Упорядоченная геометрия
Упорядоченная геометрия — это форма геометрии , в которой используется концепция промежуточного состояния (или «между»), но, как и в проективной геометрии , отсутствует базовое понятие измерения . Упорядоченная геометрия — это фундаментальная геометрия, образующая общую основу для аффинной , евклидовой , абсолютной и гиперболической геометрии (но не для проективной геометрии).
История [ править ]
Мориц Паш впервые определил геометрию без ссылки на измерение в 1882 году. Его аксиомы были усовершенствованы Пеано (1889), Гильбертом (1899) и Вебленом (1904). [1] : 176 Евклид предвосхитил подход Паша в определении 4 « Начал » : «прямая линия — это линия, лежащая равномерно с точками на себе». [2]
Примитивные понятия [ править ]
Единственными примитивными понятиями в упорядоченной геометрии являются точки A , B , C ,... и троичное отношение посредника [ ABC ], которое можно прочитать как « B находится между A и C ».
Определения [ править ]
Отрезок APB AB — это множество точек P таких, что [ ] .
Интервал AB AB — это отрезок и конечные точки A и B. его
Луч PAB A / B (читается как «луч из A в сторону от B ») — это набор точек P таких, что [ ] .
Прямая AB AB — это отрезок и два луча A / B и B / A . точки на прямой AB Говорят, что лежат на одной прямой .
Угол О состоит из точки О ( вершины ) и двух неколлинеарных лучей, исходящих из ( сторон ) .
Треугольник , задается тремя неколлинеарными точками (называемыми вершинами и тремя сегментами AB ) BC и CA. их
Если три точки A , B и C неколлинеарны, то плоскость ABC — это совокупность всех точек, коллинеарных с парами точек на одной или двух сторонах треугольника ABC .
Если четыре точки A , B , C и D некомпланарны, то пространство ( 3-пространство ) ABCD — это множество всех точек, коллинеарных с парами точек, выбранных из любой из четырех граней (плоских областей) тетраэдра . АБСД .
Аксиомы упорядоченной геометрии [ править ]
- Есть как минимум два пункта.
- Если A и B — различные точки, существует точка C такая, что [ABC].
- Если [ ABC ], то A и C различны ( A ≠ C ).
- Если [ ABC ], то [ CBA ], но не [ CAB ].
- Если C и D — разные точки на прямой AB , то A находится на прямой CD .
- Если AB — прямая, то существует точка C , не лежащая на прямой AB .
- ( Аксиома Паша ) Если ABC — треугольник и [ BCD ] и [ CEA ], то существует точка F на прямой DE , для которой [ AFB ].
- Аксиома размерности :
- В плоской упорядоченной геометрии все точки находятся в одной плоскости. Или
- Если ABC — плоскость, то существует точка D , не лежащая в плоскости ABC .
- Все точки находятся в одной плоскости, пространстве и т. д. (в зависимости от выбранного измерения).
- (Аксиома Дедекинда) Для всякого разделения всех точек прямой на два непустых множества так, что ни одна точка одного из них не лежит между двумя точками другого, существует точка одного множества, лежащая между любой другой точкой этого множества и каждой точка другого множества.
Эти аксиомы тесно связаны с аксиомами порядка Гильберта . Подробный обзор аксиоматизаций упорядоченной геометрии см. у Виктора (2011). [3]
Результаты [ править ]
Сильвестра о точках Проблема коллинеарных
Теорема Сильвестра -Галлаи может быть доказана в рамках упорядоченной геометрии. [4] [1] : 181, 2
Параллелизм [ править ]
Гаусс , Бояи и Лобачевский разработали понятие параллелизма , которое можно выразить в упорядоченной геометрии. [1] : 189, 90
Теорема (существование параллелизма): Для данной точки A и прямой r , не проходящей через A , существуют ровно два предельных луча из A в плоскости Ar , которые не пересекаются с r . Итак, существует параллельная линия, проходящая через A , которая не пересекает r .
Теорема (передаваемость параллельности): Параллельность луча и прямой сохраняется при добавлении или вычитании отрезка из начала луча.
Транзитивность параллелизма не может быть доказана в упорядоченной геометрии. [5] Следовательно, «упорядоченное» понятие параллелизма не образует отношения эквивалентности на прямых.
См. также [ править ]
- Геометрия падения
- Евклидова геометрия
- Аффинная геометрия
- Абсолютная геометрия
- Неевклидова геометрия
- Эрлангенская программа
- Циклический порядок
- Отношение разделения
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья ISBN 0-471-18283-4 . № 0181.48101 .
- ^ Хит, Томас (1956) [1925]. Тринадцать книг «Начал» Евклида (Том 1) . Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 165 . ISBN 0-486-60088-2 .
- ^ Памбучян, Виктор (2011). «Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Упорядоченные пространства инцидентности». Экспозиции Mathematicae . 29 : 24–66. дои : 10.1016/j.exmath.2010.09.004 .
- ^ Памбучян, Виктор (2009). «Обратный анализ теоремы Сильвестра – Галлая» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 50 (3): 245–260. дои : 10.1215/00294527-2009-010 . Збл 1202.03023 .
- ^ Буземанн, Герберт (1955). Геометрия геодезических . Чистая и прикладная математика. Том. 6. Нью-Йорк: Академик Пресс . п. 139. ИСБН 0-12-148350-9 . Збл 0112.37002 .