Аффинная плоскость (геометрия падения)

В геометрии аффинная плоскость — это система точек и прямых, удовлетворяющая следующим аксиомам: ^[1]

Любые две различные точки лежат на одной прямой.
Для любой линии и любой точки, не лежащей на этой линии, существует уникальная линия, содержащая эту точку и не пересекающаяся с данной линией. ( аксиома Плейфэра )
Существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой (точки не лежат на одной прямой).

В аффинной плоскости две прямые называются параллельными, если они равны или не пересекаются . Используя это определение, приведенную выше аксиому Playfair можно заменить следующим: ^[2]

Учитывая точку и линию, существует уникальная линия, содержащая точку и параллельная этой линии.

Параллелизм — это отношение эквивалентности на прямых аффинной плоскости.

Поскольку в аксиомах не участвуют никакие другие понятия, кроме тех, которые связаны с отношениями между точками и линиями, аффинная плоскость является объектом исследования, принадлежащим геометрии инцидентности . Это невырожденные линейные пространства, удовлетворяющие аксиоме Плейфэра.

Знакомая евклидова плоскость является аффинной плоскостью. Существует множество конечных и бесконечных аффинных плоскостей. Помимо аффинных плоскостей над полями (и телами ), существует также множество недезарговых плоскостей , не производных от координат в теле, удовлетворяющих этим аксиомам. Самолет Моултона является примером одного из них. ^[3]

Конечные аффинные плоскости [ править ]

Если число точек аффинной плоскости конечно, то если одна линия плоскости содержит $n$ точек, то:

каждая строка содержит $n$ точек,
каждая точка содержится в $n + 1$ строке,
есть $n 2$ всего очков и
всего есть $n 2 + n$ строк.

Число $n$ называется порядком аффинной плоскости.

Все известные конечные аффинные плоскости имеют порядки, которые являются простыми или целыми степенными числами. Наименьшая аффинная плоскость (порядка 2) получается удалением прямой и трех точек на этой прямой из плоскости Фано . Аналогичная конструкция, начиная с проективной плоскости третьего порядка, дает аффинную плоскость третьего порядка, которую иногда называют конфигурацией Гессе . Аффинная плоскость порядка $n$ существует тогда и только тогда, когда существует проективная плоскость порядка $n$ (однако определение порядка в этих двух случаях не одно и то же). Таким образом, не существует аффинной плоскости 6-го или 10-го порядка, поскольку нет проективных плоскостей этих порядков. Теорема Брука -Райзера-Чоулы накладывает дополнительные ограничения на порядок проективной плоскости и, следовательно, на порядок аффинной плоскости.

Затем $ 2 + n$ линий аффинной плоскости порядка $n$ попадают в $n + 1$ класс эквивалентности по $n$ линий каждая при условии эквивалентности параллелизма. Эти классы называются параллельными классами прямых. Прямые любого параллельного класса образуют разбиение точек аффинной плоскости. Каждая из $n + 1$ прямых, проходящих через одну точку, принадлежит другому параллельному классу.

Структура параллельных классов аффинной плоскости порядка $n$ может использоваться для построения набора из $n - 1$ взаимно ортогональных латинских квадратов . Для этой конструкции нужны только отношения инцидентности.

Связь с проективными плоскостями [ править ]

Аффинную плоскость можно получить из любой проективной плоскости , удалив прямую и все точки на ней, и наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости, добавив бесконечную линию , каждая из точек которой является бесконечной точкой. где встречается класс эквивалентности параллельных прямых.

Если проективная плоскость недезаргова , удаление разных прямых может привести к образованию неизоморфных аффинных плоскостей. Например, существует ровно четыре проективные плоскости девятого порядка и семь аффинных плоскостей девятого порядка. ^[4] Существует только одна аффинная плоскость, соответствующая дезарговой плоскости девятого порядка, поскольку группа коллинеации этой проективной плоскости действует транзитивно на прямых плоскости. Каждая из трех недезарговых плоскостей девятого порядка имеет группы коллинеации, имеющие две орбиты на прямых, что дает две неизоморфные аффинные плоскости девятого порядка, в зависимости от того, из какой орбиты выбрана удаляемая линия.

Аффинные плоскости перевода [ править ]

Прямая $l$ в проективной плоскости $Π$ является линией сдвига , если группа элюаций с осью $l$ действует транзитивно на точках аффинной плоскости, полученной удалением $l$ из плоскости $Π$ . Проективная плоскость с линией трансляции называется плоскостью трансляции , а аффинная плоскость, полученная удалением линии трансляции, называется аффинной плоскостью трансляции . Хотя в целом с проективными плоскостями работать легче, в этом контексте предпочтение отдается аффинным плоскостям, и некоторые авторы просто используют термин «плоскость трансляции» для обозначения аффинной плоскости трансляции. ^[5]

Альтернативный взгляд на аффинные плоскости сдвига можно получить следующим образом: Пусть $V$ — $2 n$ -мерное векторное пространство над полем $F$ . Распространение - это V $, которые$ набор $S$ n $-мерных$ подпространств $V$ разделяют ненулевые векторы $V$ . Члены $S$ называются компонентами разворота, и если $V то$ j $— разные$ компоненты, $Vi \oplus V Vi j = V.$ и Пусть $A$ — структура инцидентности, точки которой — векторы $V$ смежные классы компонентов, то есть множества вида $v + U$ , где $v$ — вектор $V$ , а $U$ — компонент распространения $S.$ , а линии — Затем: ^[6]

A

— аффинная плоскость, а группа сдвигов

x \to x + w

для вектора

w

— группа автоморфизмов, регулярно действующих в точках этой плоскости.

Обобщение: $k$ -сети [ править ]

Структура инцидентности, более общая, чем конечная аффинная плоскость, представляет собой $k$ - сеть порядка $n$ . Он состоит из $н 2$ точек и $nk$ прямых таких, что:

Параллелизм (как он определен в аффинных плоскостях) — это отношение эквивалентности на множестве прямых.
Каждая линия имеет ровно $n$ точек, и каждый параллельный класс имеет $n$ линий (поэтому каждый параллельный класс линий разделяет множество точек).
Имеется $k$ параллельных классов прямых. Каждая точка лежит ровно на $k$ прямых, по одной из каждого параллельного класса.

-сеть $(n + 1)$ порядка $n$ является в точности аффинной плоскостью порядка $n$ .

сеть $k$ - порядка $n$ эквивалентна набору из $k - 2$ взаимно ортогональных латинских квадратов порядка $n$ .

Пример: сети перевода [ править ]

Для произвольного поля $F$ пусть $Σ$ — множество $n$ -мерных подпространств векторного пространства $F 2 2н$ любые два из которых пересекаются только в {0} (называемое частичным распространением ). Члены $Σ$ и их классы по $F 2 2н$ , образуют линии сети трансляции в точках $F 2 2н$ . Если $| Σ | = k$ это $k$ -сеть порядка $| Ф н |$ . Начиная с аффинной плоскости трансляции , любое подмножество параллельных классов образует сеть трансляции.

Учитывая сеть трансляции, не всегда возможно добавить в сеть параллельные классы для формирования аффинной плоскости. Однако, если $F$ — бесконечное поле, любой частичный разброс $Σ$ с размером менее $| Ф |$ члены могут быть расширены, а сеть трансляции может быть завершена до аффинной плоскости трансляции. ^[7]

Геометрические коды [ править ]

«линия/точка» Учитывая матрицу инцидентности любой конечной инцидентности структуры $M$ и любого поля , $F$ пространство строк $M$ над $F$ является линейным кодом который мы можем обозначить $C = CF, (M)$ . Другой родственный код, содержащий информацию о структуре инцидентности, — это оболочка , которая $C$ определяется как: ^[8]

\operatorname {Hull} (C)=C\cap C^{\perp },

где $С ⊥$ является ортогональным кодом $C$ .

На этом уровне общности об этих кодах мало что можно сказать, но если структура инцидентности имеет некоторую «регулярность», то коды, созданные таким образом, можно проанализировать и получить информацию о кодах и структурах инцидентности друг из друга. Когда структура инцидентности представляет собой конечную аффинную плоскость, коды принадлежат к классу кодов, известному как геометрические коды . Сколько информации об аффинной плоскости несет код, частично зависит от выбора поля. Если характеристика поля не разделяет порядок плоскости, генерируемый код представляет собой полное пространство и не несет никакой информации. С другой стороны, ^[9]

Если $π$ — аффинная плоскость порядка $n$ и $F$ — поле характеристики $p$ , где $p$ делит $n$ , то минимальный вес кода $B = Hull(C F (π)) ⊥$ равен $n$ , и все векторы минимального веса являются постоянными кратными векторам, элементы которых равны нулю или единице.

Более того, ^[10]

Если $π$ — аффинная плоскость порядка $p$ и $F$ — поле характеристики $p$ , то $C = Hull(C F (π)) ⊥$ а векторы минимального веса являются в точности скалярными кратными (векторов инцидентности) линий $π$ .

Когда $π = AG(2, q),$ генерируемый геометрический код представляет собой $q$ -ичный код Рида-Мюллера .

Аффинные пространства [ править ]

Аффинные пространства можно определить аналогично построению аффинных плоскостей из проективных плоскостей. Также возможно предоставить систему аксиом для аффинных пространств более высокой размерности, которая не относится к соответствующему проективному пространству . ^[11]

Примечания [ править ]

^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 82
^ Хартсхорн 2000 , с. 71
^ Моултон, Форест Рэй (1902), «Простая недесаргова плоская геометрия», Труды Американского математического общества , 3 (2), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 192–195, doi : 10.2307/1986419 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1986419
^ Мурхаус 2007 , с. 11
^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 100
^ Мурхаус 2007 , с. 13
^ Мурхаус 2007 , стр. 21–22.
^ Ассмус и Ки 1992 , с. 43
^ Ассмус и Ки 1992 , с. 208
^ Ассмус и Ки 1992 , с. 211
^ Ленц 1961 , с. 138, но см. также Кэмерон 1991 , глава 3.

Ссылки [ править ]

Ассмус, Э. Ф. младший; Ки, доктор медицинских наук (1992), Проекты и их коды , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41361-9
Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, vol. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR 1153019
Хартсхорн, Р. (2000), Геометрия: Евклид и не только , Springer, ISBN 0387986502
Хьюз, Д.; Пайпер, Ф. (1973), Проекционные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Ленц, Х. (1961), Основы элементарной математики , Берлин: Deutscher Verlag d. Знать.
Мурхаус, Эрик (2007), Геометрия заболеваемости (PDF)

Дальнейшее чтение [ править ]

Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: введение , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer Verlag
Картези, Ф. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
Линднер, Чарльз К.; Роджер, Кристофер А. (1997), Теория дизайна , CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9

[1] Хьюз и Пайпер 1973 , с. 82

[2] Хартсхорн 2000 , с. 71

[3] Моултон, Форест Рэй (1902), «Простая недесаргова плоская геометрия», Труды Американского математического общества , 3 (2), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 192–195, doi : 10.2307/1986419 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1986419

[4] Мурхаус 2007 , с. 11

[5] Хьюз и Пайпер 1973 , с. 100

[6] Мурхаус 2007 , с. 13

[7] Мурхаус 2007 , стр. 21–22.

[8] Ассмус и Ки 1992 , с. 43

[9] Ассмус и Ки 1992 , с. 208

[10] Ассмус и Ки 1992 , с. 211

[11] Ленц 1961 , с. 138, но см. также Кэмерон 1991 , глава 3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]