Правильная система отсчета (плоское пространство-время)

Собственная система отсчета в теории относительности — это особая форма ускоренной системы отсчета , то есть система отсчета, в которой ускоренный наблюдатель можно считать покоящимся. Он может описывать явления в искривленном пространстве-времени , а также в «плоском» пространстве-времени Минковского , в котором искривлением пространства-времени, вызванным тензором энергии-импульса можно пренебречь . Поскольку в этой статье рассматривается только плоское пространство-время и используется определение, согласно которому специальная теория относительности — это теория плоского пространства-времени, а общая теория относительности — это теория гравитации в терминах искривленного пространства-времени, — следовательно, она касается ускоренных систем отсчета в специальной теории относительности. (О представлении ускорений в инерциальных системах отсчета см. статью Ускорение (специальная теория относительности) такие понятия, как трехускорение, четырехускорение , собственное ускорение , где определены и связаны друг с другом , гиперболическое движение и т. д.)

Фундаментальным свойством такой системы отсчета является использование собственного времени ускоренного наблюдателя в качестве времени самой системы отсчета. Это связано с гипотезой часов (которая подтверждена экспериментально ), согласно которой на собственное время ускоренных часов не влияет ускорение, поэтому измеренное замедление времени часов зависит только от их мгновенной относительной скорости. Соответствующие собственные системы отсчета строятся с использованием таких концепций, как сопутствующие ортонормированные тетрады , которые могут быть сформулированы в терминах пространственно-временных формул Френе-Серре или, альтернативно, с использованием транспорта Ферми-Уокера в качестве стандарта отсутствия вращения. Если координаты связаны с транспортом Ферми – Уокера, термин «координаты Ферми» иногда используется или «собственные координаты» в общем случае, когда также задействованы вращения. Особый класс ускоренных наблюдателей следует за мировыми линиями, три кривизны которых постоянны. Эти движения относятся к классу борновских жестких движений , т. е. движений, при которых взаимное расстояние составляющих ускоренного тела или конгруэнция остается неизменным в собственной системе отсчета. Два примера: Координаты Риндлера или координаты Коттлера-Мёллера для собственной системы отсчета гиперболического движения и координаты Борна или Ланжевена в случае равномерного кругового движения .

Далее греческие индексы превышают 0,1,2,3, латинские индексы превышают 1,2,3, а индексы в квадратных скобках относятся к тетрадным векторным полям. Сигнатура метрического тензора равна (-1,1,1,1).

История

Исторические формулы Герглотца, Коттлера и Мёллера в оригинальных обозначениях см. в разделе #Обзор исторических формул.

Некоторые свойства координат Коттлера-Мёллера или Риндлера были предсказаны Альбертом Эйнштейном (1907 г.). когда он обсуждал равномерно ускоренную систему отсчета. Вводя понятие жесткости Борна, Макс Борн (1909) признал, что формулы мировой линии гиперболического движения можно интерпретировать как преобразования в «гиперболически ускоренную систему отсчета». Родился сам, как и Арнольд Зоммерфельд (1910). и Макс фон Лауэ (1911) использовал эту систему координат для вычисления свойств заряженных частиц и их полей (см. Ускорение (специальная теория относительности)#История и координаты Риндлера#История ). Кроме того, Густав Херглотц (1909) дал классификацию всех жестких движений Борна, включая равномерное вращение и мировые линии постоянной кривизны. Фридрих Коттлер (1912, 1914) ввел «обобщенное преобразование Лоренца» для правильных систем отсчета или собственных координат ( нем . Eigensystem, Eigikoordinaten ) с использованием сопутствующих тетрад Френе-Серре и применил этот формализм к мировым линиям постоянной кривизны Герглотца, особенно к гиперболическому движению и равномерному круговому движению. Формулы Герглотца были также упрощены и расширены Жоржем Леметром (1924). Мировые линии постоянной кривизны были заново открыты несколькими авторами, например, Владимиром Петровым (1964), как «времяподобные спирали» Джона Лайтона Синджа (1967) или как «стационарные мировые линии» Летау (1981). Концепция собственной системы отсчета была позже вновь введена и получила дальнейшее развитие в связи с транспортом Ферми – Уокера в учебниках Кристиана Мёллера (1952). или Synge (1960). Обзор преобразований и альтернатив собственного времени был дан Роменом (1963): который процитировал вклад Коттлера. В частности, Миснер, Торн и Уиллер (1973). комбинированный транспорт Ферми – Уокера с вращением, что повлияло на многих последующих авторов. Бахрам Машхун (1990, 2003) проанализировал гипотезу локальности и ускоренного движения. Связь между пространственно-временными формулами Френе-Серре и транспортом Ферми-Уокера обсуждалась Айером и К.В. Вишвешварой (1993), Джонс (2005) или Бини и др. (2008) и другие. Подробное представление «специальной теории относительности в общих рамках» было дано Гургульоном (2013).

Сопутствующие тетрады

Френе – Серре для пространства

Для исследования ускоренных движений и искривленных мировых линий некоторые результаты дифференциальной геометрии можно использовать . Например, формулы Френе-Серре для кривых в евклидовом пространстве уже были распространены на произвольные измерения в 19 веке и также могут быть адаптированы к пространству-времени Минковского. Они описывают перенос ортонормированного базиса, прикрепленного к искривленной мировой линии, поэтому в четырех измерениях этот базис можно назвать сопутствующей тетрадой или Вирбейном. $\mathbf {e} _{(\eta )}$ (также называемый vielbein, движущийся кадр , поле кадра , локальный кадр, мобильный репер в произвольных измерениях):

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {e} _{(0)}}{d\tau }}&=\kappa _{1}\mathbf {e} _{(1)},&{\frac {d\mathbf {e} _{(1)}}{d\tau }}&=\kappa _{1}\mathbf {e} _{(0)}+\kappa _{2}\mathbf {e} _{(2)},\\{\frac {d\mathbf {e} _{(2)}}{d\tau }}&=-\kappa _{2}\mathbf {e} _{(1)}+\kappa _{3}\mathbf {e} _{(3)},\quad &{\frac {d\mathbf {e} _{(3)}}{d\tau }}&=-\kappa _{3}\mathbf {e} _{(2)},\end{aligned}}$ ( 1 )

Здесь, $\tau$ — собственное время на мировой линии, времяподобное поле $\mathbf {e} _{(0)}$ называется касательной, соответствующей четырехскорости , три пространственноподобных поля ортогональны $\mathbf {e} _{(0)}$ и называются главными нормальными $\mathbf {e} _{(1)}$, бинормальное $\mathbf {e} _{(2)}$ и тринормальное $\mathbf {e} _{(3)}$. Первая кривизна $\kappa _{1}$ соответствует величине четырёхкратного ускорения (т.е. собственного ускорения ), остальные кривизны $\kappa _{2}$ и $\kappa _{3}$ называются также торсионными и гиперторсионными.

Ферми – Уокера и

Хотя тетрада Френе-Серре может быть вращающейся или нет, полезно ввести другой формализм, в котором разделены невращательные и вращательные части. Это можно сделать, используя следующее уравнение для правильного транспорта: или обобщенный транспорт Ферми тетрады $\mathbf {e} _{(\eta )}$, а именно

${\frac {d\mathbf {e} _{(\eta )}}{d\tau }}=-{\boldsymbol {\vartheta }}\mathbf {e} _{(\eta )}$ ( 2 )

где

$\vartheta ^{\mu \nu }={\underset {\text{Fermi–Walker}}{\underbrace {A^{\mu }U^{\nu }-A^{\nu }U^{\mu }} }}+{\underset {\mathrm {\text{spatial rotation}} }{\underbrace {U_{\alpha }\omega _{\beta }\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }} }}$

или вместе в упрощенной форме:

${\frac {d\mathbf {e} _{(\eta )}}{d\tau }}=-\left[(\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}+\mathbf {R} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right]$

с $\mathbf {U}$ как четырехскоростной и $\mathbf {A}$ как четырехускорение , и " $\cdot$" указывает скалярное произведение и " $\wedge$« Клиновое произведение » . Первая часть $(\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}=\mathbf {A} \left(\mathbf {U} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)-\mathbf {U} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)$ представляет транспорт Ферми – Уокера, что физически реализуется, когда три пространственноподобных тетрадных поля не меняют своей ориентации относительно движения системы трех гироскопов . Таким образом, транспорт Ферми-Уокера можно рассматривать как стандарт отсутствия вращения. Вторая часть $\mathbf {R}$ состоит из антисимметричного тензора второго ранга с $\omega$ как угловой скорости и четырехвектор $\epsilon$ как символ Леви-Чивита . Оказывается, эта матрица вращения влияет только на три пространственноподобных тетрадных поля, поэтому ее можно интерпретировать как пространственное вращение пространственноподобных полей. $\mathbf {e} _{(i)}$ вращающейся тетрады (такой как тетрада Френе – Серре) относительно невращающихся пространственноподобных полей $\mathbf {f} _{(i)}$ тетрады Ферми–Уокера вдоль той же мировой линии.

тетрад Ферми-Уокера из тетрад Френе

С $\mathbf {f} _{(i)}$ и $\mathbf {e} _{(i)}$ на одной мировой линии соединены матрицей вращения, можно построить невращающиеся тетрады Ферми – Уокера, используя вращающиеся тетрады Френе – Серре, который работает не только в плоском пространстве-времени, но и для произвольного пространства-времени, хотя практическая реализация может быть труднодостижимой. Например, вектор угловой скорости между соответствующими пространственноподобными тетрадными полями $\mathbf {f} _{(i)}$ и $\mathbf {e} _{(i)}$ можно выразить через кручения $\kappa _{2}$ и $\kappa _{3}$:

${\boldsymbol {\omega }}=\kappa _{3}\mathbf {e} _{(1)}+\kappa _{2}\mathbf {e} _{(3)}$ и $\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|={\sqrt {\kappa _{2}^{2}+\kappa _{3}^{2}}}$ ( 3а )

Предполагая, что кривизны постоянны (что имеет место при винтовом движении в плоском пространстве-времени или в случае стационарного осесимметричного пространства-времени), затем можно приступить к выравниванию пространственноподобных векторов Френе – Серре в $\mathbf {e} _{(1)}-\mathbf {e} _{(3)}$ плоскость постоянным вращением против часовой стрелки, затем полученная промежуточная пространственная рамка $\mathbf {h} _{(i)}$ постоянно вращается вокруг $\mathbf {h} _{(3)}$ ось под углом $\Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau$, что в конечном итоге дает пространственную систему Ферми – Уокера $\mathbf {f} _{(i)}$ (обратите внимание, что времяподобное поле остается прежним):

${\begin{array}{c|c|c}{\begin{aligned}\mathbf {h} _{(1)}&={\frac {\kappa _{2}\mathbf {e} _{(1)}-\kappa _{3}\mathbf {e} _{(3)}}{\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|}}\\\mathbf {h} _{(2)}&=\mathbf {e} _{(2)}\\\mathbf {h} _{(3)}&={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} _{(1)}&=\mathbf {h} _{(1)}\cos \Theta -h_{(2)}\sin \Theta \\\mathbf {f} _{(2)}&=\mathbf {h} _{(1)}\sin \Theta +h_{(2)}\cos \Theta \\\mathbf {f} _{(3)}&=\mathbf {h} _{(3)}\end{aligned}}&\mathbf {e} _{(0)}=\mathbf {h} _{(0)}=\mathbf {f} _{(0)}\end{array}}$ ( 3б )

Для особого случая $\kappa _{3}=0$ и $\mathbf {e} _{(3)}=[0,0,0,1]$, следует ${\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\ \kappa _{2}\right]$ и $\Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\kappa _{2}\tau$ и $\mathbf {h} _{(i)}=\mathbf {e} _{(i)}$, поэтому ( 3б ) сводится к одному постоянному вращению вокруг $\mathbf {e} _{(3)}$-ось:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {f} _{(1)}&=\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta \\\mathbf {f} _{(2)}&=\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta \\\mathbf {f} _{(3)}&=\mathbf {e} _{(3)}\end{aligned}}&\mathbf {e} _{(0)}=\mathbf {f} _{(0)}\end{array}}$ ( 3с )

Ферми

В плоском пространстве-времени ускоренный объект в любой момент покоится в мгновенной инерциальной системе отсчета. $\mathbf {x} '=[x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}]$, и последовательность таких мгновенных кадров, которую он пересекает, соответствует последовательному применению преобразований Лоренца $\mathbf {X} ={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} '$, где $\mathbf {X}$ является внешней инерциальной системой отсчета и ${\boldsymbol {\Lambda }}$ матрица преобразования Лоренца. Эту матрицу можно заменить собственными зависящими от времени тетрадами. $\mathbf {e} _{(\nu )}(\tau )$ определено выше, и если $\mathbf {\mathbf {q} } (\tau )$ — временной трак частицы, указывающий ее положение, преобразование гласит:

$\mathbf {X} =\mathbf {\mathbf {q} } +\mathbf {e} _{(\nu )}\mathbf {x} '$ ( 4а )

Тогда нужно положить $x^{\prime 0}=t'=0$ посредством чего $\mathbf {x} '$ заменяется на $\mathbf {r} =[x^{1},x^{2},x^{3}]$ и времяподобное поле $\mathbf {e} _{(0)}$ исчезает, поэтому только пространственноподобные поля $\mathbf {e} _{(i)}$ присутствуют больше. Впоследствии время в ускоренной системе отождествляется с собственным временем ускоренного наблюдателя по формуле $x^{0}=t=\tau$. Окончательное преобразование имеет вид

$\mathbf {X} =\mathbf {q} +\mathbf {e} _{(i)}\mathbf {r}$, $\quad \left(x^{0}=\tau \right)$ ( 4б )

Иногда их называют собственными координатами, а соответствующая система координат является собственной системой отсчета. Их также называют координатами Ферми в случае транспорта Ферми – Уокера. (хотя некоторые авторы используют этот термин и в ротационном случае ). Соответствующая метрика имеет вид в пространстве-времени Минковского (без римановых членов):

$ds^{2}=-\left[(1+\mathbf {a} \cdot \mathbf {r} ){}^{2}-({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ){}^{2}\right]d\tau ^{2}+2({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )d\tau \ d\mathbf {r} +\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}$ ( 4с )

Однако эти координаты не действительны глобально, а ограничены

$-(1+\mathbf {a} \cdot \mathbf {r} ){}^{2}+({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ){}^{2}<0$ ( 4д )

Правильные системы отсчета для времениподобных спиралей

В случае, если все три кривизны Френе–Серре постоянны, соответствующие мировые линии идентичны тем, которые следуют из движений Киллинга в плоском пространстве-времени. Они представляют особый интерес, поскольку соответствующие собственные системы отсчета и конгруэнции удовлетворяют условию борновской жесткости , то есть пространственно-временное расстояние двух соседних мировых линий постоянно. Эти движения соответствуют «времяподобным спиралям» или «стационарным мировым линиям» и могут быть разделены на шесть основных типов: два с нулевым кручением (равномерное перемещение, гиперболическое движение) и четыре с ненулевым кручением (равномерное вращение, цепная связь, полукубическая парабола, общий случай):

Случай $\kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=0$ производит равномерный перевод без ускорения. Следовательно, соответствующая собственная система отсчета задается обычными преобразованиями Лоренца. Остальные пять типов:

Гиперболическое движение

Дополнительная информация: Гиперболическое движение (относительность) и координаты Риндлера.

Кривизны $\kappa _{1}=\alpha ,$ $\kappa _{2}=\kappa _{3}=0$, где $\alpha$ - постоянное собственное ускорение в направлении движения, создает гиперболическое движение , поскольку мировая линия на диаграмме Минковского представляет собой гиперболу:

$\mathbf {X} =\left[{\frac {1}{\alpha }}\sinh(\alpha \tau ),\quad {\frac {1}{\alpha }}\left(\cosh(\alpha \tau )-1\right),\quad 0,\quad 0\right]$ ( 5а )

Соответствующая ортонормированная тетрада идентична обращенной матрице преобразования Лоренца с гиперболическими функциями. $\gamma =\cosh \eta$ как фактор Лоренца и $v\gamma =\sinh \eta$ как собственная скорость и $\eta =\operatorname {artanh} v=\alpha \tau$ как быстрота (поскольку кручения $\kappa _{2}$ и $\kappa _{3}$ равны нулю, формулы Френе-Серре и формулы Ферми-Уокера дают одну и ту же тетраду):

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=(\cosh(\alpha \tau ),\ \sinh(\alpha \tau ),\ 0,\ 0)\\\mathbf {e} _{(1)}&=(\sinh(\alpha \tau ),\ \cosh(\alpha \tau ),\ 0,\ 0)\\\mathbf {e} _{(2)}&=(0,\ 0,\ 1,\ 0)\\\mathbf {e} _{(3)}&=(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{aligned}}$ ( 5б )

Вставляем в преобразования ( 4b ) и используем мировую линию ( 5a ) для $\mathbf {q}$, ускоренный наблюдатель всегда находится в начале координат, поэтому координаты Коттлера-Мёллера следуют

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha \tau )\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha \tau )-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}$

которые действительны в течение $-1/\alpha <X<\infty$, с метрикой

$ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$.

Альтернативно, установив $\mathbf {\mathbf {q} } =0$ ускоренный наблюдатель находится в точке $X=1/\alpha$ во время $\tau =T=0$, таким образом, координаты Риндлера следуют из ( 4b ) и ( 5a , 5b ):

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha \tau )\\X&=x\cosh(\alpha \tau )\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}$

которые действительны в течение $0<X<\infty$, с метрикой

$ds^{2}=-\alpha ^{2}x^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Равномерное круговое движение

Далее ортонормированная тетрада и соответствующая ей собственная система отсчета записаны в декартовых координатах . Альтернативную формулировку с использованием цилиндрических координат см. наблюдатели Ланжевена в статье Координаты Борна )

Кривизны $\kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}>0$, $\kappa _{3}=0$ производить равномерное круговое движение по мировой линии

$X=\left[\gamma \tau ,\ {\frac {n}{p}}\cos(p\tau ),\ {\frac {n}{p}}\sin(p\tau ),\ 0\right]$ ( 6а )

где

${\begin{array}{c|c|c}{\begin{aligned}\kappa _{1}&=-\gamma ^{2}hp_{0}^{2}\\\kappa _{2}&=\gamma ^{2}p_{0}\end{aligned}}&{\begin{aligned}p&={\sqrt {\kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}}}={\frac {\kappa _{2}}{\gamma }}=\gamma p_{0}\\p_{0}&={\frac {\kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}}{\kappa _{2}}}={\frac {\kappa _{2}}{\gamma ^{2}}}={\frac {p}{\gamma }}\\\theta &=p\tau =p_{0}t=\gamma p_{0}\tau \end{aligned}}&{\begin{aligned}n&={\frac {\kappa _{1}}{p}}=v\gamma ={\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\\h&={\frac {\kappa _{1}}{\kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}}}={\frac {n}{p}}\\v&={\frac {\kappa _{1}}{\kappa _{2}}}=hp_{0}={\frac {n}{\gamma }}\\\gamma &={\frac {\kappa _{2}}{p}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}={\sqrt {n^{2}+1}}\end{aligned}}\end{array}}$ ( 6б )

с $h$ как радиус орбиты, $p_{0}$ как координатная угловая скорость, $p$ как собственная угловая скорость, $v$ как тангенциальная скорость , $n$ как собственная скорость, $\gamma$ как фактор Лоренца, и $\theta$ как угол поворота. Тетрада может быть получена из уравнений Френе – Серре ( 1 ), или, проще говоря, получить преобразованием Лоренца тетрады $d_{(\nu )}$ обычных вращающихся координат :

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}d_{(0)}&=(1,\ 0,\ 0,\ 0)\\d_{(1)}&=(0,\ \cos \theta ,\ \sin \theta ,\ 0)\\d_{(2)}&=(0,\ -\sin \theta ,\ \cos \theta ,\ 0)\\d_{(3)}&=(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{aligned}}&{\begin{alignedat}{1}\mathbf {e} _{(0)}&\ =\gamma \left(d_{(0)}+vd_{(2)}\right)&\ =\gamma (1,\ -v\sin \theta ,\ v\cos \theta ,\ 0)\\\mathbf {e} _{(1)}&\ =d_{(1)}&\ =(0,\ \cos \theta ,\ \sin \theta ,\ 0)\\\mathbf {e} _{(2)}&\ =\gamma \left(d_{(2)}+vd_{(0)}\right)&\ =\gamma \left(v,\ -\sin \theta ,\ \cos \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&\ =d_{(3)}&\ =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{alignedat}}\end{array}}$ ( 6с )

Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера $\mathbf {f} _{(\eta )}$ на той же мировой линии можно получить, решив часть уравнения Ферми–Уокера ( 2 ). В качестве альтернативы можно использовать ( 6b ) вместе с ( 3a ), что дает

${\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\gamma ^{2}p\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=\gamma ^{2}p,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\gamma ^{2}p_{0}\tau =\gamma p\tau =\gamma \theta$

Результирующий угол поворота $\Theta$ вместе с ( 6c ) теперь можно вставить в ( 3c ), откуда следует тетрада Ферми–Уокера

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\gamma (1,\ -v\sin \theta ,\ v\cos \theta ,\ 0)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(-\gamma v\sin \Theta ,\ \cos \theta \cos \Theta +\gamma \sin \theta \sin \Theta ,\ \sin \theta \cos \Theta -\gamma \cos \theta \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\gamma v\cos \Theta ,\ \cos \theta \sin \Theta -\gamma \sin \theta \cos \Theta ,\ \sin \theta \sin \Theta +\gamma \cos \theta \cos \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{alignedat}}$

Далее для формулировки преобразования используется тетрада Френе – Серре. Вставляя ( 6c ) в преобразования ( 4b ) и используя мировую линию ( 6a ) для $\mathbf {q}$ дает координаты

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\gamma \left(\tau +\gamma yv\right)\\X&=(x+h)\cos \theta -y\gamma \sin \theta \\Y&=(x+h)\sin \theta +y\gamma \cos \theta \\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &=\gamma ^{-1}\left(T-\gamma yv\right)\\x&=X\cos \theta +Y\sin \theta -h\\y&=\gamma ^{-1}\left(-X\sin \theta +Y\cos \theta \right)\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}$ ( 6д )

которые действительны в течение $(X+h)^{2}+(\gamma Y)^{2}\leqq 1/p_{0}^{2}$, с метрикой

$ds^{2}=-\gamma ^{2}\left[1-(x+h)^{2}p_{0}^{2}-\gamma ^{2}p_{0}^{2}y^{2}\right]d\tau ^{2}+2\gamma ^{2}p_{0}(x\ dy-y\ dx)d\tau +dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Если наблюдатель, находящийся в центре вращающейся системы отсчета, выбран с помощью $h=0$, уравнения сводятся к обычному вращательному преобразованию

${\begin{array}{c|c|c}{\begin{aligned}T&=t\\X&=x\cos \theta -y\sin \theta \\Y&=x\sin \theta +y\cos \theta \\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&=T\\x&=X\cos \theta +Y\sin \theta \\y&=-X\sin \theta +Y\cos \theta \\z&=Z\end{aligned}}&{\text{or}}\quad {\begin{aligned}T&=t\\X+iY&=(x+iy)e^{i\theta }\\Z&=z\end{aligned}}\end{array}}$ ( 6е )

которые действительны в течение $0<{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}<1/p_{0}$и метрика

$ds^{2}=-\left[1-p_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dt^{2}+2p_{0}(-y\ dx+x\ dy)dt+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$.

Последние уравнения можно записать и во вращающихся цилиндрических координатах ( координатах Борна ):

${\begin{array}{c|c|c|c}{\begin{aligned}T&=t\\X&=r\cos(\phi +\theta )\\Y&=r\sin(\phi +\theta )\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&=T\\x&=r\cos(\Phi -\theta )\\y&=r\sin(\Phi -\theta )\\z&=Z\end{aligned}}\rightarrow &{\begin{aligned}T&=t\\R&=r\\\Phi &=\phi +\theta \\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&=T\\r&=R\\\phi &=\Phi -\theta \\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}$ ( 6ф )

которые действительны в течение $0<r<1/p_{0}$и метрика

$ds^{2}=-\left(1-p_{0}^{2}r^{2}\right)dt^{2}+2p_{0}r^{2}dt\ d\phi +dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+dz^{2}$

Фреймы ( 6d , 6e , 6f ) можно использовать для описания геометрии вращающихся платформ, включая парадокс Эренфеста и эффект Саньяка .

Цепная линия

Кривизны $\kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}>0$, $\kappa _{3}=0$ создать цепную связь, т. е. гиперболическое движение в сочетании с пространственноподобным перемещением.

$X=\left[{\frac {\gamma }{a}}\sinh(a\tau ),\quad {\frac {\gamma }{a}}\cosh(a\tau ),\quad n\tau ,\quad 0\right]$ ( 7а )

где

${\begin{array}{c|c|c}{\begin{aligned}\kappa _{1}&=\gamma a\\\kappa _{2}&=na\end{aligned}}&{\begin{aligned}a&={\sqrt {\kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}}}\\n&={\frac {\kappa _{2}}{a}}=v\gamma ={\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\\\eta &=a\tau \end{aligned}}&{\begin{aligned}v&={\frac {\kappa _{2}}{\kappa _{1}}}={\frac {n}{\gamma }}\\\gamma &={\frac {\kappa _{1}}{a}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}={\sqrt {n^{2}+1}}\end{aligned}}\end{array}}$ ( 7б )

где $v$ это скорость, $n$ правильная скорость, $\eta$ как быстрота, $\gamma$ является фактором Лоренца. Соответствующая тетрада Френе – Серре:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\sinh \eta ,\ \cosh \eta ,\ 0,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ -\gamma ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}$

Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера $\mathbf {f} _{(\eta )}$ на той же мировой линии можно получить, решив часть уравнения Ферми–Уокера ( 2 ). Тот же результат следует из ( 3а ), что дает

${\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,na\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=na,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =na\tau$

которые вместе с ( 7a ) теперь можно подставить в ( 3c ), что приведет к тетраде Ферми–Уокера

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\sinh \eta \cos \Theta +n\cosh \eta \sin \Theta ,\ \cosh \eta \cos \Theta +n\sinh \eta \sin \Theta ,\ \gamma \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\sinh \eta \sin \Theta -n\cosh \eta \cos \Theta ,\ \cosh \eta \sin \Theta -n\sinh \eta \cos \Theta ,\ -\gamma \cos \Theta \ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}$

Собственные координаты или координаты Ферми следуют после подстановки $\mathbf {e} _{(\eta )}$ или $\mathbf {f} _{(\eta )}$ в ( 4б ).

Полукубическая парабола

Кривизны $\kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}=0$, $\kappa _{3}=0$ создать полукубическую параболу или движение с острыми точками

$X=\left[\tau +{\frac {1}{6}}a^{2}\tau ^{3},\ {\frac {1}{2}}a\tau ^{2},\ {\frac {1}{6}}a^{2}\tau ^{3},\ 0\right]$ с $a=\kappa _{1}=\kappa _{2}$ ( 8 )

Соответствующая тетрада Френе – Серре с $\theta =a\tau$ является:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\theta ,\ 1,\ \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ -\theta ,\ 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}$

Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера $\mathbf {f} _{(\eta )}$ на той же мировой линии можно получить, решив часть уравнения Ферми–Уокера ( 2 ). Тот же результат следует из ( 3а ), что дает

${\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,a\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=a,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =a\tau =\theta$

которое вместе с ( 8 ) теперь можно подставить в ( 3c ), что приведет к тетраде Ферми–Уокера (заметим, что $\Theta =\theta$ в этом случае):

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\theta \cos \theta +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\sin \theta ,\ \cos \theta +\theta \sin \theta ,\ \theta \cos \theta +\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\sin \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\theta \sin \theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\cos \theta ,\ \sin \theta -\theta \cos \theta ,\ \theta \sin \theta -\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\cos \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}$

Собственные координаты или координаты Ферми следуют после подстановки $\mathbf {e} _{(\eta )}$ или $\mathbf {f} _{(\eta )}$ в ( 4б ).

Общий случай

Кривизны $\kappa _{1}\neq 0$, $\kappa _{2}\neq 0$, $\kappa _{3}\neq 0$ производить гиперболическое движение в сочетании с равномерным круговым движением. Мировая линия задается

$X=\left[{\frac {\gamma }{a}}\sinh(a\tau ),\quad {\frac {\gamma }{a}}\cosh(a\tau ),\quad {\frac {n}{p}}\sin(p\tau ),\quad {\frac {n}{p}}\cos(p\tau )\right]$ ( 9а )

где

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\kappa _{1}&={\sqrt {n^{2}p^{2}+\gamma ^{2}a^{2}}}\\\kappa _{2}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(a^{2}+p^{2}\right)\gamma n\\\kappa _{3}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}ap\end{aligned}}&{\begin{aligned}a&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(\kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}-\kappa _{3}^{2}+r\right)}}\\p&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(-\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}+\kappa _{3}^{2}+r\right)}}=\gamma p_{0}\\n&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}\left[\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}+\kappa _{3}^{2}\right]-1\right)}}={\sqrt {\frac {\kappa _{1}^{2}-a^{2}}{p^{2}+a^{2}}}}=v\gamma ={\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\\\gamma &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}\left[\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}+\kappa _{3}^{2}\right]+1\right)}}={\sqrt {\frac {\kappa _{1}^{2}+p^{2}}{p^{2}+a^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}={\sqrt {n^{2}+1}}\\r&={\sqrt {\left(\kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}-\kappa _{3}^{2}\right)^{2}+4\kappa _{1}^{2}\kappa _{3}^{2}}}\\&p_{0}={\frac {p}{\gamma }},\quad v=hp_{0}={\frac {n}{\gamma }},\quad h={\frac {n}{p}},\quad \eta =a\tau ,\quad \theta =p\tau =p_{0}t=\gamma p_{0}\tau \end{aligned}}\end{array}}$ ( 9б )

с $v$ как тангенциальная скорость, $n$ как собственная тангенциальная скорость, $\eta$ как быстрота, $h$ как радиус орбиты, $p_{0}$ как координатная угловая скорость, $p$ как собственная угловая скорость, $\theta$ как угол поворота, $\gamma$ является фактором Лоренца. Тетрада Френе-Серре – это

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ -n\sin \theta ,\ -n\cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(1)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(\gamma a\sinh \eta ,\ \gamma a\cosh \eta ,\ -np\cos \theta ,\ -np\sin \theta \right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ \gamma \sin \theta ,\ -\gamma \cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(3)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(np\sinh \eta ,\ np\cosh \eta ,\ \gamma a\cos \theta ,\ \gamma a\sin \theta \right)\end{aligned}}$

Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера $\mathbf {f} _{(\eta )}$ на той же мировой линии выглядит следующим образом: сначала вставка ( 9b ) в ( 3a ) дает угловую скорость, которую вместе с ( 9a ) теперь можно вставить в ( 3b , слева), а затем вставить в ( 3b , справа) дает Тетрада Ферми–Уокера. Собственные координаты или координаты Ферми следуют после подстановки $\mathbf {e} _{(\eta )}$ или $\mathbf {f} _{(\eta )}$ в ( 4b ) (полученные выражения здесь не указаны из-за их длины).

исторических

Помимо того, что описано в предыдущем разделе #История , более подробно описан вклад Герглотца, Коттлера и Мёллера, поскольку эти авторы дали обширную классификацию ускоренного движения в плоском пространстве-времени.

Херглотц

Херглотц (1909) утверждал, что метрика

$ds^{2}=d\sigma ^{2}+{\frac {1}{A_{44}}}(d\nu )^{2}$

где

${\begin{aligned}d\nu &=A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}+A_{44}d\xi _{4}\\d\sigma ^{2}&=\sum _{1}^{3}ij\ A_{ij}d\xi _{i}d\xi _{j}-{\frac {1}{A_{44}}}\left(A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}\right)^{2}\end{aligned}}$

удовлетворяет условию борновской жесткости , когда ${\frac {\partial }{\partial \tau }}d\sigma ^{2}=0$. Он указывал, что движение борновского твердого тела вообще определяется движением одной его точки (класс А), за исключением тех мировых линий, три кривизны которых постоянны, что представляет собой спираль (класс В). Для последнего Герглотц дал следующее преобразование координат, соответствующее траекториям семейства движений:

(H1) $x_{i}=a_{i}+\sum _{1}^{4}a_{ij}x_{j}^{\prime },\qquad i=1,2,3,4$,

где $a_{i}$ и $a_{ij}$ являются функциями собственного времени $\vartheta$. Дифференцируя по $\vartheta$и предполагая $x_{i}$ как константа, он получил

(H2) ${\frac {dx_{i}^{\prime }}{d\vartheta }}+q_{i}+\sum _{1}^{4}p_{ij}x_{j}^{\prime }=0$

Здесь, $q_{i}$ представляет четырехскорость начала координат $O'$ из $S'$, и $-p_{ij}$ представляет собой шести-вектор (т. е. антисимметричный четырех-тензор второго порядка или бивектор , имеющий шесть независимых компонентов), представляющий угловую скорость $S'$ вокруг $O'$. Как и любой шестивектор, он имеет два инварианта:

${\begin{aligned}D&=p_{23}p_{14}+p_{31}p_{24}+p_{12}p_{34},\\\Delta &=p_{23}^{2}+p_{31}^{2}+p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+p_{24}^{2}+p_{34}^{2},\end{aligned}}$

Когда $x_{j}^{\prime }$ является постоянным и $\vartheta$ является переменным, любое семейство движений, описываемых формулой (H1), образует группу и эквивалентно эквидистантному семейству кривых , удовлетворяя таким образом борновской жесткости, поскольку они жестко связаны с $S'$. Чтобы получить такую ​​группу движений, (H2) можно проинтегрировать с произвольными постоянными значениями $q_{i}$ и $p_{ij}$. Для вращательных движений это приводит к четырем группам в зависимости от того, соблюдены ли инварианты $D$ или $\Delta$ равны нулю или нет. Эти группы соответствуют четырем однопараметрическим группам преобразований Лоренца, которые уже были выведены Герглотцем в предыдущем разделе в предположении, что преобразования Лоренца (представляющие собой вращения в $R_{4}$) соответствуют гиперболическим движениям в $R_{3}$. Последние были изучены в 19 веке и были разделены Феликсом Кляйном на локсодромные, эллиптические, гиперболические и параболические движения (см. Также группу Мёбиуса ).

Коттлер

Фридрих Коттлер (1912) последовал Герглотцу и вывел те же мировые линии постоянной кривизны, используя следующие формулы Френе – Серре в четырех измерениях, с $c^{(\alpha )}$ как сопутствующая тетрада мировой линии, и ${\frac {1}{R_{1}}},\ {\frac {1}{R_{2}}},\ {\frac {1}{R_{3}}}$ как три кривизны

${{\begin{matrix}{\frac {dc_{1}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{2}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{3}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{4}^{(\alpha )}}{ds}}=\end{matrix}}\left.{\begin{matrix}*&{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&*\\-{\frac {c_{1}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*\\*&-{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*&{\frac {c_{4}^{(\alpha )}}{R_{3}}}\\*&*&-{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{3}}}&*\end{matrix}}\alpha =1,2,3,4\right\}}$

соответствующий ( 1 ). Коттлер отметил, что тетраду можно рассматривать как систему отсчета для таких мировых линий. Затем он дал преобразование траекторий

$\mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}$ (с ${h=1,2,3,4}$)

в соответствии с ( 4а ). Коттлер также определил тетраду, базисные векторы которой фиксированы в нормальном пространстве и, следовательно, не имеют общего вращения. Этот случай далее был разделен на два случая: если касательное (т. е. времениподобное) поле тетрад постоянно, то поля пространственноподобных тетрад ${c_{2}^{(h)},c_{3}^{(h)},c_{4}^{(h)}}$ можно заменить на ${b_{2}^{(h)},b_{3}^{(h)},b_{4}^{(h)}}$ которые «жестко» связаны с касательной, таким образом

${\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(1)}c_{1}+\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}$

Второй случай — вектор, «зафиксированный» в нормальном пространстве установкой ${\eta ^{(1)}=0}$. Коттлер указал, что это соответствует классу B, данному Герглотцем (который Коттлер называет «телом Борна второго рода»).

${\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}$,

а класс (А) Герглотца (который Коттлер называет «телом Борна первого рода») определяется выражением

${\mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$

оба из которых соответствуют формуле ( 4b ).

---

В (1914а) Коттлер показал, что преобразование

$X=x+\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}$,

описывает неодновременные координаты точек тела, а преобразование с $\Gamma ^{(1)}=0$

$X=x+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}$,

описывает одновременные координаты точек тела. Эти формулы становятся «обобщенными преобразованиями Лоренца», если вставить

$\Gamma ^{(3)}=X',\quad \Gamma ^{(4)}=Y',\quad \Gamma ^{(2)}=Z',\quad \Gamma ^{(1)}=ic(T'-\tau )$

таким образом

$X-x=ic(T'-\tau )c_{1}+Z'c_{2}+X'c_{3}+Y'c_{4}$

в соответствии с ( 4б ). Он ввел термины «собственные координаты» и «собственная система координат» ( нем . Eigkoordinaten, Eigensystem ) для системы, ось времени которой совпадает с соответствующей касательной мировой линии. Он также показал, что у Борна твердое тело второго рода, мировые линии которого определяются

${\mathfrak {X}}=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}$,

особенно подходит для определения правильного кадра. Используя эту формулу, он определил правильные системы отсчёта для гиперболического движения (свободного падения) и для равномерного кругового движения:

Гиперболическое движение	Равномерное круговое движение
1914б	1914а	1921
$\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}c_{1}^{(1)}=0,&&c_{1}^{(2)}=0,&&c_{1}^{(3)}={\frac {1}{i}}\sinh u,&&c_{1}^{(4)}=\cosh u,\\c_{2}^{(1)}=0,&&c_{2}^{(2)}=0,&&c_{2}^{(3)}={\frac {1}{i}}\cosh u,&&c_{2}^{(4)}=-\sinh u,\\c_{3}^{(1)}=1,&&c_{3}^{(2)}=0,&&c_{3}^{(3)}=0,&&c_{3}^{(4)}=0,\\c_{4}^{(1)}=0,&&c_{4}^{(2)}=1,&&c_{4}^{(3)}=0,&&c_{4}^{(4)}=0,\end{matrix}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\X=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}X&=x_{0}+{\mathfrak {X}}'\\Y&=y_{0}+{\mathfrak {Y}}'\\Z&=\left(b+{\mathfrak {Z}}'\right)\cosh {\mathfrak {u}}\\cT&=\left(b+{\mathfrak {Z}}'\right)\sinh {\mathfrak {u}}\end{aligned}}\\\left(\Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}',\ \Delta ^{(3)}={\mathfrak {Y}}',\ \Delta ^{(4)}={\mathfrak {Z}}'\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}{\mathfrak {X}}'&=X_{0}-x_{0}+q_{x}T\\{\mathfrak {Y}}'&=Y_{0}-y_{0}+q_{y}T\\b+{\mathfrak {Z}}'&={\sqrt {\left(Z_{0}+q_{x}T\right)^{2}-c^{2}T^{2}}}\\c{\mathfrak {T}}'&=b\operatorname {artanh} {\frac {cT}{Z_{0}+q_{x}T}}\end{aligned}}\\\left(X=X_{0}+q_{x}T,\ Y=Y_{0}+q_{y}T,\ Z=Z_{0}+q_{x}T\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\dS^{2}=(d{\mathfrak {X}}')^{2}+(d{\mathfrak {Y}}')^{2}+(d{\mathfrak {Z}}')^{2}-c^{2}\left({\frac {b+{\mathfrak {Z}}'}{b^{2}}}\right)^{2}(d{\mathfrak {T}}')^{2}\end{matrix}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}c_{1}^{(h)}=-{\frac {a\omega \sin \omega t}{ic{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}},\ {\frac {a\omega \cos \omega t}{ic{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}},\ 0,\ {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\\c_{2}^{(h)}=\cos \omega t,\ \sin \omega t,\ 0\ 0\\c_{3}^{(h)}=-{\frac {\sin \omega t}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}},\ {\frac {\cos \omega t}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}},\ 0,\ {\frac {ia\omega }{c{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}}\\c_{4}^{(h)}=0,\ 0,\ 1,\ 0\end{matrix}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{X^{(h)}=x^{(h)}+\Gamma ^{(1)}c_{1}^{(h)}+\Gamma ^{(2)}c_{2}^{(h)}+\Gamma ^{(3)}c_{3}^{(h)}+\Gamma ^{(4)}c_{4}^{(h)}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}X=&a\cos \omega t-{\frac {a\omega (T-t)+\Theta '}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\sin \omega t+R'\cos \omega t\\Y=&a\sin \omega t+{\frac {a\omega (T-t)+\Theta '}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \omega t+R'\sin \omega t\\Z=&z_{0}+Z'\\icT=&ict+{\frac {(T-\tau )+{\frac {a\omega }{c^{2}}}\Theta '}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}X&=(a+x')\cos \omega t-{\frac {y'}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\sin \omega t\\Y&=(a+x')\sin \omega t+{\frac {y'}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \omega t\\Z&=b+z'\\T&=t+{\frac {{\frac {a\omega }{c^{2}}}y'}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\\&t'=t{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}ds^{2}=&dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}-2{\frac {\omega y'}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}dx'dt+2{\frac {\omega x'}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}dy'dt\\&+\left(-c^{2}+(a+x')^{2}\omega ^{2}+{\frac {y^{\prime 2}\omega ^{2}}{1-{\frac {a^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}\right)dt^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}$

В (1916a) Коттлер дал общую метрику для движений относительно ускорения, основанную на трех кривизнах.

${\begin{aligned}dS^{2}=&d\xi ^{\prime 2}+d\eta ^{\prime 2}+d\zeta ^{\prime 2}-2c\ d\tau 'd\xi '\cdot \eta 'i/R_{2}+2c\ d\tau 'd\eta '\cdot \left(\xi 'i/R_{2}-\zeta 'i/R_{3}\right)+c\ d\tau 'd\zeta '\cdot \eta 'i/R_{3}\\&-c^{2}d\tau ^{\prime 2}\left[\left(1-\xi '/R_{1}\right)^{2}+\eta ^{\prime 2}/R_{2}^{2}+\eta ^{\prime }/R_{3}^{2}+\left(\xi '/R_{2}-\zeta '/R_{3}\right)^{2}\right]\end{aligned}}$

В (1916b) он придал этому форму:

${ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+2g_{14}dx\ dit+2g_{24}dy\ dit+2g_{34}dz\ dit+g_{44}(dit)^{2}}$

где ${g_{14}g_{24}g_{34}g_{44}}$ свободны от $t$, и ${\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}=0$, и ${\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}={\text{const.}}$, и ${\sqrt {g}}$ линейный по $xyz$.

Мёллер

Моллер (1952) определил следующее уравнение переноса

${\frac {de_{i}}{d\tau }}={\frac {\left(e_{l}{\dot {U}}_{l}\right)U_{i}-{\dot {U}}_{i}\left(i_{l}U_{l}\right)}{c^{2}}}$

в соответствии с транспортом Ферми-Уокера ( 2 , без вращения). Преобразование Лоренца в мгновенную инерциальную систему отсчета было дано им как

$x_{i}=f_{i}(\tau )+x_{k}^{\prime }\alpha _{ki}(\tau )$

в соответствии с ( 4а ). Установив $x^{i}=x_{l}^{\prime }$, $x_{4}^{\prime }=0$ и $t=\tau$он получил преобразование в «релятивистский аналог жесткой системы отсчета».

$X_{i}=f_{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )$

в соответствии с координатами Ферми ( 4б ), а метрика

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}$

в соответствии с метрикой Ферми ( 4в ) без вращения. Он получил тетрады Ферми-Уокера и системы Ферми гиперболического движения и равномерного кругового движения (некоторые формулы для гиперболического движения были выведены им уже в 1943 году):

Гиперболическое движение		Равномерное круговое движение
1943	1952	1952
${\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}x&={\frac {1}{g}}\left\{{\sqrt {(1+gX)^{2}-g^{2}T^{2}}}-1\right\}\\y&=Y\\z&=Z\\t&={\frac {1}{2g}}\ln {\frac {1+gX+gT}{1+gX-gT}}\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-(1+gx)^{2}dt^{2}\end{matrix}}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}\alpha _{ik}=\left({\begin{matrix}U_{4}/ic&0&0&iU_{1}/c\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\U_{1}/ic&0&0&U_{4}/ic\end{matrix}}\right)\\U_{i}=\left(c\sinh {\frac {g\tau }{c}},\ 0,0,\ ig\cosh {\frac {g\tau }{c}}\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\X_{i}=\mathbf {f} _{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}X&={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {gt}{c}}-1\right)+x\cosh {\frac {gt}{c}}\\Y&=y\\Z&=z\\T&={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {gt}{c}}+x{\frac {\sinh {\frac {gt}{c}}}{c}}\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left(1+gx/c^{2}\right)^{2}\\\\\end{matrix}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}\alpha _{ik}=\left({\begin{matrix}\cos \alpha \cos \beta +\gamma \sin \alpha \sin \beta &\sin \alpha \cos \beta -\gamma \cos \alpha \sin \beta &0&-i{\frac {u\gamma }{c}}\sin \beta \\\cos \alpha \sin \beta -\gamma \sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta +\gamma \cos \alpha \cos \beta &0&i{\frac {u\gamma }{c}}\cos \beta \\0&0&1&0\\i{\frac {u\gamma }{c}}\sin \alpha &-i{\frac {u\gamma }{c}}\cos \alpha &0&\gamma \end{matrix}}\right)\\{\alpha =\omega \gamma \tau },\ {\beta =\gamma \alpha =\omega \gamma ^{2}\tau }.\end{matrix}}$

Герглотца и

Общий случай	Равномерное вращение	Цепная линия	Полукубическая парабола	Гиперболическое движение
Херглотц (1909)
локсодромный	эллиптический	гиперболический	параболический	гиперболический $\scriptstyle (\alpha =0)$
$\scriptstyle {\begin{matrix}D\neq 0\\p_{21}=-p_{12}=1\\p_{34}=-p_{43}=i\\q_{i}=[0,0,0,0]\end{matrix}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}D=0,\ \Delta >0\\p_{21}=-p_{12}=1\\\\q_{i}=[0,0,0,\delta i]\end{matrix}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}D=0,\ \Delta <0\\p_{34}=-p_{43}=i\\\\q_{i}=[\alpha ,0,0,0]\end{matrix}}$	$\scriptstyle {\begin{matrix}D=0,\ \Delta =0\\p_{31}=-p_{13}=1\\p_{41}=-p_{14}=i\\q_{i}=[0,\beta ,0,\delta i]\end{matrix}}$
Лоренц-преобразования
$\scriptstyle {\begin{aligned}x+iy&=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta }\\x-iy&=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta }\\t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x+iy&=(x'+iy')e^{i\vartheta }\\x-iy&=(x'-iy')e^{-i\vartheta }\\z&=z'\\t&=t'+\delta \vartheta \end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x'+\alpha \vartheta \\y&=y'\\t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x'+\vartheta (t'-z')+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2}\\y&=y'+\beta \vartheta \\z&=z'+\vartheta x'+{\frac {1}{2}}\vartheta ^{2}(t'-z')+{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3}\\t-z&=t'-z'+\delta \vartheta \end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x'\\y&=y'\\t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}$
Траектории (время)
$\scriptstyle {\begin{aligned}x+iy&=(x_{0}+iy_{0})e^{i\lambda u}\\x-iy&=(x_{0}-iy_{0})e^{-i\lambda u}\\z&={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}\\u&=\lg {\frac {{\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}-t}{z_{0}}}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x+iy&=(x_{0}+iy_{0})e^{i{\frac {t}{\delta }}}\\x-iy&=(x_{0}-iy_{0})e^{-i{\frac {t}{\delta }}}\\z&=z_{0}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+\alpha \lg {\frac {{\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}-t}{z_{0}}}\\y&=y_{0}\\z&={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2}\\y&=y_{0}+\beta \vartheta \\z&=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3}\\t-z&=\delta \vartheta \end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x_{0}\\y&=y_{0}\\z&={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}\end{aligned}}$
Коттлер (1912, 1914)
гиперсферическая кривая	равномерное вращение	контактная сеть	кубическая кривая	гиперболическое движение
Кривизны
$\scriptstyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{R_{1}}}\right)^{2}&={\frac {a^{2}\lambda ^{4}+b^{2}}{\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{2}}}\right)^{2}&=-{\frac {a^{2}b^{2}\lambda ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)}{\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)^{2}\left(a^{2}\lambda ^{4}+b^{2}\right)}}\\\left({\frac {1}{R_{3}}}\right)^{2}&=-{\frac {\lambda ^{2}}{a^{2}\lambda ^{4}+b^{2}}}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{R_{1}}}\right)^{2}&={\frac {a^{2}\lambda ^{4}}{\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{2}}}\right)^{2}&=-{\frac {\lambda ^{2}}{\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{3}}}\right)^{2}&=0\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{R_{1}}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{2}}}\right)^{2}&=-{\frac {\alpha ^{2}}{\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{3}}}\right)^{2}&=0\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{R_{1}}}\right)^{2}&={\frac {\alpha ^{2}}{\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{2}}}\right)^{2}&=-{\frac {\alpha ^{2}}{\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)^{2}}}=-\left({\frac {1}{R_{1}}}\right)^{2}\\\left({\frac {1}{R_{3}}}\right)^{2}&=0\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{R_{1}}}\right)^{2}&={\frac {1}{b^{2}}}\\\left({\frac {1}{R_{2}}}\right)^{2}&=0\\\left({\frac {1}{R_{3}}}\right)^{2}&=0\end{aligned}}$
Траектория $\scriptstyle S_{4}$
$\scriptstyle {\begin{aligned}x^{(1)}&=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right)\\x^{(2)}&=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right)\\x^{(3)}&=b\cos iu\\x^{(4)}&=b\sin iu\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x^{(1)}&=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right)\\x^{(2)}&=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right)\\x^{(3)}&=x_{0}^{(3)}\\x^{(4)}&=iu\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x^{(1)}&=x_{0}^{(1)}+\alpha u\\x^{(2)}&=x_{0}^{(2)}\\x^{(3)}&=b\cos iu\\x^{(4)}&=b\sin iu\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x^{(1)}&=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2}\\x^{(2)}&=x_{0}^{(2)}\\x^{(3)}&=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3}\\x^{(4)}&=i\left(x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{2}\right)+i\alpha u\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x^{(1)}&=x_{0}^{(1)}\\x^{(2)}&=x_{0}^{(2)}\\x^{(3)}&=b\cos iu\\x^{(4)}&=b\sin iu\end{aligned}}$
Траектория (время)
$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right)\\y&=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right)\\z&={\sqrt {b^{2}+c^{2}t^{2}}}\\u&=\ln {\frac {-ct+{\sqrt {b^{2}+c^{2}t^{2}}}}{b}}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=a\cos \omega _{z}\left(t-t_{0}\right)\\y&=a\sin \omega _{z}\left(t-t_{0}\right)\\z&=z_{0}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+\alpha \ln {\frac {-ct+{\sqrt {b^{2}+c^{2}t^{2}}}}{b}}\\y&=y_{0}\\z&={\sqrt {b^{2}+c^{2}t^{2}}}\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}+x_{0}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3}\\ct&=z_{0}+x_{0}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3}+\alpha u\\&=z+\alpha u\end{aligned}}$	$\scriptstyle {\begin{aligned}x&=x_{0}\\y&=y_{0}\\z&={\sqrt {b^{2}+c^{2}t^{2}}}\end{aligned}}$

Библиография

Учебники

• фон Лауэ, М. (1921). Теория относительности, Том 1 (четвертое издание «Принципа относительности» под ред.). Посмотретьег. ; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
• Паули, В. (1921). «Теория относительности» . Энциклопедия математических наук . Том 5. Лейпциг, Б. Г. Тойбнер. стр. 539–776. Новое издание 2013 г.: Редактор: Доменико Джулини, Springer, 2013 г. ISBN   3642583555 .
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности . Оксфорд Кларендон Пресс.
• Синг, Дж. Л. (1960). Относительность: общая теория . Северная Голландия.
• Миснер, К.В., Торн, К.С. и Уиллер, Дж.А. (1973). Гравитация . Фриман. ISBN  978-0716703440 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Риндлер, В. (1977). Основная теория относительности . Спрингер. ISBN  978-3540079705 .
• Джонс, О. (2005). Аналитическая механика для теории относительности и квантовой механики . ОУП Оксфорд. ISBN  978-0198567264 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Кокс, Д. (2006). Исследования по математической физике . Спрингер. ISBN  978-0387309439 .
• Т. Падманабхан (2010). Гравитация: основы и границы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1139485395 .
• Копейкин С., Ефроимский М., Каплан Г. (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-3527408566 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Гургульон, Э. (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике . Спрингер. ISBN  978-3642372766 .

Журнальные статьи

• Бел, Л. (1994). «Группа Борна и обобщенные изометрии». В Ж. Диасе, М. Лоренте (ред.). Относительность в целом . Атлантика Сегье Фронтьер. п. 47. arXiv : 1103.2509 . Бибкод : 2011arXiv1103.2509B . ISBN  978-2863321683 .
• Бини Д. и Янцен Р.Т. (2003). «Круговая голономия, часовые эффекты и гравитоэлектромагнетизм: после всех этих лет все еще ходим по кругу». В Р. Руффини и К. Сигизмонди (ред.). Материалы девятого семинара сети ICRA по Ферми и астрофизике . Том. 117. С. 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 . Бибкод : 2002NCimB.117..983B . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( справка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Бини Д. и Янцен Р.Т. (2004). «Силы инерции: специальная релятивистская оценка» (PDF) . Относительность во вращающихся системах отсчета . Спрингер. стр. 221–239. дои : 10.1007/978-94-017-0528-8_13 . ISBN  978-90-481-6514-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Бини Д., Керубини К., Джералико А. и Янцен Р.Т. (2008). «Физические системы отсчета по круговым орбитам в стационарном осесимметричном пространстве-времени». Общая теория относительности и гравитация . 40 (5): 985–1012. arXiv : 1408.4598 . Бибкод : 2008GReGr..40..985B . дои : 10.1007/s10714-007-0587-z . S2CID   118540815 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Формига, Дж. Б., и Ромеро, К. (2006). «О дифференциальной геометрии времяподобных кривых в пространстве-времени Минковского». Американский журнал физики . 74 (11): 1012–1016. arXiv : gr-qc/0601002 . Бибкод : 2006AmJPh..74.1012F . дои : 10.1119/1.2232644 . S2CID   18892394 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Джулини, Доменико (2008). «Богатая структура пространства Минковского». Пространство-время Минковского: сто лет спустя . Том. 165. Спрингер. п. 83. arXiv : 0802.4345 . Бибкод : 2008arXiv0802.4345G . ISBN  978-90-481-3474-8 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Хель Ф.В., Лемке Дж. и Мильке Э.В. (1991). «Две лекции о фермионах и гравитации». Геометрия и теоретическая физика . Спрингер. стр. 56–140. дои : 10.1007/978-3-642-76353-3_3 . ISBN  978-3-642-76355-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Ирвин, WM (1964). «Электродинамика во вращающейся системе отсчета». Физика . 30 (6): 1160–1170. Бибкод : 1964Phy....30.1160I . дои : 10.1016/0031-8914(64)90106-5 .
• Айер, Б.Р., и Вишвешвара, К.В. (1993). «Описание гироскопической прецессии Френе-Серре». Физический обзор D . 48 (12): 5706–5720. arXiv : gr-qc/9310019 . Бибкод : 1993PhRvD..48.5706I . дои : 10.1103/PhysRevD.48.5706 . ПМИД   10016237 . S2CID   119458843 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Каджари Э., Бузер М., Фейлер К. и Шляйх В.П. (2009). «Вращение в теории относительности и распространение света». Труды Международной школы физики «Энрико Ферми» . Курс CLXVIII (Атомная оптика и космическая физика): 45–148. arXiv : 0905.0765 . дои : 10.3254/978-1-58603-990-5-45 . S2CID   119187725 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Летау, младший (1981). «Стационарные мировые линии и вакуумное возбуждение неинерциальных детекторов». Физический обзор D . 23 (8): 1709–1714. Бибкод : 1981PhRvD..23.1709L . дои : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• Летау-младший и Пфауч Дж.Д. (1982). «Стационарные системы координат в плоском пространстве-времени» . Журнал математической физики . 23 (3): 425–431. Бибкод : 1982JMP....23..425L . дои : 10.1063/1.525364 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Малуф, Дж.В., и Фариа, Ф.Ф. (2008). «О конструкции транспортируемых рамок Ферми-Уокера». Аннален дер Физик . 17 (5): 326–335. arXiv : 0804.2502 . Бибкод : 2008АнП...520..326М . дои : 10.1002/andp.200810289 . S2CID   14389237 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Марзлин, КП (1994). «Физический смысл координат Ферми». Общая теория относительности и гравитация . 26 (6): 619–636. arXiv : gr-qc/9402010 . Бибкод : 1994GReGr..26..619M . CiteSeerX   10.1.1.340.7264 . дои : 10.1007/BF02108003 . S2CID   17918026 .
• Машхун, Б. (1990). «Гипотеза локальности в релятивистской физике». Буквы по физике А. 145 (4): 147–153. Бибкод : 1990PhLA..145..147M . дои : 10.1016/0375-9601(90)90670-J .
• Машхун Б. и Мюнх У. (2002). «Измерение длины в ускоренных системах». Аннален дер Физик . 11 (7): 532–547. arXiv : gr-qc/0206082 . Бибкод : 2002АнП...514..532М . CiteSeerX   10.1.1.339.5650 . doi : 10.1002/1521-3889(200208)11:7<532::AID-ANDP532>3.0.CO;2-3 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Машхун, Б. (2004) [2004]. «Гипотеза локальности и ее ограничения». Относительность во вращающихся системах отсчета . Спрингер. стр. 43–55. arXiv : gr-qc/0303029 . дои : 10.1007/978-94-017-0528-8_5 . ISBN  978-90-481-6514-8 . S2CID   9502229 .
• Мёллер, К. (1943). «Об однородных гравитационных полях в общей теории относительности и парадоксе часов». Дэн. Мат. Фис. Медд . 8 :3–25.
• Ни, В.Т., и Циммерманн, М. (1978). «Инерционные и гравитационные эффекты в собственной системе отсчета ускоренного вращающегося наблюдателя». Физический обзор D . 17 (6): 1473–1476. Бибкод : 1978PhRvD..17.1473N . дои : 10.1103/PhysRevD.17.1473 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Николич, Х. (2000). «Релятивистское сжатие и связанные с ним эффекты в неинерциальных системах отсчета». Физический обзор А. 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Бибкод : 2000PhRvA..61c2109N . дои : 10.1103/PhysRevA.61.032109 . S2CID   5783649 .
• Паури М. и Валлиснери М. (2000). «Координаты Мерцке-Уиллера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Основы физики письма . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Бибкод : 2000gr.qc.....6095P . дои : 10.1023/А:1007861914639 . S2CID   15097773 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Ромен, JE (1963). «Измерения времени в ускоренных системах отсчета». Обзоры современной физики . 35 (2): 376–388. Бибкод : 1963РвМП...35..376Р . дои : 10.1103/RevModPhys.35.376 .
• Синг, Дж. Л. (1966). «Времеподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Войтик, В.В. (2011). «Общий принцип форминвариантности». Гравитация и космология . 17 (3): 218–223. arXiv : 1105.6044 . Бибкод : 2011ГрКо...17..218В . дои : 10.1134/S0202289311030108 . S2CID   119281266 .

Внешние ссылки

• Часто задаваемые вопросы по физике: ускорение в специальной теории относительности
• Эрик Гургульон (2010): Специальная теория относительности с точки зрения ускоренного наблюдателя