Неполный интеграл Ферми – Дирака.

В математике неполный интеграл Ферми-Дирака , названный в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , для индекса $j$ и параметр $b$ дается

$\operatorname {F} _{j}(x,b){\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\;\mathrm {d} t$

Его производная

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {F} _{j}(x,b)=\operatorname {F} _{j-1}(x,b)$

и это производное соотношение можно использовать для нахождения значения неполного интеграла Ферми-Дирака для неположительных индексов. $j$.

Это альтернативное определение неполного полилогарифма , поскольку:

$\operatorname {F} _{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\;\mathrm {d} t={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{e^{x}}}+1}}\;\mathrm {d} t=-{\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{-e^{x}}}-1}}\;\mathrm {d} t=-\operatorname {Li} _{j+1}(b,-e^{x})$

Что можно использовать для подтверждения личности:

$\operatorname {F} _{j}(x,b)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{j+1}}}{\frac {\Gamma (j+1,nb)}{\Gamma (j+1)}}e^{nx}$

где $\Gamma (s)$ и функция гамма - $\Gamma (s,y)$ – верхняя неполная гамма-функция . С $\Gamma (s,0)=\Gamma (s)$, отсюда следует, что:

$\operatorname {F} _{j}(x,0)=\operatorname {F} _{j}(x)$

где $\operatorname {F} _{j}(x)$ — полный интеграл Ферми-Дирака .

Особые значения

Замкнутая форма функции существует для $j=0$:

$\operatorname {F} _{0}(x,b)=\ln \!{\big (}1+e^{x-b}{\big )}-(b-x)$

См. также

• Полный интеграл Ферми – Дирака
• Статистика Ферми – Дирака
• Неполный полилогарифм
• Полилогарифм

Внешние ссылки

• Научная библиотека GNU — Справочное руководство

• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Ферми-Дирака» . Математический мир .