Интегрирование путем замены

В исчислении правило интеграция путем замены , также известная как u -замена , обратной цепи или замена переменных , это метод вычисления интегралов и первообразных . Это аналог цепного правила дифференциации , и его можно условно рассматривать как использование цепного правила «обратно».

Замена одной переменной

Введение (неопределенные интегралы)

сформулировать результат Прежде чем строго , рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .

Вычислить ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Набор $u=2x^{3}+1.$ Это означает ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ или как дифференциальная форма , ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$ Сейчас:

$${\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}$$

где $C$ – произвольная константа интегрирования .

Эта процедура часто используется, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.

$${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).$$

Для определенных интегралов пределы интегрирования также необходимо скорректировать, но процедура в основном та же.

для

Позволять $g:[a,b]\to I$ — дифференцируемая функция с непрерывной производной, где $I\subset \mathbb {R}$ представляет собой интервал . Предположим, что $f:I\to \mathbb {R}$ является непрерывной функцией . Затем:

$$\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.$$

В обозначениях Лейбница замена $u=g(x)$ дает:

$${\frac {du}{dx}}=g'(x).$$

Эвристическая работа с бесконечно малыми числами дает уравнение

$$du=g'(x)\,dx,$$

что предполагает приведенную выше формулу замены. (Это уравнение можно поставить на строгую основу, интерпретируя его как утверждение о дифференциальных формах .) Метод интегрирования путем замены можно рассматривать как частичное обоснование обозначений Лейбница для интегралов и производных.

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании первым способом его иногда называют u -заменой или w -заменой , при которой новая переменная определяется как функция исходной переменной, найденной внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется при тригонометрической замене , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функции.

Доказательство

Интегрирование путем замены можно вывести из фундаментальной теоремы исчисления следующим образом. Позволять $f$ и $g$ две функции, удовлетворяющие приведенной выше гипотезе о том, что $f$ постоянно включен $I$ и $g'$ интегрируемо на отрезке $[a,b]$. Тогда функция $f(g(x))\cdot g'(x)$ также интегрируемо на $[a,b]$. Следовательно, интегралы

$$\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx$$

и

$$\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du$$

на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.

С $f$ непрерывен, имеет первообразную $F$. Составная функция $F\circ g$ затем определяется. С $g$ дифференцируема, сочетание цепного правила и определения первообразной дает:

$$(F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).$$

Двойное применение фундаментальной теоремы исчисления дает:

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$$

что является правилом замены.

Примеры: первообразные (неопределенные интегралы)

Замену можно использовать для определения первообразных . Выбирают отношение между $x$ и $u,$ определяет соответствующее соотношение между $dx$ и $du$ дифференцируя и производя замены. Будем надеяться, что первообразная для замененной функции будет определена; оригинальная замена между $x$ и $u$ затем отменяется.

Пример 1

Рассмотрим интеграл:

$$\int x\cos(x^{2}+1)\ dx.$$

Сделайте замену ${\textstyle u=x^{2}+1}$ чтобы получить $du=2x\ dx,$ значение ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Поэтому:

$${\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}$$

где $C$ – произвольная константа интегрирования .

Пример 2: Первообразные тангенса и котангенса

Тангенсальную функцию можно проинтегрировать с помощью замены, выразив ее через синус и косинус: $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$.

Используя замену $u=\cos x$ дает $du=-\sin x\,dx$ и

$${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}$$

Котангенс как можно проинтегрировать аналогичным образом, выразив его $\cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}$ и используя замену $u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx$:

$${\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}$$

Примеры: Определенные интегралы

При вычислении определенных интегралов путем замены можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены. В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл ( см. Выше ), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используется несколько замен.

Пример 1

Рассмотрим интеграл:

$$\int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.$$

Сделайте замену ${\textstyle u=x^{2}+1}$ чтобы получить $du=2x\ dx,$ значение ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Поэтому:

$${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}$$

Поскольку нижний предел $x=0$ был заменен на $u=1,$ и верхний предел $x=2$ с $2^{2}+1=5,$ преобразование обратно в термины $x$ было ненужным.

Пример 2: Тригонометрическая замена

Для интеграла

$$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,$$

необходим вариант описанной выше процедуры. Замена $x=\sin u$ подразумевая $dx=\cos u\,du$ полезно, потому что ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}$ Таким образом, мы имеем:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$$

Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла : ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$ последовала еще одна замена. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом единица, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или ${\tfrac {\pi }{4}}.$

Замена нескольких переменных

Замену можно использовать и при интегрировании функций нескольких переменных .

Здесь функция замены ( v ₁ ,..., v _n ) = φ ( u ₁ , ..., ) _un должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как:

$$dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},$$

где det( Dφ )( u ₁ ..., un ₎ ) обозначает определитель матрицы Якоби частных производных φ в точке ( u ₁ , ... un _, . , Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра , натянутого на его столбцы или строки.

Более точно формула замены переменных формулируется в следующей теореме:

Теорема . Пусть U — открытое множество в R. ^н и φ : U → R ^н инъективная x частными производными, якобиан которой отличен от нуля для каждого дифференцируемая функция с непрерывными в U . Тогда для любой вещественной непрерывной функции f с компактным носителем, носитель которой содержится в φ ( U ) :

$$\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .$$

Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование непрерывной дифференцируемости φ можно заменить более слабым предположением, что φ просто дифференцируема и имеет непрерывную обратную функцию. Это гарантированно выполняется, если φ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . Альтернативно, требование det( Dφ ) ≠ 0 можно устранить, применив теорему Сарда .

Для измеримых по Лебегу функций теорему можно сформулировать в следующем виде:

Теорема . Пусть U — измеримое подмножество R ^н и φ : U → R ^н , инъективная функция и предположим, что для каждого x в U существует φ ′( x ) в R ^{н , н} такой, что φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (‖ y − x ‖) при y → x (здесь o — мало- о обозначение ). Тогда φ ( U ) измерима, и для любой вещественнозначной функции f, определенной на φ ( U ) :

$$\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du$$

в том смысле, что если один из интегралов существует (включая возможность быть собственно бесконечным), то существует и другой, и они имеют одно и то же значение.

Другая очень общая версия теории меры следующая:

Теорема . Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное конечной мерой Радона µ , и пусть Y — σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной мерой Радона ρ . Пусть φ : X → Y — абсолютно непрерывная функция (последнее означает, что ρ ( φ ( E )) = 0 всякий раз, когда µ ( E ) = 0 ). Тогда существует действительнозначная измеримая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f : Y → R функция ( f ∘ φ ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X и

$$\int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).$$

Кроме того, можно написать

$$w(x)=(g\circ \varphi )(x)$$

для некоторой измеримой по Борелю функции g на Y .

В геометрической теории меры интегрирование заменой используется с липшицевыми функциями . Билипшицева функция — это липшицева функция φ : U → R ^н которая инъективна и чья обратная функция φ ⁻¹ : φ ( U ) → U также липшицево. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, якобиан определитель билипшицева отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда справедлив следующий результат:

Теорема . Пусть U — открытое подмножество R ^н и φ : U → R ^н — билипшицево отображение. Пусть f : φ ( U ) → R измеримо. Затем

$$\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx$$

в том смысле, что если один из интегралов существует (или, собственно, бесконечен), то то же самое имеет и другой, и они имеют одно и то же значение.

Вышеупомянутая теорема была впервые предложена Эйлером , когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году, использовалась Лежандром , Лапласом и Гауссом и впервые была обобщена на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году. , она сопротивлялась полностью строгому формальному доказательству в течение удивительно долгого времени и была впервые удовлетворительно решена 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начавшихся в середине 1890-х годов.

Применение в теории вероятности

Замену можно использовать для ответа на следующий важный вопрос о вероятности: дана случайная величина X с плотностью вероятности p _X и другая случайная величина Y такая, что Y = φ ( X ) для инъективного (взаимно однозначного) φ , какова плотность вероятности для Y ?

Проще всего ответить на этот вопрос, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность того, что Y примет значение в каком-то конкретном подмножестве S ? Обозначим эту вероятность P ( Y ∈ S ). Конечно, если Y имеет плотность вероятности p _Y , то ответ будет:

$$P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,$$

но это бесполезно, потому что мы не знаем p _Y ; это то, что мы пытаемся найти. рассматривая проблему в переменной X. Мы можем добиться прогресса , Y принимает значение в S всякий раз, когда X принимает значение в ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$ так:

$$P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.$$

Изменение переменной x на y дает:

$$P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.$$

Объединение этого с нашим первым уравнением дает:

$$\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,$$

так:

$$p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.$$

В случае, когда X и Y зависят от нескольких некоррелированных переменных (т. е. ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и $y=\phi (x)$), $p_{Y}$можно найти путем замены нескольких переменных, рассмотренных выше. Результат:

$$p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.$$

См. также

• Функция плотности вероятности
• Замена переменных
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса
• замена Эйлера
• Основная теорема Глассера
• Прогрессивная мера

Ссылки

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Исчисление / Ранние трансценденталии (изд. с одной переменной), Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-321-66414-3
• Ферзола, Энтони П. (1994), «Эйлер и дифференциалы» , The College Mathematics Journal , 25 (2): 102–111, doi : 10.2307/2687130 , JSTOR   2687130
• Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN  978-0-9538129-7-4 .
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-04559-7 .
• Кац, В. (1982), «Замена переменных в кратных интегралах: от Эйлера к Картану», Mathematics Magazine , 55 (1): 3–11, doi : 10.2307/2689856 , JSTOR   2689856
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054234-1 .
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-87150-341-7
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN  978-0-8053-9021-6 .

Внешние ссылки

• Интегрирование заменой в математической энциклопедии
• Формула площади в математической энциклопедии