Интеграл Руссо – Валлуа

В математическом анализе интеграл Руссо -Валлуа является расширением случайных процессов классического интеграла Римана-Стилтьеса.

$\int f\,dg=\int fg'\,ds$

для подходящих функций $f$ и $g$. Идея состоит в том, чтобы заменить производную $g'$ по разностному коэффициенту

$g(s+\varepsilon )-g(s) \over \varepsilon$ и вытянуть предел из интеграла. Кроме того, меняется тип сходимости.

Определения

Определение: последовательность $H_{n}$ случайных процессов сходится равномерно на компактах по вероятности к процессу $H,$

$H={\text{ucp-}}\lim _{n\rightarrow \infty }H_{n},$

если для каждого $\varepsilon >0$ и $T>0,$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {P} (\sup _{0\leq t\leq T}|H_{n}(t)-H(t)|>\varepsilon )=0.$

Один комплект:

$I^{-}(\varepsilon ,t,f,dg)={1 \over \varepsilon }\int _{0}^{t}f(s)(g(s+\varepsilon )-g(s))\,ds$

$I^{+}(\varepsilon ,t,f,dg)={1 \over \varepsilon }\int _{0}^{t}f(s)(g(s)-g(s-\varepsilon ))\,ds$

и

$[f,g]_{\varepsilon }(t)={1 \over \varepsilon }\int _{0}^{t}(f(s+\varepsilon )-f(s))(g(s+\varepsilon )-g(s))\,ds.$

Определение: Прямой интеграл определяется как UCP-предел

$I^{-}$: $\int _{0}^{t}fd^{-}g={\text{ucp-}}\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty (0?)}I^{-}(\varepsilon ,t,f,dg).$

Определение: Обратный интеграл определяется как UCP-предел

$I^{+}$: $\int _{0}^{t}f\,d^{+}g={\text{ucp-}}\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty (0?)}I^{+}(\varepsilon ,t,f,dg).$

Определение: Обобщенная скобка определяется как ucp-предел

$[f,g]_{\varepsilon }$: $[f,g]_{\varepsilon }={\text{ucp-}}\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty }[f,g]_{\varepsilon }(t).$

Для непрерывных семимартингалов $X,Y$ и функции H, интеграл Руссо–Валлуа совпадает с обычным интегралом Ито :

$\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}=\int _{0}^{t}H\,d^{-}X.$

В этом случае обобщенная скобка равна классической ковариации. В частном случае это означает, что процесс

$[X]:=[X,X]\,$

равен процессу квадратичного изменения .

Также для интеграла Руссо-Валлуа и формулы Ито справедлива: Если $X$ представляет собой непрерывный семимартингал и

$f\in C_{2}(\mathbb {R} ),$

затем

$f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}f'(X_{s})\,dX_{s}+{1 \over 2}\int _{0}^{t}f''(X_{s})\,d[X]_{s}.$

о двойственности С помощью результата Трибеля можно определить оптимальные классы пространств Бесова , в которых можно определить интеграл Руссо – Валлуа. Норма в пространстве Бесова

$B_{p,q}^{\lambda }(\mathbb {R} ^{N})$

дается

$||f||_{p,q}^{\lambda }=||f||_{L_{p}}+\left(\int _{0}^{\infty }{1 \over |h|^{1+\lambda q}}(||f(x+h)-f(x)||_{L_{p}})^{q}\,dh\right)^{1/q}$

с известной модификацией $q=\infty$. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема: Предположим

$f\in B_{p,q}^{\lambda },$

$g\in B_{p',q'}^{1-\lambda },$

$1/p+1/p'=1{\text{ and }}1/q+1/q'=1.$

Тогда интеграл Руссо–Валлуа

$\int f\,dg$

существует и для некоторой постоянной $c$ у одного есть

$\left|\int f\,dg\right|\leq c||f||_{p,q}^{\alpha }||g||_{p',q'}^{1-\alpha }.$

Заметим, что в этом случае интеграл Руссо–Валлуа совпадает с интегралом Римана–Стилтьеса и с интегралом Юнга для функций с конечной p-вариацией .

Ссылки

• Руссо, Франческо; Валлуа, Пьер (1993). «Вперед, назад и симметричная интеграция» . Проб. Т.е. И Рел. Поля . 97 : 403–421. дои : 10.1007/BF01195073 .
• Руссо, Ф.; Валлуа, П. (1995). «Обобщенный ковариационный процесс и формула Ито» . Стох. Учеб. И аппл . 59 (1): 81–104. дои : 10.1016/0304-4149(95)93237-А .
• Зеле, Мартина (2002). «Прямые интегралы и стохастические дифференциальные уравнения». В: Семинар по стохастическому анализу, случайным полям и приложениям III . Прогресс в Проб. Том. 52. Биркхойзер, Базель. стр. 293–302. дои : 10.1007/978-3-0348-8209-5_20 . ISBN  978-3-0348-9474-6 .
• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон Дж. Ф. (2003). Пространства Соболева (второе изд.). Эльзевир. ISBN  9780080541297 .