Аффинная геометрия

В аффинной геометрии аксиома Плейфэра используется для нахождения линии, проходящей через C1 и параллельной B1B2, а также для нахождения линии, проходящей через B2 и параллельной B1C1: их пересечение C2 является результатом указанного переноса.

В математике — это то , аффинная геометрия что остаётся от евклидовой геометрии при игнорировании (математики часто говорят «забывание» ) метрические понятия расстояния и угла .

Поскольку понятие параллельных линий является одним из основных свойств, не зависящих от какой-либо метрики, аффинную геометрию часто рассматривают как исследование параллельных линий. Следовательно, аксиома Плейфэра (данная линия L и точка P не лежат на L , существует ровно одна прямая, параллельная L , которая проходит через P. ) является фундаментальной в аффинной геометрии. Сравнение фигур в аффинной геометрии производится с помощью аффинных преобразований , которые представляют собой отображения, сохраняющие выравнивание точек и параллельность линий.

Аффинную геометрию можно развивать двумя способами, которые по сути эквивалентны.

В синтетической геометрии аффинное пространство — это набор точек , с которыми связан набор линий, удовлетворяющих некоторым аксиомам (например, аксиоме Плейфэра).

Аффинную геометрию можно развивать и на основе линейной алгебры . В этом контексте аффинное пространство — это набор точек , оснащенных набором преобразований (то есть биективных отображений ), сдвигов , которые образуют векторное пространство (над заданным полем , обычно действительными числами ), и такое, что для любого заданного упорядоченной пары точек происходит уникальный перевод, отправляющий первую точку во вторую; композиция двух переводов представляет собой их сумму в векторном пространстве переводов.

Говоря более конкретно, это означает наличие операции, которая связывает вектор с любой упорядоченной парой точек, и другой операции, которая позволяет переводить точку на вектор, чтобы получить другую точку; эти операции необходимы для удовлетворения ряда аксиом (в частности, того, что два последовательных перевода имеют эффект перевода вектором суммы). При выборе любой точки в качестве « начала » точки находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами, но предпочтительного выбора начала координат не существует; таким образом, аффинное пространство можно рассматривать как полученное из связанного с ним векторного пространства путем «забывания» начала координат (нулевого вектора).

Идея забыть о метрике может быть применена в теории многообразий . Это развито в статье об аффинной связи .

История

В 1748 году Леонард Эйлер ввёл термин аффинный (от лат. affinis «связанный») в своей книге «Введение в анализ бесконечно малых» (том 2, глава XVIII). В 1827 году Август Мёбиус написал об аффинной геометрии в своем «Барицентрическом исчислении» (глава 3).

После Феликса Кляйна в программы Эрлангене аффинная геометрия была признана обобщением евклидовой геометрии .

В 1918 году Герман Вейль сослался на аффинную геометрию в своем тексте « Пространство, время, материя» . Он использовал аффинную геометрию, чтобы ввести сложение и вычитание векторов. на самых ранних этапах развития математической физики . Позже Э. Т. Уиттакер написал:

Геометрия Вейля исторически интересна тем, что была первой из аффинных геометрий, которые были детально разработаны: она основана на особом типе параллельной транспортировки [... с использованием] мировых линий световых сигналов в четырехмерном пространстве-времени. Короткий элемент одной из этих мировых линий можно назвать нулевым вектором ; тогда рассматриваемая параллельная транспортировка такова, что она переносит любой нулевой вектор в одной точке в положение нулевого вектора в соседней точке.

Системы аксиом

Было выдвинуто несколько аксиоматических подходов к аффинной геометрии:

Закон Паппа

Закон Паппа: если красные линии параллельны и синие линии параллельны, то и черные пунктирные линии должны быть параллельны.

одно из свойств параллелей, отмеченное Паппом Александрийским : Поскольку аффинная геометрия имеет дело с параллельными прямыми, в качестве предпосылки было принято

• Предположим, что A, B, C находятся на одной линии, а A', B', C' - на другой. Если прямые AB' и A'B параллельны, а прямые BC' и B'C параллельны, то прямые CA' и C'A параллельны. (Это аффинная версия теоремы Паппа о шестиугольнике ).

Предложенная полная система аксиом имеет точку , линию и линию, содержащую точку в качестве примитивных понятий :

• Две точки содержатся всего в одной строке.
• Для любой прямой L и любой точки P , не лежащей на L , существует только одна линия, содержащая P и не содержащая ни одной точки L. из Говорят, что параллельна эта L. линия
• Каждая линия содержит не менее двух точек.
• Есть как минимум три точки, не принадлежащие одной прямой.

По словам HSM Coxeter :

Интерес к этим пяти аксиомам усиливается тем фактом, что их можно развернуть в обширную совокупность положений, справедливых не только для евклидовой геометрии , но и для геометрии времени и пространства Минковского (в простом случае 1 + 1 измерений, тогда как специальная теория относительности требует 1 + 3). Расширение геометрии Евклида или Минковского достигается путем добавления различных дополнительных аксиом ортогональности и т. Д.

Различные типы аффинной геометрии соответствуют тому, какая интерпретация принимается за вращение . Евклидова геометрия соответствует обычному идее вращения , а геометрия Минковского соответствует гиперболическому вращению . Что касается перпендикулярных линий, то они остаются перпендикулярными, когда плоскость подвергается обычному вращению. В геометрии Минковского линии, которые являются гиперболически-ортогональными, остаются в этом отношении, когда плоскость подвергается гиперболическому вращению.

Упорядоченная структура

Аксиоматическая трактовка плоской аффинной геометрии может быть построена на основе аксиом упорядоченной геометрии путем добавления двух дополнительных аксиом:

1. ( Аффинная аксиома параллелизма ) Учитывая точку A и прямую r , не проходящую через A , существует не более одной прямой, проходящей через A , которая не пересекает r .
2. ( Дезарг ) Даны семь различных точек A, A', B, B', C, C', O , такие что AA', BB', CC' — различные прямые, проходящие через точку O , а AB параллельна A'B' , и BC параллельна B'C' , тогда AC параллельна A'C' .

Аффинное понятие параллелизма образует отношение эквивалентности на строках. Поскольку аксиомы упорядоченной геометрии, представленные здесь, включают свойства, которые подразумевают структуру действительных чисел, эти свойства переносятся и сюда, так что это аксиоматизация аффинной геометрии над полем действительных чисел.

Тройные кольца

Основная статья: Планарное тройное кольцо

Первая недесаргова плоскость была отмечена Давидом Гильбертом в его «Основах геометрии» . Самолет Моултона — стандартная иллюстрация. Чтобы обеспечить контекст для такой геометрии, а также для тех, где справедлива теорема Дезарга разработал концепцию тройного кольца , Маршалл Холл .

В этом подходе аффинные плоскости строятся из упорядоченных пар, взятых из тройного кольца. Говорят, что плоскость обладает «малым аффинным свойством Дезарга», когда два треугольника в параллельной перспективе, имеющие две параллельные стороны, также должны иметь параллельные третьи стороны. Если это свойство выполняется в аффинной плоскости, определяемой тройным кольцом, то существует отношение эквивалентности между «векторами», определяемыми парами точек плоскости. Кроме того, векторы образуют абелеву группу при сложении ; троичное кольцо линейно и удовлетворяет правой дистрибутивности :

$(a+b)c=ac+bc.$

Аффинные преобразования

Основная статья: Аффинное преобразование

Геометрически аффинные преобразования (аффинности) сохраняют коллинеарность : поэтому они преобразуют параллельные прямые в параллельные прямые и сохраняют отношения расстояний вдоль параллельных прямых.

Мы идентифицируем как аффинные теоремы любой геометрический результат, который инвариантен относительно аффинной группы (в Феликса Кляйна в программе Эрлангене это основная группа преобразований симметрии для аффинной геометрии). Рассмотрим в векторном пространстве V общую линейную группу GL( V ) . Это не вся аффинная группа , поскольку мы должны разрешить также переводы векторами v в V . (Такой перевод отображает любой w в V в w + v .) Аффинная группа порождается общей линейной группой и сдвигами и фактически является их полупрямым произведением. $V\rtimes \mathrm {GL} (V).$ (Здесь мы думаем о V как о группе при выполнении операции сложения и используем определяющее представление GL ( V ) на V для определения полупрямого произведения.)

Например, теорема плоской геометрии треугольников о совпадении линий, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны (в центроиде или барицентре ), зависит от понятий середины и центроида как аффинных инвариантов. Другие примеры включают теоремы Чевы и Менелая .

Аффинные инварианты также могут помочь в вычислениях. Например, линии, делящие площадь треугольника на две равные половины, образуют конверт внутри треугольника. Отношение площади конверта к площади треугольника является аффинным инвариантом, поэтому его нужно вычислять только в простом случае, таком как единичный равнобедренный прямоугольный треугольник, чтобы получить ${\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},$ т.е. 0,019860... или менее 2% для всех треугольников.

Знакомые формулы, такие как половина произведения основания на высоту для площади треугольника или треть произведения основания на высоту для , также объема пирамиды являются аффинными инвариантами. Хотя последнее для общего случая менее очевидно, чем первое, его легко увидеть для одной шестой единичного куба, образованной гранью ( площадь 1) и средней точкой куба (высота 1/2). Следовательно, это справедливо для всех пирамид, даже для наклонных, вершина которых не находится прямо над центром основания, и для тех, у которых основанием является параллелограмм , а не квадрат. Формула далее обобщается на пирамиды, основание которых можно разрезать на параллелограммы, включая конусы , допуская бесконечное количество параллелограммов (с должным вниманием к сходимости). Тот же подход показывает, что четырехмерная пирамида имеет четырехмерный гиперобъем , составляющий четверть трехмерного объема ее параллелепипеда основания , умноженного на высоту , и так далее для более высоких измерений.

Кинематика

используются два типа аффинных преобразований В кинематике : классические и современные. Скорость v описывается с использованием длины и направления, причем длина предполагается неограниченной. Эта разновидность кинематики, стилизованная под галилеевскую или ньютоновскую, использует координаты абсолютного пространства и времени . Отображение сдвига плоскости с осью для каждой представляет собой изменение координат наблюдателя, движущегося со скоростью v в покоящейся системе отсчета .

Конечная скорость света , впервые отмеченная задержкой появления спутников Юпитера , требует современной кинематики. Этот метод предполагает быстроту, а не скорость, и заменяет картирование сжатия картой сдвига, использованной ранее. Эта аффинная геометрия была разработана синтетически в 1912 году. выразить специальную теорию относительности . В 1984 году «аффинная плоскость, связанная с лоренцевым векторным пространством L ² » была описана Грасиелой Бирман и Кацуми Номидзу в статье «Тригонометрия в лоренцевой геометрии».

Аффинное пространство

Основная статья: Аффинное пространство

геометрию аффинного пространства заданной размерности n , координатизированного над полем K. Аффинную геометрию можно рассматривать как Существует также (в двух измерениях) комбинаторное обобщение координатизированного аффинного пространства, развитое в синтетической конечной геометрии . В проективной геометрии аффинное пространство означает дополнение гиперплоскости на бесконечности в проективном пространстве . Аффинное пространство также можно рассматривать как векторное пространство, операции которого ограничены теми линейными комбинациями, сумма коэффициентов которых равна единице, например 2 x - y , x - y + z , ( x + y + z )/3 , i x + (1 - я ) у и т. д.

Синтетически аффинные плоскости представляют собой двумерные аффинные геометрии, определенные в терминах отношений между точками и линиями (или иногда, в более высоких измерениях, гиперплоскостями ). Определяя аффинную (и проективную) геометрию как конфигурацию точек и линий (или гиперплоскостей) вместо использования координат, можно получить примеры без координатных полей. Главное свойство состоит в том, что все такие примеры имеют размерность 2. Конечные примеры в размерности 2 ( конечные аффинные плоскости ) оказались ценными при изучении конфигураций в бесконечных аффинных пространствах, в теории групп и в комбинаторике .

Несмотря на то, что другие обсуждаемые подходы менее общие, чем конфигурационный подход, они оказались очень успешными в освещении частей геометрии, связанных с симметрией .

Проекционный вид

В традиционной геометрии аффинная геометрия считается исследованием между евклидовой геометрией и проективной геометрией . С одной стороны, аффинная геометрия — это евклидова геометрия без конгруэнтности учета ; с другой стороны, аффинная геометрия может быть получена из проективной геометрии путем обозначения конкретной линии или плоскости для представления точек, находящихся на бесконечности . В аффинной геометрии нет метрической структуры, но постулат параллельности сохраняется. Аффинная геометрия обеспечивает основу для евклидовой структуры, когда определены перпендикулярные линии, или основу для геометрии Минковского через понятие гиперболической ортогональности . С этой точки зрения аффинное преобразование — это проективное преобразование , не переставляющее конечные точки с точками, находящимися на бесконечности, а геометрия аффинных — это исследование геометрических свойств посредством действия группы преобразований аффинных преобразований.

См. также

• Неевклидова геометрия

Дальнейшее чтение

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , глава 2: «Аффинная и проективная геометрия» , через Интернет-архив
• В.Г. Ашкинусе и Исаак Яглом (1962) Идеи и методы аффинной и проективной геометрии (на русском языке ), Министерство образования, Москва.
• М.К. Беннетт (1995) Аффинная и проективная геометрия , John Wiley & Sons ISBN   0-471-11315-8 .
• HSM Coxeter (1955) «Аффинная плоскость», Scripta Mathematica 21:5–14, лекция, прочитанная перед Форумом Общества друзей Scripta Mathematica в понедельник, 26 апреля 1954 г.
• Феликс Кляйн (1939) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , перевод Э. Р. Хедрика и К. А. Ноубла, стр. 70–86, Macmillan Company .
• Брюс Э. Месерв (1955) «Фундаментальные концепции геометрии» , глава 5, аффинная геометрия, стр. 150–84, Аддисон-Уэсли .
• Питер Шерк и Рольф Лингенберг (1975) Основы плоской аффинной геометрии , Математические изложения № 20, University of Toronto Press .
• Ванда Шмелев (1984) От аффинной к евклидовой геометрии: аксиоматический подход , Д. Рейдель , ISBN   90-277-1243-3 .
• Освальд Веблен (1918) Проективная геометрия , том 2, глава 3: Аффинная группа на плоскости, стр. 70–118, Ginn & Company.

Внешние ссылки

• Питера Кэмерона из Проективная и аффинная геометрии Лондонского университета .
• Жан Х. Галье (2001). Геометрические методы и приложения для информатики и инженерии , Глава 2: «Основы аффинной геометрии» (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics # 38, онлайн-глава из Пенсильванского университета .