Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия — это геометрия, основанная на системе аксиом евклидовой геометрии без постулата параллельности или какой-либо из его альтернатив. Традиционно это означало использование только первых четырех постулатов Евклида . Этот термин был введен Яношем Бояи в 1832 году. Иногда ее называют нейтральной геометрией . поскольку он нейтральен по отношению к постулату параллельности. Первые четыре постулата Евклида теперь считаются недостаточными в качестве основы евклидовой геометрии, поэтому другие системы (такие как аксиомы Гильберта без аксиомы параллельности). вместо них используются

Свойства

В » Евклида « Началах первые 28 предложений и предложение 31 избегают использования постулата параллельности и, следовательно, действительны в абсолютной геометрии. В абсолютной геометрии можно также доказать теорему о внешнем угле (внешний угол треугольника больше любого из удаленных углов), а также теорему Саккери – Лежандра , которая утверждает, что сумма мер углов в треугольник имеет угол не более 180°.

Предложение 31 есть построение прямой, параллельной данной прямой, через точку, не лежащую на данной прямой. Поскольку доказательство требует использования только предложения 27 (теоремы об альтернативном внутреннем угле), это допустимая конструкция в абсолютной геометрии. Точнее, для любой прямой l и любой точки P, не лежащей на l , существует хотя бы одна прямая, проходящая через P и параллельная l . Это можно доказать с помощью знакомой конструкции: даны прямая l и точка P , не лежащая на l , опустить перпендикуляр m из P на l возвести перпендикуляр n к m , затем через P . По теореме об альтернативном внутреннем угле l параллелен n . (Теорема о альтернативном внутреннем угле утверждает, что если прямые a и b пересекаются трансверсалью t так, что существует пара конгруэнтных альтернативных внутренних углов, то a и b параллельны.) Предыдущая конструкция и теорема об альтернативном внутреннем угле: не зависят от постулата параллельности и поэтому справедливы в абсолютной геометрии.

В абсолютной геометрии также доказано, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не могут пересекаться. (что делает две линии параллельными по определению параллельных линий), доказывая, что вершинные углы четырехугольника Саккери не могут быть тупыми и что сферическая геометрия не является абсолютной геометрией.

Связь с другими геометриями

Теоремы абсолютной геометрии справедливы в гиперболической геометрии , которая является неевклидовой геометрией , а также в евклидовой геометрии .

Абсолютная геометрия несовместима с эллиптической геометрией : в этой теории вообще нет параллельных линий, но теорема абсолютной геометрии гласит, что параллельные линии существуют. Однако можно изменить систему аксиом так, чтобы абсолютная геометрия, определенная модифицированной системой, включала сферическую и эллиптическую геометрию, не имеющую параллельных линий.

Абсолютная геометрия является расширением упорядоченной геометрии , и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии справедливы и для абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты), в отличие от аффинной геометрии , которая не предполагает третью и четвертую аксиомы Евклида.(3: «Описать круг с любым центром и радиусом расстояния .»,4: «Что все прямые углы равны друг другу». ) Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии.

Геометрия специальной теории относительности была разработана на основе девяти аксиом и одиннадцати положений абсолютной геометрии. Авторы Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис затем выходят за рамки абсолютной геометрии, когда вводят гиперболическое вращение как преобразование, связывающее две системы отсчета .

Плоскости Гильберта

Плоскость, которая удовлетворяет аксиомам инцидентности , междуности и конгруэнтности Гильберта , называется плоскостью Гильберта . Гильбертовы плоскости являются моделями абсолютной геометрии.

Незавершенность

Абсолютная геометрия — это неполная система аксиом в том смысле, что можно добавить дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом несовместимой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллельных прямых, и получить взаимно несовместимые, но внутренне непротиворечивые системы аксиом, дающие начало евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно.

См. также

• Аффинная геометрия
• Эрлангенская программа
• Основы геометрии
• Геометрия падения
• Неевклидова геометрия

Ссылки

• Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons.
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN  0-8247-1748-1
• Хорошо, Бенджамин; Молденхауэр, Аня; Розенбергер, Герхард; Шуренберг, Анника; Винке, Леонард (2022), Геометрия и дискретная математика: избранные основные моменты , Учебники Де Грюйтера (2-е изд.), Уолтер де Грюйтер, ISBN  9783110740783
• Гринберг, Марвин Джей (2007), Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman, ISBN  0-7167-9948-0
• Гринберг, Марвин Джей (2010), «Старые и новые результаты в основах элементарных плоских евклидовых и неевклидовых геометрий» (PDF) , Mathematical Association of America Monthly , 117 : 198–219
• Хартсхорн, Робин (2005), Геометрия: Евклид и не только , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-98650-2
• Памбукейн, Виктор Аксиоматизация гиперболической и абсолютной геометрии , в: Неевклидовы геометрии (А. Прекопа и Э. Мольнар, ред.). Мемориальный том Яноша Бойяи. Материалы международной конференции по гиперболической геометрии, Будапешт, Венгрия, 6–12 июля 2002 г. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 119–153, 2006.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с абсолютной геометрией, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная геометрия» . Математический мир .