Аксиоматическая система

В математике и логике аксиоматическая система — это любой набор примитивных понятий и аксиом, позволяющих логически вывести теоремы . Теория — это последовательный, относительно самодостаточный массив знаний, который обычно содержит аксиоматическую систему и все производные от нее теоремы. Полностью описанная аксиоматическая система представляет собой особый вид формальной системы . Формальная теория — это аксиоматическая система (обычно сформулированная в рамках теории моделей ), которая описывает набор предложений, замкнутый с точки зрения логической импликации. Формальное доказательство — это полное воспроизведение математического доказательства в рамках формальной системы.

Свойства

Аксиоматическая система называется непротиворечивой, если в ней нет противоречий . То есть из аксиом системы невозможно вывести как утверждение, так и его отрицание. Последовательность является ключевым требованием для большинства аксиоматических систем, поскольку наличие противоречия позволит доказать любое утверждение ( принцип взрыва ).

В аксиоматической системе аксиома называется независимой , если ее нельзя доказать или опровергнуть с помощью других аксиом системы. Система называется независимой, если каждая из ее основных аксиом независима. В отличие от непротиворечивости, независимость не является необходимым требованием для функционирующей аксиоматической системы, хотя обычно к ней стремятся минимизировать количество аксиом в системе.

Аксиоматическая система называется полной, если для каждого утверждения либо само оно, либо его отрицание выводится из аксиом системы (т. е. каждое утверждение можно доказать как истинное, так и ложное).

согласованность

Помимо последовательности, признаком стоящей системы аксиом является также относительная последовательность. Это описывает сценарий, в котором неопределенным терминам первой системы аксиом предоставляются определения из второй, так что аксиомы первой являются теоремами второй.

Хорошим примером является относительная согласованность абсолютной геометрии по отношению к теории действительной системы счисления . Линии и точки — это неопределенные термины (также называемые примитивными понятиями ) в абсолютной геометрии, которым присвоены значения в теории действительных чисел таким образом, который согласуется с обеими системами аксиом.

Модели

Модель набор аксиоматической системы — это четко определенный , который придает значение неопределенным терминам, представленным в системе, таким образом, который соответствует отношениям, определенным в системе. Существование конкретной модели доказывает состоятельность системы. . Модель называется конкретной, если присвоенные значения являются объектами и отношениями из реального мира. , в отличие от абстрактной модели , основанной на других аксиоматических системах.

Модели также можно использовать, чтобы показать независимость аксиомы в системе. Построив действительную модель для подсистемы без конкретной аксиомы, мы показываем, что пропущенная аксиома независима, если ее правильность не обязательно следует из подсистемы.

Две модели называются изоморфными , если между их элементами можно найти взаимно однозначное соответствие таким образом, чтобы сохранить их взаимосвязь. Аксиоматическая система, для которой каждая модель изоморфна другой, называется категориальной (иногда категориальной ). Свойство категориальности (категоричности) обеспечивает полноту системы, однако обратное неверно: Полнота не обеспечивает категориальность (категоричность) системы, поскольку две модели могут различаться свойствами, которые не могут быть выражены семантикой модели . система.

Пример

В качестве примера рассмотрим следующую аксиоматическую систему, основанную на логике первого порядка с дополнительной семантикой следующего счетного бесконечного числа добавленных аксиом (их можно легко формализовать как схему аксиом ):

$\exists x_{1}:\exists x_{2}:\lnot (x_{1}=x_{2})$ (неофициально существуют два разных предмета).

$\exists x_{1}:\exists x_{2}:\exists x_{3}:\lnot (x_{1}=x_{2})\land \lnot (x_{1}=x_{3})\land \lnot (x_{2}=x_{3})$ (неофициально существует три разных предмета).

$...$

Неформально этот бесконечный набор аксиом утверждает, что существует бесконечно много разных предметов. Однако понятие бесконечного множества не может быть определено внутри системы, не говоря уже о мощности такого множества.

Система имеет как минимум две разные модели: одна — натуральные числа (изоморфны любому другому счетному множеству), а другая — действительные числа (изоморфны любому другому множеству с мощностью континуума ). Фактически, у него бесконечное количество моделей, по одной на каждую мощность бесконечного множества. Однако свойством, отличающим эти модели, является их мощность — свойство, которое не может быть определено внутри системы. Таким образом, система не является категориальной. Однако можно показать, что оно полно.

Аксиоматический метод

Формулировка определений и предложений таким образом, чтобы каждый новый термин мог быть формально исключен ранее введенными терминами, требует примитивных понятий (аксиом), чтобы избежать бесконечного регресса . Этот способ решения математических задач называется аксиоматическим методом .

Распространенным отношением к аксиоматическому методу является логицизм . В своей книге Principia Mathematica Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел попытались показать, что всю математическую теорию можно свести к некоторому набору аксиом. В более общем смысле, сведение совокупности предложений к определенному набору аксиом лежит в основе исследовательской программы математика. Это было очень заметно в математике двадцатого века, особенно в предметах, основанных на гомологической алгебре .

Объяснение конкретных аксиом, используемых в теории, может помочь прояснить подходящий уровень абстракции, с которым математик хотел бы работать. Например, математики предпочли, что кольца не обязательно должны быть коммутативными , что отличалось от Эмми Нётер первоначальной формулировки . Математики решили рассматривать топологические пространства в более общем плане без аксиомы разделения , которую первоначально сформулировал Феликс Хаусдорф .

Теория множеств Цермело -Френкеля , результат аксиоматического метода, примененного к теории множеств, позволила «правильную» формулировку проблем теории множеств и помогла избежать парадоксов наивной теории множеств . Одной из таких проблем была гипотеза континуума . Теория множеств Цермело-Френкеля, включающая исторически противоречивую аксиому выбора , обычно обозначается сокращением ZFC , где «C» означает «выбор». Многие авторы используют ZF для обозначения аксиом теории множеств Цермело – Френкеля с исключенной аксиомой выбора. Сегодня ZFC является стандартной формой аксиоматической теории множеств и, как таковая, является наиболее распространенной основой математики .

История

Дополнительная информация: История математики.

Математические методы получили определенное развитие в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае, по-видимому, без использования аксиоматического метода.

Евклид Александрийский евклидовой является автором самого раннего из дошедших до нас аксиоматических изложений геометрии и теории чисел . Его идея начинается с пяти неоспоримых геометрических предположений, называемых аксиомами . установил истинность других предложений Затем, используя эти аксиомы, он путем доказательств , отсюда и аксиоматический метод.

Многие аксиоматические системы были разработаны в девятнадцатом веке, включая неевклидову геометрию , основы реального анализа , , Кантора теорию множеств работу Фреге об основаниях и «новое» использование Гильбертом аксиоматического метода в качестве инструмента исследования. . Например, теория групп впервые была поставлена ​​на аксиоматическую основу в конце того же столетия. Как только аксиомы были разъяснены (например, о том, что обратные элементы должны требоваться), субъект мог действовать автономно, без ссылки на происхождение групп преобразований в этих исследованиях.

Проблемы

Не всякую непротиворечивую совокупность предложений можно описать с помощью поддающегося описанию набора аксиом. В теории рекурсии набор аксиом называется рекурсивным, если компьютерная программа может распознать, является ли данное предложение языка теоремой. Первая теорема Гёделя о неполноте говорит нам, что существуют определенные непротиворечивые совокупности предложений, не имеющие рекурсивной аксиоматизации. Как правило, компьютер может распознавать аксиомы и логические правила вывода теорем, а также компьютер может распознавать, действительно ли доказательство, но определить, существует ли доказательство для утверждения, можно только «ожидая», пока будет получено доказательство или опровержение. генерируется. В результате никто не будет знать, какие предложения являются теоремами, и аксиоматический метод перестанет работать. Примером такого корпуса предложений является теория натуральных чисел , которая лишь частично аксиоматизируется аксиомами Пеано (описанными ниже).

На практике не каждое доказательство сводится к аксиомам. Иногда даже неясно, к какому набору аксиом апеллирует доказательство. Например, теоретико-числовое утверждение может быть выражено на языке арифметики (то есть на языке аксиом Пеано), и может быть дано доказательство, апеллирующее к топологии или комплексному анализу . Возможно, не сразу ясно, можно ли найти другое доказательство, основанное исключительно на аксиомах Пеано.

Любая более или менее произвольно выбранная система аксиом является основой некоторой математической теории, но такая произвольная аксиоматическая система не обязательно будет свободна от противоречий, а даже если и будет свободна от противоречий, то вряд ли сможет пролить свет на что-либо. Философы математики иногда утверждают, что математики выбирают аксиомы «произвольно», но возможно, что, хотя они могут показаться произвольными, если рассматривать их только с точки зрения канонов дедуктивной логики, такая видимость обусловлена ​​ограничением целей, которые преследует дедуктивная логика. логика служит.

: аксиоматизация натуральных чисел

Основная статья: Аксиомы Пеано

Математическая система натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ... основана на аксиоматической системе, впервые разработанной математиком Джузеппе Пеано в 1889 году. Он выбрал аксиомы на языке одного символа унарной функции S. (сокращение от « преемник »), чтобы набор натуральных чисел был:

• Существует натуральное число 0.
• Каждое натуральное число a обозначаемого Sa. имеет последователя ,
• Не существует натурального числа, наследником которого является 0.
• У разных натуральных чисел есть разные преемники: если a ≠ b , то Sa ≠ Sb .
• Если свойством обладает 0, а также наследник каждого натурального числа, которым оно обладает, то им обладают все натуральные числа (« аксиома индукции »).

Аксиоматизация

В математике аксиоматизация — это процесс получения совокупности знаний и работы в обратном направлении к ее аксиомам. Это формулировка системы утверждений (т.е. аксиом ), которые связывают ряд примитивных терминов для того, чтобы непротиворечивую совокупность предложений можно было вывести из этих утверждений дедуктивным путем . После этого доказательство любого предложения в принципе должно быть прослежено до этих аксиом.

См. также

• Схема аксиом - краткие обозначения для набора утверждений, которые считаются истинными.
• Формализм - мнение, что математика не обязательно отражает реальность, а больше похожа на игру.
• Теоремы Гёделя о неполноте - Ограничительные результаты в математической логике
• Система вывода в стиле Гильберта - Система формального вывода в логике. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• История логики
• Список логических систем
• Логицизм - Программа по философии математики.
• Теория множеств Цермело – Френкеля - Стандартная система аксиоматической теории множеств, аксиоматическая система теории множеств и наиболее распространенная на сегодняшний день основа математики.

Дальнейшее чтение

• «Аксиоматический метод» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, Аксиоматическая система , Из MathWorld — веб-ресурс Wolfram. Mathworld.wolfram.com и Answers.com