Интеграл Дарбу

В разделе математики, как реальный анализ , интеграл Дарбу строится с использованием сумм Дарбу и является одним из возможных определений интеграла функции известном . Интегралы Дарбу эквивалентны интегралам Римана , что означает, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения двух интегралов, если они существуют, равны. Преимущество определения интеграла Дарбу заключается в том, что его легче применять в вычислениях или доказательствах, чем определение интеграла Римана. Следовательно, вводные учебники по математическому анализу и реальному анализу часто развивают интегрирование Римана с использованием интеграла Дарбу, а не истинного интеграла Римана. Более того, это определение легко расширить до определения интегрирования Римана–Стилтьеса . Интегралы Дарбу названы в честь их изобретателя Гастона Дарбу (1842–1917).

Определение

В определении интеграла Дарбу рассматриваются верхние и нижние интегралы (Дарбу) , которые существуют для любой ограниченной вещественной функции. $f$ на интервале $[a,b].$ Интеграл Дарбу существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний интегралы равны. Верхний и нижний интегралы, в свою очередь, являются нижней и верхней границей соответственно верхней и нижней сумм (Дарбу) , которые завышают и недооценивают соответственно «площадь под кривой». В частности, для данного разбиения интервала интегрирования верхняя и нижняя суммы суммируют площади прямоугольных срезов, высоты которых являются верхней и нижней границей соответственно f в каждом подинтервале разбиения. Эти идеи конкретизированы ниже:

Суммы Дарбу

Нижняя (зеленый) и верхняя (зеленый плюс лавандовый) суммы Дарбу для четырех подинтервалов

Раздел интервала $[a,b]$ представляет собой конечную последовательность значений $x_{i}$ такой, что

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.$

Каждый интервал $[x_{i-1},x_{i}]$ называется подинтервалом разбиения. Позволять $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ — ограниченная функция, и пусть

$P=(x_{0},\ldots ,x_{n})$

быть частью $[a,b]$. Позволять

${\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}$

Верхняя Дарбу сумма $f$ относительно $P$ является

$U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!$

Нижняя Дарбу сумма $f$ относительно $P$ является

$L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!$

Нижнюю и верхнюю суммы Дарбу часто называют нижней и верхней суммами.

Интегралы Дарбу

Верхний интеграл Дарбу от f равен

$U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.$

Нижний интеграл Дарбу от f равен

$L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.$

В некоторой литературе символ интеграла с подчеркиванием и надчеркиванием обозначает нижний и верхний интегралы Дарбу соответственно:

${\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}$

и, как и суммы Дарбу, их иногда называют просто нижним и верхним интегралами .

Если U _f = L _f , то общее значение мы называем интегралом Дарбу . Мы также говорим, что f интегрируемо по Дарбу или просто интегрируемо , и полагаем

$\int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.$

Эквивалентный и иногда полезный критерий интегрируемости f чтобы показать, что для каждого ε > 0 существует разбиение Pε _{состоит в том ,} из [ a , b ] такое, что

$U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .$

Свойства

• Для любого данного разбиения верхняя сумма Дарбу всегда больше или равна нижней сумме Дарбу. Кроме того, нижняя сумма Дарбу ограничена снизу прямоугольником ширины ( b − a ) и высоты inf( f ), взятого из [ a , b ]. Аналогично, верхняя сумма ограничена сверху прямоугольником ширины ( b − a ) и высоты sup ( f ).

  $(b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)$

• Нижний и верхний интегралы Дарбу удовлетворяют

  ${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$

• Учитывая любой c в ( a , b )

  ${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}$

• Нижний и верхний интегралы Дарбу не обязательно линейны. Предположим, что g :[ a , b ] → R также является ограниченной функцией, тогда верхний и нижний интегралы удовлетворяют следующим неравенствам:

  ${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}$

• Для константы c ≥ 0 имеем

  ${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}$

• Для константы c ≤ 0 имеем

  ${\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}$

• Рассмотрим функцию

  ${\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}$

тогда F липшицево непрерывно . Идентичный результат имеет место, если F определяется с использованием верхнего интеграла Дарбу.

Примеры

Функция, интегрируемая по Дарбу

Предположим, мы хотим показать, что функция $f(x)=x$ интегрируема по Дарбу на интервале $[0,1]$ и определить его стоимость. Для этого разделим $[0,1]$ в $n$ подинтервалы одинакового размера, каждый из которых имеет длину $1/n$. Обозначим разбиение $n$ подинтервалы одинакового размера, как $P_{n}$.

Теперь, поскольку $f(x)=x$ строго увеличивается на $[0,1]$, нижняя грань любого конкретного подинтервала определяется его начальной точкой. Точно так же верхняя грань любого конкретного подинтервала определяется его конечной точкой. Отправная точка $k$-й подинтервал в $P_{n}$ является $(k-1)/n$ и конечная точка $k/n$. Таким образом, нижняя сумма Дарбу на разбиении $P_{n}$ дается

${\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}$

аналогично верхняя сумма Дарбу определяется выражением

${\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}$

С

$U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}$

Таким образом, для любого $\varepsilon >0$, у нас есть этот любой раздел $P_{n}$ с $n>{\frac {1}{\varepsilon }}$ удовлетворяет

$U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon$

что показывает, что $f$ интегрируема по Дарбу. Чтобы найти значение интеграла, заметим, что

$\int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}$

Суммы Дарбу

Верхние суммы Дарбу функции y = x ²

Нижние суммы Дарбу функции y = x ²

Неинтегрируемая функция

Предположим, у нас есть функция Дирихле $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ определяется как

${\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Поскольку рациональные и иррациональные числа являются плотными подмножествами $\mathbb {R}$, отсюда следует, что $f$ принимает значения 0 и 1 на каждом подинтервале любого раздела. Таким образом, для любого раздела $P$ у нас есть

${\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}$

откуда видно, что нижний и верхний интегралы Дарбу неравны.

разбиения и связь с

При переходе к уточнению нижняя сумма увеличивается, а верхняя уменьшается.

Уточнение ​ раздела $x_{0},\ldots ,x_{n}$ это раздел $y_{0},\ldots ,y_{m}$ такой, что для всех i = 0, …, n существует целое число r ( i ) такое, что

$x_{i}=y_{r(i)}.$

Другими словами, чтобы сделать уточнение, разрежьте подинтервалы на более мелкие части и не удаляйте существующие разрезы.

Если $P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})$ представляет собой уточнение $P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),$ затем

$U_{f,P}\geq U_{f,P'}$

и

$L_{f,P}\leq L_{f,P'}.$

Если P1 _{— два разбиения одного и} , P2 _того же интервала (одно не обязательно является уточнением другого), то

$L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},$

и отсюда следует, что

$L_{f}\leq U_{f}.$

Суммы Римана всегда лежат между соответствующими нижней и верхней суммами Дарбу. Формально, если $P=(x_{0},\ldots ,x_{n})$ и $T=(t_{1},\ldots ,t_{n})$ вместе создайте раздел с тегами

$x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}$

(как в определении интеграла Римана ), и если сумма Римана $f$ равен R, соответствующему P и T , то

$L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.$

Из предыдущего факта следует, что интегралы Римана по крайней мере так же сильны, как интегралы Дарбу: если интеграл Дарбу существует, то верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие достаточно тонкому разбиению, будут близки к значению интеграла, поэтому любая сумма Римана по это же разбиение также будет близко к значению интеграла. Существует (см. ниже) размеченное разбиение, которое сколь угодно близко к значению верхнего интеграла Дарбу или нижнего интеграла Дарбу, и, следовательно, если интеграл Римана существует, то и интеграл Дарбу должен существовать.

showПодробности поиска тегов

For this proof, we shall use superscripts to index $\left\{P^{(n)}\right\}$ and variables related to it. Let $\left\{P^{(n)}\right\}$ be a sequence of arbitrary partitions of $[a,b]$ such that $\|P_{n}\|\to 0$, whose tags are to be determined. By the definition of infimum, forany $\epsilon >0$, we can always find a $t_{i}^{(n)}\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]$ such that $\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)\geq f(t_{i}^{(n)})-\epsilon .$Thus, ${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\left(\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)+\epsilon \right)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\ \ \ \\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\sum _{i=0}^{N-1}\epsilon (x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\epsilon (b-a).\end{aligned}}$ Let $\epsilon =1/n(b-a)$, we have ${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+{\frac {1}{n}}\\&=&L_{f,P^{(n)}}+{\frac {1}{n}}\end{aligned}}$ Taking limits of both sides, ${\begin{aligned}R_{f}=\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}$ Similarly, (with a different sequences of tags) ${\begin{aligned}R_{f}\geq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}$ Thus, we have $R_{f}\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}\leq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}\leq R_{f},$ which means that the Darboux integral exists and equals $R_{f}$.

См. также

• Регулируемый интеграл
• Интеграция Лебега
• Минимальный ограничивающий прямоугольник

Ссылки

• «Дарбу Интеграл» . Вольфрам Математический мир . Проверено 8 января 2013 г.
• Интеграл Дарбу в Математической энциклопедии
• «Сумма Дарбу» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Спивак, Майкл (2008), Исчисление (4-е изд.), Опубликуй или погибни, ISBN  978-0914098911
• «Эквивалентность интеграла Дарбу и Римана» .