186. Бибкод : 1997Sci...275..184R . дои : 10.1126/science.275.5297.184 . ПМИД   8985006 . S2CID   43449111 .