Метрика Керра – Ньюмана – де Ситтера

Метрика Керра – Ньюмана – де Ситтера (KNdS) является одним из наиболее общих стационарных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла в общей теории относительности , которое описывает геометрию пространства-времени в области, окружающей электрически заряженную вращающуюся массу, заключенную в расширяющейся Вселенной. Он обобщает метрику Керра – Ньюмана, принимая во внимание космологическую постоянную. $\Lambda$.

Координаты Бойера – Линдквиста

В (+, −, −, −) сигнатуре и в натуральных единицах ${\rm {G=M=c=k_{e}=1}}$ метрика KNdS

$g_{\rm {tt}}={\rm {-{\frac {3\ [a^{2}\ \sin ^{2}\theta \left(a^{2}\ \Lambda \ \cos ^{2}\theta +3\right)+a^{2}\left(\Lambda \ r^{2}-3\right)+\Lambda \ r^{4}-3\ r^{2}+6\ r-3\mho ^{2}]}{\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}}$

$g_{\rm {rr}}={\rm {-{\frac {a^{2}\ \cos ^{2}\theta +r^{2}}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(1-{\frac {\Lambda \ r^{2}}{3}}\right)-2\ r+\mho ^{2}}}}}$

$g_{\rm {\theta \theta }}={\rm {-{\frac {3\left(a^{2}\ \cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}{a^{2}\ \Lambda \ \cos ^{2}\theta +3}}}}$

$g_{\rm {\phi \phi }}={\rm {\frac {9\ \{{\frac {1}{3}}\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\ \Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)-a^{2}\sin ^{4}\theta \ [\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(1-\Lambda \ r^{2}/3\right)-2\ r+\mho ^{2}]\}}{-\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

$g_{\rm {t\phi }}={\rm {\frac {3\ a\ \sin ^{2}\theta \ [a^{2}\ \Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\ \Lambda \ r^{2}+\Lambda \ r^{4}+6\ r-3\ \mho ^{2}]}{\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\ \cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

со всеми остальными компонентами метрического тензора $g_{\mu \nu }=0$, где ${\rm {a}}$ - параметр вращения черной дыры, ${\rm {\mho }}$ его электрический заряд и ${\rm {\Lambda =3H^{2}}}$ космологическая постоянная с ${\rm {H}}$ как независимый от времени параметр Хаббла . Электромагнитный 4- потенциал

${\rm {A_{\mu }=\left\{{\frac {3\ r\ \mho }{\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)\left(a^{2}\ \cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}},\ 0,\ 0,\ -{\frac {3\ a\ r\ \mho \ \sin ^{2}\theta }{\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)\left(a^{2}\ \cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}\right\}}}$

равна перетаскивания кадра Угловая скорость

$\omega ={\frac {\rm {d\phi }}{\rm {dt}}}=-{\frac {g_{\rm {t\phi }}}{g_{\rm {\phi \phi }}}}={\rm {\frac {a\ [a^{2}\ \Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\ \Lambda \ r^{2}+6\ r+\Lambda \ r^{4}-3\ \mho ^{2}]}{a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ [a^{2}\left(\Lambda \ r^{2}-3\right)+6\ r+\Lambda \ r^{4}-3\ r^{2}-3\ \mho ^{2}]+a^{2}\ \Lambda \ \left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\cos ^{2}\theta +3\ \left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}}}}$

и локальную скорость перетаскивания кадра относительно постоянной ${\rm {\{r,\theta ,\phi \}}}$ положения (скорость света в эргосфере )

$\nu ={\sqrt {g_{\rm {t\phi }}\ g^{\rm {t\phi }}}}={\rm {\sqrt {-{\frac {a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ [a^{2}\ \Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\Lambda \ r^{2}+6\ r+\Lambda \ r^{4}-3\ \mho ^{2}]^{2}}{\left(a^{2}\ \Lambda \ \cos ^{2}\theta +3\right)\left(a^{2}+r^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{2}[a^{2}\left(\Lambda \ r^{2}-3\right)+6\ r+\Lambda \ r^{4}-3\ r^{2}-3\ \mho ^{2}]}}}}}$

Скорость убегания (скорость света на горизонте) относительно местного наблюдателя, вращающегося с нулевым угловым моментом, равна

${\rm {v}}={\sqrt {1-1/g^{\rm {tt}}}}={\rm {\sqrt {{\frac {3\left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)\left(a^{2}+r^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{2}\left[a^{2}\left(\Lambda r^{2}-3\right)+\Lambda r^{4}-3r^{2}+6r-3\mho ^{2}\right]}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)\{a^{2}\Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\cos ^{2}\theta +3\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}+a^{2}\sin ^{2}\theta \left[a^{2}\left(\Lambda r^{2}-3\right)+\Lambda r^{4}-3r^{2}+6r-3\mho ^{2}\right]\}}}+1}}}$

Сохраняющиеся величины в уравнениях движения

${\rm {{\ddot {x}}^{\mu }=-\sum _{\alpha ,\beta }\ (\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\ {\dot {x}}^{\alpha }\ {\dot {x}}^{\beta }+q\ {\rm {F}}^{\mu \beta }\ {\rm {\dot {x}}}^{\alpha }}}\ g_{\alpha \beta })$

где ${\rm {\dot {x}}}$ это четыре скорости , ${\rm {q}}$ пробной частицы - удельный заряд и ${\rm {F}}$ тензор Максвелла – Фарадея

${\rm {{\ F}_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}}}$

полная энергия

${\rm {E=-p_{t}}}=g_{\rm {tt}}{\rm {\dot {t}}}+g_{\rm {t\phi }}{\rm {\dot {\phi }}}+{\rm {q\ A_{t}}}$

и ковариантный осевой угловой момент

${\rm {L_{z}=p_{\phi }}}=-g_{\rm {\phi \phi }}{\rm {\dot {\phi }}}-g_{\rm {t\phi }}{\rm {\dot {t}}}-{\rm {q\ A_{\phi }}}$

Верхняя точка означает дифференцирование по собственному времени пробной частицы. $\tau$ фотона или аффинный параметр , поэтому ${\rm {{\dot {x}}=dx/d\tau ,\ {\ddot {x}}=d^{2}x/d\tau ^{2}}}$.

Нулевые координаты

Получить $g_{\rm {rr}}=0$ координаты мы применяем преобразование

${\rm {dt=du-{\frac {dr\left(a^{2}\ \Lambda /3+1\right)\left(a^{2}+r^{2}\right)}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(1-\Lambda \ r^{2}/3\right)-2\ r+\mho ^{2}}}}}$

${\rm {d\phi =d\varphi -{\frac {a\ dr\left(a^{2}\ \Lambda /3+1\right)}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(1-\Lambda \ r^{2}/3\right)-2\ r+\mho ^{2}}}}}$

и получим метрические коэффициенты

$g_{\rm {ur}}={\rm {-{\frac {3}{a^{2}\ \Lambda +3}}}}$

$g_{\rm {r\varphi }}={\rm {\frac {3\ a\sin ^{2}\theta }{a^{2}\ \Lambda +3}}}$

$g_{\rm {uu}}=g_{\rm {tt}}\ ,\ \ g_{\theta \theta }=g_{\theta \theta }\ ,\ \ g_{\rm {\varphi \varphi }}=g_{\rm {\phi \phi }}\ ,\ \ g_{\rm {u\varphi }}=g_{\rm {t\phi }}$

и все остальные $g_{\mu \nu }=0$, с электромагнитным векторным потенциалом

${\rm {A_{\mu }=\left\{{\frac {3\ r\ \mho }{\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}},{\frac {3\ r\ \mho }{a^{2}\left(\Lambda \ r^{2}-3\right)+6\ r+\Lambda \ r^{4}-3\left(r^{2}+\mho ^{2}\right)}},\ 0,\ -{\frac {3\ a\ r\ \mho \sin ^{2}\theta }{\left(a^{2}\ \Lambda +3\right)\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}\right\}}}$

Определение ${\rm {{\bar {t}}=u-r}}$ входящие светоподобные мировые линии дают $45^{\circ }$ световой конус на $\{{\rm {{\bar {t}},\ r\}}}$ диаграмма пространства-времени .

Горизонты и эргосферы

Горизонты и эргошеры в метрике KNdS для разных отношений M:Λ. Поверхности, связанные с черной дырой, имеют цветовую кодировку, как здесь .

Слева: горизонты, справа: эргошеры для M=1, a=9/10, ℧=2/5, Λ=1/9. В этот момент внешняя эргосфера черной дыры соединилась с космической, образовав два купола вокруг черной дыры.

Нестабильная орбита r=2 с черной дырой и космическими параметрами, как на изображении выше.

Горизонты находятся на $g^{\rm {rr}}=0$ и эргосферы в $g_{\rm {tt}}||g_{\rm {uu}}=0$. Эту задачу можно решить численно или аналитически. Как и в метриках Керра и Керра-Ньюмана , горизонты имеют постоянные значения Бойера-Линдквиста. ${\rm {r}}$, а радиусы эргосфер зависят еще и от полярного угла $\theta$.

Это дает по три положительных решения каждое (включая внутренние и внешние горизонты черной дыры и эргосферы, а также космические) и отрицательное решение для пространства в ${\rm {r<0}}$ в антивселенной за кольцевой особенностью , которая является частью, вероятно, нефизического расширенного решения метрики.

С отрицательным $\Lambda$ ( вариант Анти-де-Ситтера с притягивающей космологической постоянной), космического горизонта и эргосферы нет, есть только те, что связаны с черной дырой.

В лимите участников внешний горизонт и эргосфера черной дыры совпадают с космическими (в метрике Шварцшильда–де–Ситтера, к которой сводится KNdS с ${\rm {a=\mho =0}}$ это будет тот случай, когда $\Lambda =1/9$).

Инварианты

Скаляр Риччи для метрики KNdS равен ${\rm {R=-4\Lambda }}$, а скаляр Кречмана равен

${\rm {K=\{220a^{12}\Lambda ^{2}\cos(6\theta )+66a^{12}\Lambda ^{2}\cos(8\theta )+12a^{12}\Lambda ^{2}\cos(10\theta )+a^{12}\Lambda ^{2}\cos(12\theta )+}}$

${\rm {462a^{12}\Lambda ^{2}+1080a^{10}\Lambda ^{2}r^{2}\cos(6\theta )+240a^{10}\Lambda ^{2}r^{2}\cos(8\theta )+24a^{10}\Lambda ^{2}r^{2}\cos(10\theta )+}}$

${\rm {3024a^{10}\Lambda ^{2}r^{2}+1920a^{8}\Lambda ^{2}r^{4}\cos(6\theta )+240a^{8}\Lambda ^{2}r^{4}\cos(8\theta )+8400a^{8}\Lambda ^{2}r^{4}-}}$

${\rm {1152a^{6}\cos(6\theta )-11520a^{6}+1280a^{6}\Lambda ^{2}r^{6}\cos(6\theta )+12800a^{6}\Lambda ^{2}r^{6}+207360a^{4}r^{2}-}}$

${\rm {138240a^{4}r\mho ^{2}+11520a^{4}\Lambda ^{2}r^{8}+16128a^{4}\mho ^{4}-276480a^{2}r^{4}+368640a^{2}r^{3}\mho ^{2}+}}$

${\rm {6144a^{2}\Lambda ^{2}r^{10}-104448a^{2}r^{2}\mho ^{4}+3a^{4}\cos(4\theta )[165a^{8}\Lambda ^{2}+960a^{6}\Lambda ^{2}r^{2}+2240a^{4}\Lambda ^{2}r^{4}-}}$

${\rm {256a^{2}(9-10\Lambda ^{2}r^{6})+256(90r^{2}-60r\mho ^{2}+5\Lambda ^{2}r^{8}+7\mho ^{4})]+24a^{2}\cos(2\theta )[33a^{10}\Lambda ^{2}+}}$

${\rm {210a^{8}\Lambda ^{2}r^{2}+560a^{6}\Lambda ^{2}r^{4}-80a^{4}(9-10\Lambda ^{2}r^{6})+128a^{2}(90r^{2}-60r\mho ^{2}+5\Lambda ^{2}r^{8}+}}$

${\rm {7\mho ^{4})+256r^{2}(-45r^{2}+60r\mho ^{2}+\Lambda ^{2}r^{8}-17\mho ^{4})]+36864r^{6}-73728r^{5}\mho ^{2}+}}$

${\rm {2048\Lambda ^{2}r^{12}+43008r^{4}\mho ^{4}\}\div \{12[a^{2}\cos(2\theta )+a^{2}+2r^{2}]^{6}\}{\text{.}}}}$

См. также

• Метрика Керра – Ньюмана
• Метрика Де Ситтера – Шварцшильда
• по пространству Ситтера
• Вселенная де Ситтера
• Антиде Ситтеровское пространство
• Переписка AdS/CFT