Уравнения Эйнштейна–Инфельда–Гоффмана.

, Уравнения движения Эйнштейна-Инфельда-Хоффмана совместно выведенные Альбертом Эйнштейном , Леопольдом Инфельдом и Банешем Хоффманом , представляют собой дифференциальные уравнения, описывающие приблизительную динамику системы точечных масс вследствие их взаимных гравитационных взаимодействий, включая общие релятивистские эффекты. первого порядка Он использует постньютоновское расширение и, таким образом, действителен в пределе, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света и когда действующие на них гравитационные поля соответственно слабы.

Для системы из N тел, обозначенных индексами A = 1, ..., N , вектор барицентрического ускорения тела A определяется выражением:

${\begin{aligned}{\vec {a}}_{A}&=\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\\&{}\quad {}+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\left[v_{A}^{2}+2v_{B}^{2}-4({\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {v}}_{B})-{\frac {3}{2}}({\vec {n}}_{AB}\cdot {\vec {v}}_{B})^{2}\right.\\&{}\qquad {}\left.{}-4\sum _{C\not =A}{\frac {Gm_{C}}{r_{AC}}}-\sum _{C\not =B}{\frac {Gm_{C}}{r_{BC}}}+{\frac {1}{2}}(({\vec {x}}_{B}-{\vec {x}}_{A})\cdot {\vec {a}}_{B})\right]\\&{}\quad {}+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}}{r_{AB}^{2}}}\left[{\vec {n}}_{AB}\cdot (4{\vec {v}}_{A}-3{\vec {v}}_{B})\right]({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B})\\&{}\quad {}+{\frac {7}{2c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {a}}_{B}}{r_{AB}}}+O(c^{-4})\end{aligned}}$

где:

${\vec {x}}_{A}$ - вектор барицентрического положения тела A

${\vec {v}}_{A}=d{\vec {x}}_{A}/dt$ – вектор барицентрической скорости тела A

${\vec {a}}_{A}=d^{2}{\vec {x}}_{A}/dt^{2}$ – вектор барицентрического ускорения тела A

$r_{AB}=|{\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B}|$ - координатное расстояние между телами A и B

${\vec {n}}_{AB}=({\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B})/r_{AB}$ - единичный вектор, указывающий от тела B к телу A.

$m_{A}$ - масса тела А.

$c$ это скорость света

$G$ гравитационная постоянная

а большое обозначение O используется для обозначения того, что члены порядка c ⁻⁴ или за его пределами были опущены.

Используемые здесь координаты являются гармоническими . Первый член в правой части — это ньютоновское гравитационное ускорение в точке A ; в пределе c → ∞ восстанавливается закон движения Ньютона.

Ускорение конкретного тела зависит от ускорений всех остальных тел. Поскольку величина в левой части также появляется в правой части, эту систему уравнений необходимо решать итеративно. На практике использование ньютоновского ускорения вместо истинного ускорения обеспечивает достаточную точность.

Дальнейшее чтение

• Эйнштейн, А.; Инфельд, Л.; Хоффманн, Б. (1938). «Уравнения гравитации и проблема движения». Анналы математики . Вторая серия. 39 (1): 65–100. Бибкод : 1938АнМат..39...65Е . дои : 10.2307/1968714 . JSTOR   1968714 .
• Ковалевский, Жан; Зайдельманн, П. Кеннет (2004). Основы астрометрии . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . п. 173 . ISBN  0521642167 .
• Ландау, Лев; Лифшиц, Евгений (1971). Классическая теория полей . Оксфорд: Пергамон Пресс . п. 337.