Релятивистский эффект Доплера

Рис. 1. Источник световых волн, движущийся вправо относительно наблюдателя со скоростью 0,7 c . Частота выше для наблюдателей справа и ниже для наблюдателей слева.

Релятивистский эффект Доплера – это изменение частоты , длины волны и амплитуды. света, вызванное относительным движением источника и наблюдателя (как в классическом эффекте Доплера ), при учете эффектов, описываемых специальной теорией относительности .

Релятивистский эффект Доплера отличается от нерелятивистского эффекта Доплера, поскольку уравнения включают замедления времени эффект специальной теории относительности и не используют среду распространения в качестве опорной точки. Они описывают полную разницу наблюдаемых частот и обладают необходимой лоренцевой симметрией .

Астрономам известны три источника красного / синего смещения : доплеровские сдвиги; гравитационное красное смещение (из-за выхода света из гравитационного поля); и космологическое расширение (где простирается само пространство). Эта статья касается только доплеровских сдвигов.

основных

В следующей таблице предполагается, что для $\beta =v/c>0$ приемник и источник удаляются друг от друга, $v$ относительная скорость и $c$ скорость света и ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$.

Сценарий	Формула	Примечания
Релятивистская продольная Эффект Допплера	${\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}$
Поперечный эффект Доплера, геометрический ближайший подход	$f_{r}=\gamma f_{s}$	Синее смещение
Поперечный эффект Доплера, визуальное максимальное приближение	$f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}$	Красное смещение
TDE, приемник кольцевой движение вокруг источника	$f_{r}=\gamma f_{s}$	Синее смещение
TDE, источник в циркуляре движение вокруг приемника	$f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}$	Красное смещение
TDE, источник и приемник в круговом движении вокруг общий центр	${\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^{2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}$	Нет доплеровского сдвига когда $R=R'$
Движение в произвольном направлении измерено в кадре приемника	$f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}$
Движение в произвольном направлении измерено в исходном кадре	$f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}$

Вывод

Релятивистский

Релятивистский доплеровский сдвиг для продольного случая, когда источник и приемник движутся прямо навстречу друг другу или друг от друга, часто определяется так, как если бы это было классическое явление, но модифицируется добавлением фактора замедления времени . Этот подход используется в учебниках по физике или механике для первого курса, например в учебниках Фейнмана. или Морен.

Следуя этому подходу к выводу релятивистского продольного эффекта Доплера, предположим, что приемник и источник удаляются друг от друга с относительной скоростью $v\,$ измеренное наблюдателем на приемнике или источнике (принятое здесь соглашение о знаках заключается в том, что $v\,$ отрицательно , если приемник и источник движутся навстречу друг другу).

Рассмотрим задачу в системе отсчета источника.

Предположим, что один волновой фронт достигает приемника. Следующий волновой фронт тогда находится на расстоянии $\lambda _{s}=c/f_{s}\,$ вдали от приемника (где $\lambda _{s}\,$ это длина волны , $f_{s}\,$ - частота волн, излучаемых источником, и $c\,$ это скорость света ).

Волновой фронт движется со скоростью $c\,$, но при этом приемник со скоростью удаляется $v$ в течение времени $t_{r,s}$, который представляет собой период световых волн, падающих на приемник, наблюдаемых в системе координат источника. Так,

$$\lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}\Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\Longleftrightarrow t_{r,s}={\frac {1}{f_{s}(1-\beta )}},$$

где $\beta =v/c\,$- скорость приемника, выраженная в скорости света. Соответствующий $f_{r,s}$, частота, с которой волновые фронты падают на приемник в кадре источника, равна:

$$f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).$$

До сих пор уравнения были идентичны уравнениям классического эффекта Доплера со стационарным источником и движущимся приемником.

Однако из-за релятивистских эффектов часы на приемнике замедлены по времени относительно часов на источнике: $t_{r}=t_{r,s}/\gamma$, где ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$является фактором Лоренца . Чтобы узнать, какое время расширено, напомним, что $t_{r,s}$– время в кадре, в котором источник находится в состоянии покоя. Приемник будет измерять принимаемую частоту, чтобы

уравнение 1:    $f_{r}=f_{r,s}\gamma$ $={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}$ $={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.$

Соотношение

${\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}$

называется коэффициентом Доплера источника относительно приемника. (Эта терминология особенно распространена в области астрофизики : см. релятивистское излучение .)

Соответствующие длины волн связаны соотношением

уравнение 2:    ${\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}},$

Идентичные выражения для релятивистского доплеровского сдвига получаются при проведении анализа в системе отсчета приемника с движущимся источником. Это соответствует ожиданиям принципа относительности , который гласит, что результат не может зависеть от того, какой объект считается покоящимся. Напротив, классический нерелятивистский эффект Доплера зависит от того, является ли источник или приемник стационарным относительно среды.

Поперечный эффект Доплера

Предположим, что источник и приемник приближаются друг к другу в равномерном инерционном движении по путям, которые не сталкиваются. Поперечный эффект Доплера (TDE) может относиться к (а) номинальному синему смещению , предсказанному специальной теорией относительности , которое возникает, когда излучатель и приемник находятся в точках наибольшего сближения; или (б) номинальное красное смещение , предсказанное специальной теорией относительности, когда приемник видит , что излучатель находится на самом близком расстоянии. Поперечный эффект Доплера — одно из главных новых предсказаний специальной теории относительности.

Описывается ли в научном отчете TDE как красное или синее смещение, зависит от особенностей соответствующей экспериментальной установки. Например, в первоначальном описании ТДЭ, сделанном Эйнштейном в 1907 году, экспериментатор смотрел на центр (ближайшую точку) луча « канальных лучей » (пучка положительных ионов, создаваемого определенными типами газоразрядных трубок). Согласно специальной теории относительности, частота испускания движущихся ионов будет уменьшена на коэффициент Лоренца, так что полученная частота будет уменьшена (сдвинута в красную сторону) на тот же коэффициент.

С другой стороны, Кюндиг (1963) описал эксперимент, в котором мессбауэровский поглотитель вращался по быстрой круговой траектории вокруг центрального мессбауэровского эмиттера. Как объясняется ниже, эта экспериментальная установка привела к измерению Кюндигом синего смещения.

в точках

Рисунок 2. Источник и приемник находятся в точках наибольшего сближения. (а) Анализ в рамках приемника. (б) Анализ в рамках источника.

В этом сценарии точка наибольшего сближения не зависит от кадра и представляет собой момент, когда расстояние не меняется во времени. Рисунок 2 демонстрирует, что простота анализа этого сценария зависит от кадра, в котором он анализируется.

• Рис. 2а. Если мы проанализируем сценарий в рамках приемника, мы обнаружим, что анализ более сложен, чем должен быть. Видимое положение небесного объекта смещается от его истинного положения (или геометрического положения) из-за движения объекта в течение того времени, когда его свет достигает наблюдателя. Источник будет замедлен во времени относительно приемника, но красное смещение, подразумеваемое этим замедлением времени, будет компенсироваться синим смещением из-за продольной составляющей относительного движения между приемником и видимым положением источника.
• Рис. 2б. Гораздо проще, если вместо этого мы проанализируем сценарий с точки зрения источника. Наблюдатель, находящийся у источника, из постановки задачи знает, что приемник находится в ближайшей к нему точке. Это означает, что приемник не имеет продольной составляющей движения, что усложняет анализ. (т.е. dr/dt = 0, где r — расстояние между приемником и источником). Поскольку часы приемника замедлены по времени относительно источника, свет, который получает приемник, смещается в синюю сторону на коэффициент гаммы. Другими словами,

уравнение 3:    $f_{r}=\gamma f_{s}$

Приемник видит источник как находящийся в ближайшей точке

Рисунок 3. Поперечный доплеровский сдвиг для сценария, в котором приемник видит источник как находящийся в ближайшей точке.

Этот сценарий эквивалентен тому, что приемник смотрит под прямым углом к ​​пути источника. Анализ этого сценария лучше всего проводить со стороны приемника. На рисунке 3 показано, как приемник освещается светом, когда источник находился ближе всего к приемнику, даже если источник переместился дальше. Поскольку часы источника замедлены во времени, измеренном в системе координат приемника, и поскольку в их движении нет продольной составляющей, свет от источника, излучаемый из этой ближайшей точки, смещается в красную сторону с частотой

уравнение 4:    $f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}$

В литературе в большинстве сообщений о поперечном доплеровском сдвиге эффект анализируется с точки зрения приемника, направленного под прямым углом к ​​​​траектории источника, таким образом, видя источник как находящийся в ближайшей точке и наблюдая красное смещение.

Точка нулевого сдвига частоты

Рисунок 4. Нулевой сдвиг частоты происходит для импульса, который проходит кратчайшее расстояние от источника к приемнику.

Учитывая, что в случае, когда движущиеся по инерции источник и приемник геометрически находятся на максимальном сближении друг с другом, приемник наблюдает голубое смещение, тогда как в случае, когда приемник видит источник как находящийся в ближайшей точке, приемник наблюдает красного смещения, очевидно, должна существовать точка, в которой синее смещение меняется на красное. На рис. 2 сигнал распространяется перпендикулярно тракту приемника и имеет синее смещение. На рис. 3 сигнал распространяется перпендикулярно пути источника и имеет красное смещение.

Как видно на рис. 4, нулевой сдвиг частоты происходит для импульса, который проходит кратчайшее расстояние от источника к приемнику. Если смотреть в кадре, где источник и приемник имеют одинаковую скорость, этот импульс излучается перпендикулярно пути источника и принимается перпендикулярно пути приемника. Импульс излучается немного раньше точки наибольшего сближения, а принимается немного позже.

Один объект совершает круговое движение вокруг другого

Рис. 5. Поперечный эффект Доплера для двух сценариев: (а) движение приемника по кругу вокруг источника; (б) источник движется по кругу вокруг приемника.

Рис. 5 иллюстрирует два варианта этого сценария. Оба варианта можно проанализировать, используя простые аргументы замедления времени. Рисунок 5а по существу эквивалентен сценарию, описанному на рисунке 2b, и приемник наблюдает, что свет от источника смещен в голубую сторону в раз. $\gamma$. Рисунок 5b по существу эквивалентен сценарию, описанному на рисунке 3, и свет смещен в красную сторону.

Единственная кажущаяся сложность заключается в том, что орбитальные объекты находятся в ускоренном движении. Ускоренная частица не имеет инерциальной системы отсчета, в которой она всегда покоится. Однако всегда можно найти инерциальную систему отсчета, которая в данный момент движется вместе с частицей. Эта система отсчета, мгновенно сопутствующая система отсчета (MCRF) , позволяет применять специальную теорию относительности к анализу ускоренных частиц. Если инерционный наблюдатель смотрит на ускоряющиеся часы, при вычислении замедления времени важна только мгновенная скорость часов.

Обратное, однако, неверно. Анализ сценариев, когда оба объекта находятся в ускоренном движении, требует несколько более сложного анализа. Непонимание этого момента привело к путанице и непониманию.

совершают круговое движение вокруг общего

Рис. 6. Источник и приемник расположены на противоположных концах ротора, на равном расстоянии от центра.

Предположим, источник и приемник расположены на противоположных концах вращающегося ротора, как показано на рис. 6. Кинематические аргументы (специальная теория относительности) и аргументы, основанные на том, что между источником и приемником нет разницы потенциалов в псевдогравитационном поле ротора. (общая теория относительности) оба приводят к выводу, что между источником и приемником не должно быть доплеровского сдвига.

В 1961 году Чампени и Мун провели эксперимент с мессбауэровским ротором, проверяя именно этот сценарий, и обнаружили, что вращение не влияет на процесс мессбауэровского поглощения. Они пришли к выводу, что их результаты подтверждают специальную теорию относительности.

Этот вывод вызвал некоторые споры. Некий настойчивый критик теории относительности утверждал, что, хотя эксперимент и соответствовал общей теории относительности, он опроверг специальную теорию относительности, поскольку его точка зрения заключалась в том, что, поскольку излучатель и поглотитель находились в равномерном относительном движении, специальная теория относительности требовала наблюдения доплеровского сдвига. Ошибочность аргумента этого критика заключалась, как показано в разделе « Точка нулевого сдвига частоты» , в том, что просто неверно, что доплеровский сдвиг всегда должен наблюдаться между двумя кадрами в равномерном относительном движении. Более того, как показано в разделе Источник и приемник находятся в точках наибольшего сближения , сложность анализа релятивистского сценария часто зависит от выбора системы отсчета. Попытка проанализировать сценарий в рамках приемника требует много утомительной алгебры. Гораздо проще, почти тривиально, установить отсутствие доплеровского сдвига между излучателем и поглотителем в лабораторных условиях.

На самом деле, однако, эксперимент Чампени и Муна не сказал ничего ни за, ни против специальной теории относительности. Из-за симметрии установки оказывается, что практически любая мыслимая теория доплеровского сдвига между кадрами при равномерном инерциальном движении должна давать в этом эксперименте нулевой результат.

Предположим, что эмиттер и поглотитель находятся не на равном расстоянии от центра, а на разных расстояниях от центра ротора. Для излучателя радиусом $R'$ и поглотитель на радиусе $R$ в любом месте ротора соотношение частоты излучателя, $f',$ и частота поглотителя, $f,$ дан кем-то

уравнение 5:    ${\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^{2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}$

где $\omega$- угловая скорость ротора. Источник и излучатель не обязательно должны находиться на расстоянии 180° друг от друга, но могут находиться под любым углом относительно центра.

Движение в произвольном направлении

Рисунок 7. Доплеровский сдвиг при движении источника под произвольным углом относительно линии между источником и приемником.

Анализ, использованный в разделе «Релятивистский продольный эффект Доплера», можно напрямую расширить для расчета доплеровского сдвига для случая, когда инерционные движения источника и приемника происходят под любым заданным углом. На рис. 7 представлен сценарий из кадра приемника, при этом источник движется со скоростью $v$ под углом $\theta _{r}$измеряется в кадре приемника. Радиальная составляющая движения источника вдоль луча зрения равна $v\cos {\theta _{r}}.$

Приведенное ниже уравнение можно интерпретировать как классический доплеровский сдвиг для стационарного и движущегося источника, модифицированный фактором Лоренца. $\gamma :$

уравнение 6:    $f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.$

В случае, когда $\theta _{r}=90^{\circ }$, получаем поперечный эффект Доплера :

$f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.\,$

В своей статье по специальной теории относительности 1905 г. Эйнштейн получил несколько иное уравнение для уравнения доплеровского сдвига. После изменения названий переменных в уравнении Эйнштейна, чтобы они соответствовали используемым здесь, его уравнение выглядит следующим образом:

уравнение 7:    $f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.$

Различия связаны с тем, что Эйнштейн оценивал угол $\theta _{s}$ относительно исходного кадра покоя, а не покоящегося кадра приемника. $\theta _{s}$ не равен $\theta _{r}$из-за эффекта релятивистской аберрации . Уравнение релятивистской аберрации:

уравнение 8:    $\cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}}\,$

Подстановка уравнения релятивистской аберрации (уравнение 8) в уравнение 6 дает уравнение 7 , демонстрирующее согласованность этих альтернативных уравнений для доплеровского сдвига.

Параметр $\theta _{r}=0$ в уравнении 6 или $\theta _{s}=0$ в уравнении 7 дает уравнение 1 , выражение для релятивистского продольного доплеровского сдвига.

Четырехвекторный подход к получению этих результатов можно найти в Ландау и Лифшице (2005).

В электромагнитных волнах амплитуды электрического и магнитного поля E и B преобразуются аналогично частоте:

$E_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)E_{s}$

$B_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)B_{s}.$

Визуализация

Рисунок 8. Сравнение релятивистского эффекта Доплера (вверху) с нерелятивистским эффектом (внизу).

Рис. 8 помогает нам понять, в грубом качественном смысле, чем релятивистский эффект Доплера и релятивистская аберрация отличаются от нерелятивистского эффекта Доплера и нерелятивистской аберрации света . Предположим, что наблюдатель равномерно окружен во всех направлениях желтыми звездами, излучающими монохроматический свет с длиной волны 570 нм. Стрелки на каждой диаграмме представляют вектор скорости наблюдателя относительно его окружения с величиной 0,89 c .

• В релятивистском случае свет впереди наблюдателя смещается в синий цвет до длины волны 137 нм в дальнем ультрафиолете, а свет позади наблюдателя смещается в красную сторону до 2400 нм в коротковолновом инфракрасном диапазоне. Из-за релятивистской аберрации света объекты, которые раньше находились под прямым углом к ​​наблюдателю, кажутся смещенными вперед на 63°.
• В нерелятивистском случае свет впереди наблюдателя смещается в синий цвет до длины волны 300 нм в среднем ультрафиолете, а свет позади наблюдателя смещается в красную сторону до 5200 нм в промежуточном инфракрасном диапазоне. Из-за аберрации света объекты, которые раньше находились под прямым углом к ​​наблюдателю, кажутся смещенными вперед на 42°.
• В обоих случаях монохроматические звезды впереди и позади наблюдателя сдвинуты доплеровским сдвигом в сторону невидимых длин волн. Однако если бы у наблюдателя были глаза, способные видеть в ультрафиолетовом и инфракрасном диапазоне, он увидел бы звезды впереди себя более яркими и более тесно сгруппированными вместе, чем звезды позади, но звезды были бы гораздо ярче и гораздо более сконцентрированными в дальнем свете. релятивистский случай.

Настоящие звезды не монохроматичны, а излучают диапазон длин волн, приближающийся к распределению черного тела . То, что звезды перед наблюдателем будут иметь более синий цвет, не обязательно верно. Это происходит потому, что все спектральное распределение энергии смещено. В то время как видимый свет смещается в синий цвет в невидимые ультрафиолетовые волны, инфракрасный свет смещается в синий цвет в видимый диапазон. Какие именно изменения в цветах человек видит, зависит от физиологии человеческого глаза и от спектральных характеристик наблюдаемых источников света.

Эффект Доплера на интенсивность

Дополнительная информация: Излучение черного тела § Эффект Доплера.

Эффект Доплера (с произвольным направлением) также изменяет воспринимаемую интенсивность источника: кратко это можно выразить тем фактом, что мощность источника, деленная на куб частоты, является инвариантом Лоренца. Это означает, что общая интенсивность излучения (сумма по всем частотам) умножается на четвертую степень доплеровского коэффициента для частоты.

Как следствие, поскольку закон Планка описывает излучение черного тела как имеющее спектральную интенсивность по частоте, пропорциональную ${\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}$ (где $T$ – температура источника и $f$ частоты), мы можем сделать вывод, что спектр черного тела, наблюдаемый через доплеровский сдвиг (с произвольным направлением), по-прежнему представляет собой спектр черного тела с температурой, умноженной на тот же доплеровский коэффициент, что и частота.

Этот результат является одним из доказательств, позволяющих отличить теорию Большого взрыва от альтернативных теорий, предложенных для объяснения космологического красного смещения .

Экспериментальная проверка

Основная статья: Тесты Айвса-Стилуэлла, мессбауэровского ротора и спектроскопические тесты на замедление времени

Поскольку поперечный эффект Доплера является одним из главных новых предсказаний специальной теории относительности, обнаружение и точная количественная оценка этого эффекта была важной целью экспериментов, пытающихся подтвердить специальную теорию относительности.

типа Айвза

Рисунок 9. Почему сложно точно измерить поперечный эффект Доплера с помощью поперечного луча.

Эйнштейн (1907) первоначально предположил, что TDE можно измерить, наблюдая луч « канальных лучей », расположенных под прямым углом к ​​лучу. Попытки измерить TDE по этой схеме оказались непрактичными, поскольку максимальная скорость пучка частиц, доступная в то время, составляла всего несколько тысячных скорости света.

На рис. 9 показаны результаты попытки измерения линии 4861 Ангстрем, испускаемой пучком канальных лучей (смесь ионов H1+, H2+ и H3+), когда они рекомбинируют с электронами, оторванными от разбавленного газообразного водорода, используемого для заполнения канала. трубка. Здесь прогнозируемый результат TDE — линия 4861,06 Ангстрем. Слева продольный доплеровский сдвиг приводит к расширению линии излучения до такой степени, что TDE невозможно наблюдать. Средние рисунки показывают, что даже если сузить обзор до точного центра луча, очень небольшие отклонения луча от точного прямого угла приводят к сдвигам, сравнимым с предсказанным эффектом.

Вместо того, чтобы пытаться напрямую измерить TDE, Айвс и Стилвелл (1938) использовали вогнутое зеркало, которое позволяло им одновременно наблюдать почти продольный прямой луч (синий) и его отраженное изображение (красный). Спектроскопически можно было бы наблюдать три линии: несмещенную эмиссионную линию, а также линии с синим и красным смещением. Среднее значение линий с красным и синим смещением будет сравниваться с длиной волны несмещенной линии излучения. Разница, которую измерили Айвз и Стилвелл, в экспериментальных пределах соответствовала эффекту, предсказанному специальной теорией относительности.

В различных последующих повторениях эксперимента Айвза и Стилвелла были приняты другие стратегии измерения среднего значения выбросов пучков частиц с синим и красным смещением. В некоторых недавних повторениях эксперимента использовалась современная ускорительная технология для наблюдения двух пучков частиц, вращающихся в противоположных направлениях. В других повторениях энергии гамма-лучей, испускаемых быстро движущимся пучком частиц, измерялись под противоположными углами относительно направления пучка частиц. Поскольку в этих экспериментах на самом деле не измеряется длина волны пучка частиц под прямым углом к ​​лучу, некоторые авторы предпочитают называть измеряемый ими эффект «квадратичным доплеровским сдвигом», а не TDE.

поперечного эффекта

Появление технологии ускорителей частиц сделало возможным производство пучков частиц значительно более высокой энергии, чем было доступно Айвзу и Стилвеллу. Это позволило разработать испытания поперечного эффекта Доплера непосредственно в соответствии с тем, как их первоначально предполагал Эйнштейн, то есть путем прямого наблюдения за пучком частиц под углом 90°. Например, Хасселькамп и др. (1979) наблюдали линию Hα , испускаемую атомами водорода, движущимися со скоростями от 2,53×10 ⁸ см/с до 9,28×10 ⁸ см/с, обнаружив, что коэффициент при члене второго порядка в релятивистском приближении составляет 0,52±0,03, что прекрасно согласуется с теоретическим значением 1/2.

Другие прямые испытания TDE на вращающихся платформах стали возможными благодаря открытию эффекта Мёссбауэра , который позволяет создавать чрезвычайно узкие резонансные линии для излучения и поглощения ядерных гамма-лучей. Эксперименты по эффекту Мессбауэра доказали, что они позволяют легко обнаружить TDE, используя относительные скорости излучателя-поглотителя порядка 2 × 10. ⁴ см/с. В число этих экспериментов входят эксперименты, проведенные Hay et al. (1960), Чампени и др. (1965), и Кундиг (1963).

замедления

Поперечный эффект Доплера и кинематическое замедление времени в специальной теории относительности тесно связаны. Все проверки TDE представляют собой проверки кинематического замедления времени, и большинство проверок кинематического замедления времени также представляют собой проверки TDE. Интернет-ресурс «Какова экспериментальная основа специальной теории относительности?» задокументировал с краткими комментариями многие тесты, которые на протяжении многих лет использовались для подтверждения различных аспектов специальной теории относительности. Кайвола и др. (1985) и Макгоуэн и др. (1993) являются примерами экспериментов, классифицированных в этом ресурсе как эксперименты по замедлению времени. Эти два также представляют собой тесты TDE. В этих экспериментах сравнивались частоты двух лазеров: один привязан к частоте перехода атома неона в быстром луче, другой привязан к тому же переходу в тепловом неоне. Версия эксперимента 1993 года подтвердила замедление времени и, следовательно, TDE с точностью 2,3 × 10. ⁻⁶ .

эффект Доплера для звука

Рисунок 10. Формула релятивистского доплеровского сдвига применима как к звуку, так и к свету.

В учебниках физики для первого курса почти всегда доплеровский сдвиг звука анализируется с точки зрения ньютоновской кинематики, а анализ доплеровского сдвига света и электромагнитных явлений — с точки зрения релятивистской кинематики. Это создает ложное впечатление, что акустические явления требуют другого анализа, чем свет и радиоволны.

Традиционный анализ эффекта Доплера для звука представляет собой низкоскоростное приближение к точному релятивистскому анализу. Полностью релятивистский анализ звука фактически одинаково применим как к звуку, так и к электромагнитным явлениям.

Рассмотрим пространственно-временную диаграмму на рис. 10. На этой диаграмме показаны мировые линии для камертона (источника) и приемника. Камертон и приемник начинаются с точки О, после чего камертон начинает вибрировать, излучая волны и перемещаясь вдоль отрицательной оси X, в то время как приемник начинает двигаться вдоль положительной оси X. Камертон продолжает работать до тех пор, пока не достигнет A, после чего он перестает излучать волны: таким образом, волновой пакет генерируется, и все волны в волновом пакете принимаются приемником, причем последняя волна достигает его в точке B. Собственное время для камертона продолжительность пакета в системе отсчета камертона равна длине OA, тогда как собственное время длительности волнового пакета в системе отсчета приемника равно длине OB. Если $n$ волны были испущены, а затем $f_{s}={\frac {n}{|OA|}}$, пока $f_{r}={\frac {n}{|OB|}}$; обратный наклон AB представляет скорость распространения сигнала (т.е. скорость звука) до B. события Поэтому мы можем написать:

$c_{s}={\frac {x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}}$ (скорость звука)

$v_{s}=-{\frac {x_{A}}{t_{A}}}$        $v_{r}={\frac {x_{B}}{t_{B}}}$ (скорости источника и приемника)

$|OA|={\sqrt {t_{A}^{2}-(x_{A}/c)^{2}}}$

$|OB|={\sqrt {t_{B}^{2}-(x_{B}/c)^{2}}}$

$v_{s}$ и $v_{r}$ предполагаются меньшими, чем $c_{s},$поскольку в противном случае их прохождение через среду приведет к возникновению ударных волн, что сделает расчет недействительным. Некоторая рутинная алгебра дает соотношение частот:

уравнение 9:    ${\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {|OA|}{|OB|}}$ $={\frac {1-v_{r}/c_{s}}{1+v_{s}/c_{s}}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c)^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}$

Если $v_{r}$ и $v_{s}$ малы по сравнению с $c$, приведенное выше уравнение сводится к классической формуле Доплера для звука.

Если скорость распространения сигнала $c_{s}$ подходы $c$, можно показать, что абсолютные скорости $v_{s}$ и $v_{r}$источника и приемника сливаются в единую относительную скорость, независимую от какой-либо привязки к фиксированной среде. Действительно, мы получаем уравнение 1 , формулу для релятивистского продольного доплеровского сдвига.

Анализ пространственно-временной диаграммы на рис. 10 дал общую формулу для источника и приемника, движущихся прямо вдоль луча зрения, т. е. в коллинеарном движении.

Рисунок 11. Источник и приемник движутся в разных направлениях и скоростях в системе отсчета, где скорость звука не зависит от направления.

На рис. 11 показан сценарий в двух измерениях. Источник движется со скоростью $\mathbf {v_{s}}$(на момент выпуска). Он излучает сигнал, который распространяется со скоростью $\mathbf {C}$ к приемнику, который движется со скоростью $\mathbf {v_{r}}$во время приема. Анализ проводится в системе координат, в которой скорость сигнала $|\mathbf {C} |$ не зависит от направления.

Соотношение между собственными частотами источника и приемника равно

уравнение 10:    ${\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-{\frac {|\mathbf {v_{r}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{r}} })}{1-{\frac {|\mathbf {v_{s}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{s}} })}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c)^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}$

Ведущее отношение имеет форму классического эффекта Доплера, а член квадратного корня представляет собой релятивистскую поправку. Если рассматривать углы относительно рамки источника, то $v_{s}=0$и уравнение сводится к уравнению 7 , формуле Эйнштейна 1905 года для эффекта Доплера. Если рассматривать углы относительно рамки ствольной коробки, то $v_{r}=0$ и уравнение сводится к уравнению 6 , альтернативной форме уравнения доплеровского сдвига, обсуждавшегося ранее.

См. также

• Эффект Допплера
• Дифференциальный эффект Доплера
• Релятивистское излучение
• Красное смещение
• Синее смещение
• Замедление времени
• Гравитационное замедление времени
• Специальная теория относительности

Дальнейшее чтение

• Морикони, М. (1 ноября 2006 г.). «Специальная теория относительности на основе эффекта Доплера». Европейский журнал физики . 27 (6): 1409–1423. arXiv : физика/0605204 . Бибкод : 2006EJPh...27.1409M . дои : 10.1088/0143-0807/27/6/015 . S2CID   11347287 .

Внешние ссылки

• Warp Special Relativity Simulator Компьютерная программа, демонстрирующая релятивистский эффект Доплера.
• Краус, Юте; Зан, Корвин. «Путешествие в пространстве во времени: визуализация теории относительности» . SpacetimeTravel.org . Образовательная группа по физике и астрономии, Университет Хильдесхайма, Германия . Проверено 17 октября 2018 г.