Самолет Моултона

В геометрии инцидентности плоскость Моултона является примером аффинной плоскости , в которой теорема Дезарга не выполняется. Названа в честь американского астронома Фореста Рэя Моултона . Точки плоскости Моултона — это просто точки реальной плоскости R. ² и линии также являются обычными линиями, за исключением того, что для линий с отрицательным наклоном наклон удваивается, когда они проходят Y. ось

Формальное определение [ править ]

Плоскость Моултона представляет собой структуру инцидентности. ${\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle$ , где $P$ обозначает набор точек, $G$ набор линий и ${\textrm {I}}$ отношение инцидентности «лежат»:

P:=\mathbb {R} ^{2}\,

G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,

$\infty$ это просто формальный символ элемента $\not \in \mathbb {R}$ . Он используется для описания вертикальных линий, которые вы можете рассматривать как линии с бесконечно большим наклоном.

Отношение инцидентности определяется следующим образом:

Для $p=(x,y)\in P$ и $g=(m,b)\in G$ у нас есть

p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ or }}x\geq 0.\end{cases}}

Приложение [ править ]

Плоскость Моултона — это аффинная плоскость, в которой не выполняется теорема Дезарга. ^[1] Соответствующая проективная плоскость, следовательно, также недезаргова. Это означает, что существуют проективные плоскости, не изоморфные $PG(2,F)$ для любого (косого) поля F . Здесь $PG(2,F)$ это проективная плоскость $P(F^{3})$ определяется трехмерным векторным пространством над (телым) полем F .

Примечания [ править ]

^ Багспахер и Розенбаум 1998 , стр. 77

Ссылки [ править ]

Бойтельспехер, Альбрехт ; Розенбаум, Ют (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press, стр. 76–78 , ISBN 978-0-521-48364-3
Моултон, Форест Рэй (1902), «Простая недесаргова плоская геометрия», Труды Американского математического общества , 3 (2), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 192–195, doi : 10.2307/1986419 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1986419
Ричард С. Миллман, Джордж Д. Паркер: Геометрия: метрический подход к моделям . Спрингер 1991, ISBN 9780387974125 , стр. 97–104.

[1] Багспахер и Розенбаум 1998 , стр. 77

[1]