Интеграл Даниэля

В математике интеграл Даниэля — это тип интегрирования, который обобщает концепцию более элементарных версий, таких как интеграл Римана , с которым студенты обычно впервые знакомятся. Одна из основных трудностей традиционной формулировки интеграла Лебега состоит в том, что она требует первоначальной разработки работоспособной теории меры, прежде чем можно будет получить какие-либо полезные результаты для интеграла. Однако доступен альтернативный подход, разработанный Перси Дж. Дэниэлом ( 1918 ), который не страдает этим недостатком и имеет несколько существенных преимуществ по сравнению с традиционной формулировкой, особенно когда интеграл обобщается на пространства более высокой размерности и дальнейшие обобщения. например, интеграл Стилтьеса . Основная идея заключается в аксиоматизации интеграла.

Аксиомы

Начинаем с выбора семьи $H$ ограниченных вещественных функций (называемых элементарными функциями ), определенных на некотором множестве $X$, который удовлетворяет этим двум аксиомам:

• $H$ представляет собой линейное пространство с обычными операциями сложения и скалярного умножения.
• Если функция $h$ находится в $H$, как и его абсолютное значение $|h|:x\mapsto |h(x)|$.

Кроме того, каждой функции h из H присвоено вещественное число. $Ih$, который называется элементарным интегралом от h и удовлетворяет этим трем аксиомам:

Линейность

Если h и k оба находятся в H и $\alpha$ и $\beta$ любые два действительных числа, то $I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik$.

Неотрицательность

Если $h(x)\geq 0$ для всех $x$, затем $Ih\geq 0$.

Непрерывность

Если $h_{n}$ является невозрастающей последовательностью (т.е. $h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots$) функций в $H$ который сходится к 0 для всех $x$ в $X$, затем $Ih_{n}\to 0$.

или (чаще)

Если $h_{n}$ является возрастающей последовательностью (т.е. $h_{1}\leq \cdots \leq h_{k}\leq \cdots$) функций в $H$ который сходится к h для всех $x$ в $X$, затем $Ih_{n}\to Ih$.

То есть мы определяем непрерывный неотрицательный линейный функционал $I$ над пространством элементарных функций.

Эти элементарные функции и их элементарные интегралы могут представлять собой любой набор функций и определений интегралов по этим функциям, которые удовлетворяют этим аксиомам. Семейство всех ступенчатых функций , очевидно, удовлетворяет указанным выше аксиомам для элементарных функций. Определение элементарного интеграла семейства ступенчатых функций как (сознаковой) площади под ступенчатой ​​функцией, очевидно, удовлетворяет данным аксиомам для элементарного интеграла. Применение конструкции интеграла Даниэля, описанной ниже, с использованием ступенчатых функций в качестве элементарных функций, дает определение интеграла, эквивалентного интегралу Лебега. Использование семейства всех непрерывных функций в качестве элементарных функций и традиционного интеграла Римана в качестве элементарного интеграла также возможно, однако это даст интеграл, который также эквивалентен определению Лебега. Делая то же самое, но используя интеграл Римана–Стилтьеса вместе с соответствующей функцией ограниченной вариации , мы получаем определение интеграла, эквивалентное определению Интеграл Лебега–Стилтьеса .

Множества нулевой меры можно определить через элементарные функции следующим образом. Набор $Z$ который является подмножеством $X$ является множеством меры нуль, если для любого $\epsilon >0$, существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций $h_{p}(x)$ в H такой, что $Ih_{p}<\varepsilon$ и ${\textstyle \sup _{p}h_{p}(x)\geq 1}$ на $Z$.

Множество называется множеством полной меры , если его дополнение относительно $X$, является множеством нулевой меры. Мы говорим, что если какое-то свойство выполняется в каждой точке множества полной меры (или, что то же самое, везде, кроме множества меры нуль), оно выполняется почти всюду .

Определение

Хотя результат один и тот же, разные авторы строят интеграл по-разному. Обычный подход состоит в том, чтобы начать с определения более широкого класса функций на основе выбранных нами элементарных функций, класса $L^{+}$, которое представляет собой семейство всех функций, являющихся пределом неубывающей последовательности $h_{n}$ элементарных функций, таких что множество интегралов $Ih_{n}$ ограничен. Интеграл функции $f$ в $L^{+}$ определяется как:

$If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}$

Можно показать, что это определение интеграла корректно, т. е. не зависит от выбора последовательности $h_{n}$.

Однако класс $L^{+}$ вообще не замкнут при вычитании и скалярном умножении на отрицательные числа; необходимо еще больше расширить его, определив более широкий класс функций. $L$ с этими свойствами.

Метод Дэниела (1918), описанный в книге Ройдена, сводится к определению верхнего интеграла общей функции. $\phi$ к

$I^{+}\phi =\inf _{f\geq \phi }If.$

Нижний интеграл определяется аналогичным образом или, короче, как $I^{-}\phi =-I^{+}(-\phi )$. Окончательно $L$ состоит из тех функций, верхний и нижний интегралы которых конечны и совпадают, а

$\int _{X}\phi (x)dx=I^{+}\phi =I^{-}\phi .$

Альтернативный путь, основанный на открытии Фредерика Рисса, изложен в книге Шилова и Гуревича и в статье в «Энциклопедии математики». Здесь $L$ состоит из тех функций $\phi (x)$ которое можно представить на множестве полной меры (определенном в предыдущем разделе) как разность $\phi =f-g$, для некоторых функций $f$ и $g$ в классе $L^{+}$. Тогда интеграл от функции $\phi (x)$ можно определить как:

$\int _{X}\phi (x)dx=If-Ig\,$

Опять же, можно показать, что этот интеграл корректно определен, т. е. он не зависит от разложения $\phi$ в $f$ и $g$. Это оказывается эквивалентным исходному интегралу Дэниела.

Свойства

Почти все важные теоремы традиционной теории интеграла Лебега, такие как теорема Лебега о доминируемой сходимости , теорема Рисса-Фишера , лемма Фату и теорема Фубини , также могут быть легко доказаны с использованием этой конструкции. Его свойства идентичны традиционному интегралу Лебега.

Измерение

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями интеграл Даниэля также можно использовать для построения теории меры . Если взять характеристическую функцию $\chi (x)$ некоторого множества, то его интеграл можно принять за меру множества. Можно показать, что это определение меры, основанное на интеграле Даниэля, эквивалентно традиционной мере Лебега .

Преимущества перед традиционной формулировкой

Этот метод построения общего интеграла имеет ряд преимуществ перед традиционным методом Лебега, особенно в области функционального анализа . Конструкции Лебега и Даниэля, как указывалось выше, эквивалентны, если в качестве элементарных функций выбрать обычные конечнозначные ступенчатые функции. Однако, когда кто-то пытается расширить определение интеграла на более сложные области (например, пытаясь определить интеграл от линейного функционала ), мы сталкиваемся с практическими трудностями, используя конструкцию Лебега, которые облегчаются подходом Даниэля.

Польский математик Ян Микусинский предложил альтернативную и более естественную формулировку интегрирования Даниэля, используя понятие абсолютно сходящегося ряда. Его формулировка работает для интеграла Бохнера (интеграла Лебега для отображений, принимающих значения в банаховых пространствах ). Лемма Микусинского позволяет определить интеграл, не упоминая нулевые множества . Он также доказал теорему о замене переменных для кратных интегралов Бохнера и теорему Фубини для интегралов Бохнера с использованием интегрирования Даниэля. В книге Асплунда и Бунгарта наглядно трактуется этот подход для вещественнозначных функций. Он также предлагает доказательство абстрактной теоремы Радона–Никодима с использованием подхода Даниэля–Микусинского .

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана
• Интеграция Лебега – Стилтьеса

Ссылки

• Эш, Роберт Б. (1972). «Взаимодействие между теорией меры и топологией». Реальный анализ и вероятность . Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 168–200. ISBN  0-12-065201-3 .
• Дэниел, П.Дж. (1918). «Общая форма интеграла». Анналы математики . Вторая серия. 19 (4): 279–294. дои : 10.2307/1967495 . JSTOR   1967495 .
• Хаберман, Шелби Дж. (1996). «Построение интегралов Даниэля» . Расширенная статистика . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 199–263. ISBN  0-387-94717-5 .
• Ройден, Х.Л. (1988). «Интеграл Дэниела». Реальный анализ (3-е изд.). Энглвуд Клиффс: Прентис Холл. стр. 419–434. ISBN  0-02-404151-3 .
• Лумис, Линн Х. (1953), «Глава III: Интеграция», Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. 29–47, hdl : 2027/uc1.b4250788
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Перевод Сильвермана, Ричарда А. Довера. ISBN  0-486-63519-8 .
• Асплунд, Эдгар; Бунгарт, Лутц (1966). Первый курс интеграции . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Интеграл Дэниела» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Тейлор, А.Е. (1985) [1965]. Общая теория функций и интегрирование . Дувр. ISBN  0-486-64988-1 .