Полукубическая парабола

Полукубическая парабола для различных a .

В математике возвратная кубическая или полукубическая парабола — это алгебраическая плоская кривая , имеющая неявное уравнение вида

$y^{2}-a^{2}x^{3}=0$

(при a ≠ 0 ) в некоторой декартовой системе координат .

Решение для y приводит к явной форме

$y=\pm ax^{\frac {3}{2}},$

из чего следует, что каждая вещественная точка удовлетворяет условию x ≥ 0 . Показатель степени объясняет термин полукубическая парабола . ( Параболу можно описать уравнением y = ax ² .)

Решение неявного уравнения для x дает вторую явную форму

$x=\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}.$

Параметрическое уравнение

$\quad x=t^{2},\quad y=at^{3}$

также можно вывести из неявного уравнения, полагая ${\textstyle t={\frac {y}{ax}}.}$

Полукубические параболы имеют особенность возврата ; отсюда и название возвратного куба .

Длина дуги кривой была рассчитана английским математиком Уильямом Нилом и опубликована в 1657 году (см. раздел «История »).

Свойства полукубических парабол

Сходство

Параболический полукубический год $(t^{2},at^{3})$ аналогичен полукубической единичной параболе $(u^{2},u^{3})$.

Доказательство: сходство $(x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)$ (равномерное масштабирование) отображает полукубическую параболу $(t^{2},at^{3})$ на кривую $((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})$ с $u=at$.

Сингулярность

Параметрическое представление $(t^{2},at^{3})$ является регулярным, за исключением точки $(0,0)$. В точку $(0,0)$ кривая имеет особенность (касп). Доказательство следует из касательного вектора $(2t,3t^{2})$. Только для $t=0$ этот вектор имеет нулевую длину.

Касательная к полукубической параболе

Касательные

Дифференцирование полукубической единичной параболы $y=\pm x^{3/2}$ человек попадает в точку $(x_{0},y_{0})$ верхней ветви уравнение тангенса:

$y={\frac {\sqrt {x_{0}}}{2}}\left(3x-x_{0}\right).$

Эта касательная пересекает нижнюю ветвь ровно еще в одной точке с координатами

$\left({\frac {x_{0}}{4}},-{\frac {y_{0}}{8}}\right).$

(Для доказательства этого утверждения следует воспользоваться тем, что касательная пересекает кривую при $(x_{0},y_{0})$ дважды.)

Длина дуги

Определение длины дуги кривой $(x(t),y(t))$ нужно решить интеграл ${\textstyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt.}$ Для полукубической параболы $(t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b,$ каждый получает

$\int _{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt=\int _{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;dt=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{b}\;.$

(Интеграл можно решить заменой $u=4+9a^{2}t^{2}$.)

Пример: для a = 1 (парабола полукубической единицы) и b = 2, что означает длину дуги между началом координат и точкой (4,8), длина дуги равна 9,073.

Эволюция единичной параболы

Эволюция параболы ​ $(t^{2},t)$ представляет собой полукубическую параболу, сдвинутую на 1/2 вдоль оси x : ${\textstyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right).}$

Полярные координаты

Чтобы получить представление полукубической параболы $(t^{2},at^{3})$ в полярных координатах определяют точку пересечения прямой $y=mx$ с кривой. Для $m\neq 0$ есть один момент, отличный от начала: ${\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right).}$ Эта точка имеет расстояние ${\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}$ от происхождения. С $m=\tan \varphi$ и $\sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi$ (см. Список личностей ) можно получить

$r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.$

Связь между полукубической параболой и кубической функцией (зеленый)

Связь между полукубической параболой и кубической функцией

Отображение полукубической параболы $(t^{2},t^{3})$ по проективной карте ${\textstyle (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{y}},{\frac {1}{y}}\right)}$ ( инволюционная перспектива с осью $y=1$ и центр $(0,-1)$) дает ${\textstyle \left({\frac {1}{t}},{\frac {1}{t^{3}}}\right),}$ следовательно, кубическая функция $y=x^{3}.$ Острая точка (начало) полукубической параболы меняется местами с бесконечной точкой оси Y.

Это свойство также можно получить, если представить полукубическую параболу однородными координатами : В уравнении (А) замена $x={\tfrac {x_{1}}{x_{3}}},\;y={\tfrac {x_{2}}{x_{3}}}$ (линия на бесконечности имеет уравнение $x_{3}=0$.) и умножение на $x_{3}^{3}$ выполняется. Получаем уравнение кривой

• в однородных координатах : $x_{3}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}=0.$

Выбор линии $x_{\color {red}2}=0$ как линия на бесконечности и введение $x={\tfrac {x_{1}}{x_{2}}},\;y={\tfrac {x_{3}}{x_{2}}}$ дает (аффинную) кривую $y=x^{3}.$

Изохронная кривая

Дополнительным определяющим свойством полукубической параболы является то, что она представляет собой изохронную кривую , что означает, что частица, следующая по своему пути под действием силы тяжести, проходит равные вертикальные интервалы за равные периоды времени. Таким образом, это связано с кривой таутохроны , для которой частицам в разных начальных точках всегда требуется одинаковое время, чтобы достичь дна, и кривой брахистохроны , кривой, которая минимизирует время, необходимое падающей частице, чтобы пройти от ее начала до его конец.

История

Полукубическая парабола была открыта в 1657 году Уильямом Нилом, который вычислил длину ее дуги . Хотя длины некоторых других неалгебраических кривых, включая логарифмическую спираль и циклоиду, уже были вычислены (то есть эти кривые были выпрямлены ), полукубическая парабола была первой алгебраической кривой (исключая линию и окружность ), которая была выпрямлена.

Ссылки

• Август Пейн: Полукубическая или парабола Нила, ее секущие и касательные , 1875, диссертация
• Клиффорд А. Пиковер: Длина полукубической параболы Нила

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Полукубическая парабола Нила» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс