Проекционная плоскость

Чертежи конечных проективных плоскостей 2-го ( плоскость Фано ) и 3-го порядков в виде сетки, показывающие метод создания таких чертежей для простых порядков.

Кажется, что эти параллельные линии пересекаются в точке схода «в бесконечности». В проективной плоскости это действительно так.

В математике проективная плоскость — это геометрическая структура, расширяющая понятие плоскости . В обычной евклидовой плоскости две прямые обычно пересекаются в одной точке, но есть некоторые пары прямых (а именно параллельные прямые), которые не пересекаются. Проективную плоскость можно рассматривать как обычную плоскость, снабженную дополнительными «бесконечными точками», где пересекаются параллельные прямые. Таким образом, любые две различные прямые на проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке.

Художники эпохи Возрождения, разрабатывая приемы рисования в перспективе , заложили основу этой математической темы. Архетипическим примером является реальная проективная плоскость , также известная как расширенная евклидова плоскость . Этот пример, в несколько разных вариантах, важен в алгебраической геометрии , топологии и проективной геометрии , где его можно обозначать по-разному: PG(2, R ) , RP. ² , или P ₂ ( R ), среди других обозначений. Существует множество других проективных плоскостей, как бесконечных, например комплексная проективная плоскость , так и конечных, например плоскость Фано .

Проективная плоскость — это двумерное проективное пространство . Не все проективные плоскости можно вложить в трехмерное проективное пространство; такая вложимость является следствием свойства, известного как теорема Дезарга , которое не присуще всем проективным плоскостям.

Определение

Проективная плоскость состоит из набора прямых , набора точек и отношения между точками и прямыми, называемого инцидентностью , имеющего следующие свойства:

1. Для любых двух различных точек существует ровно одна прямая, инцидентная им обеим.
2. Для любых двух различных прямых существует ровно одна точка, инцидентная обеим.
3. Существует четыре точки, из которых ни одна прямая не пересекается более чем с двумя из них.

Второе условие означает отсутствие параллельных прямых . Последнее условие исключает так называемые вырожденные случаи (см. ниже ). Термин «инцидентность» используется, чтобы подчеркнуть симметричный характер отношений между точками и линиями. Таким образом, выражение «точка P пересекает линию ℓ » используется вместо « P находится на ℓ » или « ℓ проходит через P ».

Примеры

Расширенная евклидова плоскость

Чтобы превратить обычную евклидову плоскость в проективную, выполните следующие действия:

1. Каждому параллельному классу линий (максимальному набору взаимно параллельных линий) сопоставьте одну новую точку. Эту точку следует считать инцидентной для каждой линии в своем классе. Добавленные новые точки отличаются друг от друга. Эти новые точки называются точками на бесконечности .
2. Добавьте новую линию, которая считается инцидентной всем точкам, находящимся на бесконечности (и никаким другим точкам). Эта линия называется линией на бесконечности .

Расширенная структура представляет собой проективную плоскость и называется расширенной евклидовой плоскостью или действительной проективной плоскостью . Описанный выше процесс, используемый для его достижения, называется «проективным завершением» или проективизацией . Эту плоскость также можно построить, начиная с R ³ рассматривается как векторное пространство, см. § Построение векторного пространства ниже.

Моултона

Самолет Моултона . Линии, наклоненные вниз и вправо, изгибаются там, где они пересекают Y. ось

Точки плоскости Моултона являются точками евклидовой плоскости с обычными координатами. Чтобы создать плоскость Моултона из евклидовой плоскости, некоторые линии переопределяются. То есть некоторые их наборы точек будут изменены, но другие линии останутся неизменными. Переопределите все линии с отрицательным наклоном, чтобы они выглядели как «изогнутые» линии, то есть эти линии сохраняют свои точки с отрицательными координатами x , но остальные их точки заменяются точками линии с тем же y -перехватом. но двойной наклон, если их координата x положительна.

Плоскость Моултона имеет параллельные классы прямых и является аффинной плоскостью . Его можно проективировать, как и в предыдущем примере, для получения проективной плоскости Моултона . Теорема Дезарга не является действительной теоремой ни в плоскости Моултона, ни в проективной плоскости Моултона.

Конечный пример

В этом примере всего тринадцать точек и тринадцать линий. Обозначим точки P ₁ , ..., P ₁₃ и прямые m ₁ , ..., m ₁₃ . Отношение инцидентности (какие точки находятся на каких прямых) может быть задано следующей матрицей инцидентности . Строки помечены точками, а столбцы — линиями. 1 в строке i и столбце j означает, что точка _Pi находится на прямой m _j , а 0 (который мы обозначаем здесь пустой клеткой для удобства чтения) означает, что они не инцидентны. Матрица имеет нормальную форму Пейджа – Векслера.

Линии Очки	м 1	mм2	m 3	м 4	м 5	м 6	м 7	м 8	м 9	м 10	м 11	м 12	м 13
PП1	1	1	1	1
П 2	1				1	1	1
PП3	1							1	1	1
PP4	1										1	1	1
PP5		1			1			1			1
П 6		1				1			1			1
П 7		1					1			1			1
PР8			1		1				1				1
PР9			1			1				1	1
П 10			1				1	1				1
Пт 11				1	1					1		1
Пт 12				1		1		1					1
стр 13				1			1		1		1

Чтобы проверить условия, которые делают эту плоскость проективной, заметим, что каждые две строки имеют ровно один общий столбец, в котором встречаются единицы (каждая пара различных точек находится ровно на одной общей линии), и что каждые два столбца имеют ровно одну общую строку, в которой Появляются единицы (каждая пара различных линий пересекается ровно в одной точке). Среди многих возможностей точки P1 _, P4 _, P5 _и P8 _, например, будут удовлетворять третьему условию. Этот пример известен как проективная плоскость третьего порядка .

Векторное построение пространства

Хотя может показаться, что линия на бесконечности расширенной реальной плоскости имеет иную природу, чем другие линии этой проективной плоскости, это не так. Другая конструкция той же проективной плоскости показывает, что ни одну прямую нельзя отличить (по геометрическим соображениям) от любой другой. В этой конструкции каждая «точка» вещественной проективной плоскости является одномерным подпространством ( геометрической линией), проходящей через начало координат в трехмерном векторном пространстве, а «линия» в проективной плоскости возникает из ( геометрической ) плоскость, проходящая через начало координат в трехмерном пространстве. Эту идею можно обобщить и уточнить следующим образом.

Пусть K — любое тело (тело). Пусть К ³ обозначают набор всех троек x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) элементов K ( декартово произведение, рассматриваемое как векторное пространство ). Для любого ненулевого x в K ³ , минимальное подпространство K ³ содержащий x (который можно представить как все векторы в строке, проходящей через начало координат), является подмножеством

$\{kx:k\in K\}$

К ​ ³ . Аналогично, пусть x и y — линейно независимые элементы K ³ , что означает, что kx + my = 0 означает, что k = m = 0 . Минимальное подпространство K ³ содержащее x и y (которые можно представить как все векторы в плоскости, проходящей через начало координат), является подмножеством

$\{kx+my:k,m\in K\}$

К ​ ³ . Это двумерное подпространство содержит различные одномерные подпространства через начало координат, которые можно получить, зафиксировав k и m и взяв кратные результирующему вектору. Различные варианты выбора k и m в одинаковом соотношении дадут одну и ту же линию.

Проективная плоскость над K , обозначаемая PG(2, K ) или K P ² , имеет набор точек, состоящий из всех 1-мерных подпространств в K ³ . Подмножество L точек PG(2, K ) называется прямой в PG(2, K ), если существует двумерное подпространство K ³ набор одномерных подпространств которого равен в точности L .

Проверка того, что эта конструкция образует проективную плоскость, обычно остается упражнением по линейной алгебре.

Альтернативный (алгебраический) взгляд на эту конструкцию состоит в следующем. Точки этой проективной плоскости являются классами эквивалентности множества K ³ \ {(0, 0, 0)} по модулю отношения эквивалентности

x ~ kx , для всех k в K ^× .

Линии на проективной плоскости определяются точно так же, как указано выше.

Координаты ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) точки в PG(2, K ) называются однородными координатами . Каждая тройка ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) представляет четко определенную точку в PG(2, K ), за исключением тройки (0, 0, 0) , которая не представляет ни одной точки. Однако каждая точка в PG(2, K ) представлена ​​множеством троек.

Если K — топологическое пространство , то K P ² , наследует топологию через топологии произведения , подпространства и фактора .

Классические примеры

Реальная проективная плоскость RP ² возникает, когда считается действительным числом K R . Как замкнутое неориентируемое вещественное 2- многообразие оно служит фундаментальным примером топологии.

В этой конструкции рассмотрим единичную сферу с центром в начале координат в R ³ . Каждый из Р ³ линии в этой конструкции пересекают сферу в двух противоположных точках. Поскольку Р ³ линия представляет собой точку RP ² , мы получим ту же модель РП ² путем определения противоположных точек сферы. Линии РП ² после этого отождествления противоположных точек будут большие круги сферы. Это описание дает стандартную модель эллиптической геометрии .

Комплексная проективная плоскость CP ² возникает, когда считается комплексным числом C K . Это замкнутое комплексное 2-многообразие и, следовательно, замкнутое ориентируемое вещественное 4-многообразие. Он и проективные плоскости над другими полями (известные как папповы плоскости ) служат фундаментальными примерами в алгебраической геометрии .

Кватернионная проективная плоскость HP ² также представляет самостоятельный интерес.

Плоскости конечного поля

По теореме Веддерберна конечное тело должно быть коммутативным и, следовательно, быть полем. Таким образом, конечные примеры этой конструкции известны как «плоскости поля». Принимая K за конечное q p = поле ^н элементы с штрихом p образуют проективную плоскость q ² + д + 1 балл. Плоскости поля обычно обозначаются PG(2, q ), где PG обозначает проективную геометрию, «2» — это размерность, а q называется порядком плоскости (оно на единицу меньше, чем количество точек на любой прямой). . Плоскость Фано, обсуждаемая ниже, обозначается PG(2, 2). Третий пример выше — проективная плоскость PG(2, 3).

Самолет Фано. Точки показаны точками; линии отображаются в виде линий или кругов.

Плоскость Фано — это проективная плоскость, возникающая из поля двух элементов. Это самая маленькая проективная плоскость, имеющая всего семь точек и семь линий. На рисунке справа семь точек показаны в виде маленьких шариков, а семь линий — в виде шести отрезков и круга. Однако с таким же успехом можно считать шары «линиями», а отрезки прямых и круг — «точками» — это пример двойственности на проективной плоскости: если линии и точки меняются местами, результат все равно будет проективная плоскость (см. ниже ). Перестановка семи точек, которая переносит коллинеарные точки (точки на одной прямой) в коллинеарные точки, называется коллинеацией или симметрией плоскости. Коллинеации геометрии образуют группу в композиции, и для плоскости Фано эта группа ( PΓL(3, 2) = PGL(3, 2) ) имеет 168 элементов.

Теорема Дезарга

Теорема Дезарга универсально справедлива на проективной плоскости тогда и только тогда, когда плоскость может быть построена из трехмерного векторного пространства над телом, как указано выше . Эти плоскости называются дезарговыми плоскостями , по имени Жирара Дезарга . Действительная (или комплексная) проективная плоскость и проективная плоскость третьего порядка, приведенные выше, являются примерами дезарговых проективных плоскостей. Проективные плоскости, которые не могут быть построены таким образом, называются недесарговыми плоскостями , и плоскость Моултона приведенная выше является примером одной из них. Обозначение PG(2, K ) зарезервировано для дезарговых плоскостей. Когда K является полем (очень распространенный случай), они также известны как плоскости поля , а если поле является конечным полем, их можно назвать плоскостями Галуа .

Подпланы

Подплоскость . проективной плоскости — это подмножество точек плоскости, которые сами образуют проективную плоскость с одинаковыми отношениями инцидентности

( Bruck 1955 ) доказывает следующую теорему. конечная проективная плоскость порядка N с собственной подплоскостью _Π0 порядка M. Пусть Π — Тогда либо N = M ² или N ≥ M ² + М .

Когда N — квадрат, подплоскости порядка √ N называются подплоскостями Бэра . Каждая точка плоскости лежит на прямой бэровской подплоскости, и каждая прямая плоскости содержит точку бэровской подплоскости.

В конечных дезарговых плоскостях PG(2, p ^н ), подплоскости имеют порядки, являющиеся порядками подполей конечного поля GF( p ^н ), то есть р ^я где я делитель n . Однако в недезарговых плоскостях теорема Брука дает единственную информацию о порядках подплоскостей. Случай равенства в неравенстве этой теоремы не встречается. Существует ли подплоскость порядка M в плоскости порядка N с M ² + M = N – вопрос открытый. Если бы такие подплоскости существовали, то были бы проективные плоскости составного (непростого степенного) порядка.

Подпланы Фано

Подплоскость Фано — это подплоскость, изоморфная PG(2, 2), единственной проективной плоскости порядка 2.

Если вы рассмотрите четырехугольник (набор из 4 точек, не три из которых лежат на одной прямой) в этой плоскости, точки определяют шесть линий плоскости. Остальные три точки (называемые диагональными точками четырехугольника) — это точки, в которых встречаются линии, не пересекающиеся в какой-либо точке четырехугольника. Седьмая линия состоит из всех диагональных точек (обычно изображаемых в виде круга или полукруга).

В конечных дезарговых плоскостях PG(2, q ) подплоскости Фано существуют тогда и только тогда, когда q четно (т. е. степень 2). Ситуация в недесарговых плоскостях неурегулирована. Они могли существовать в любой недезарговой плоскости порядка выше 6, и действительно, они были обнаружены во всех недезарговых плоскостях, в которых их искали (как в нечетном, так и в четном порядке).

Открытый вопрос, по-видимому, возникший благодаря Ханне Нейман , хотя и не опубликованный ею: содержит ли каждая недезаргова плоскость подплоскость Фано?

Теорема о подплоскостях Фано, выдвинутая ( Глисоном, 1956 ):

Если каждый четырехугольник в конечной проективной плоскости имеет коллинеарные диагональные точки, то плоскость дезаргова (четного порядка).

Аффинные плоскости

Проективизация евклидовой плоскости привела к созданию настоящей проективной плоскости. Обратная операция — начиная с проективной плоскости, удаляя одну прямую и все точки, инцидентные этой прямой, — дает аффинную плоскость .

Определение

Более формально аффинная плоскость состоит из набора прямых и набора точек , а также отношения между точками и линиями, называемого инцидентностью , имеющего следующие свойства:

1. Для любых двух различных точек существует ровно одна прямая, инцидентная им обеим.
2. Для любой прямой l и любой точки P, не инцидентной l , существует ровно одна прямая, инцидентная P , которая не пересекается с l .
3. Существует четыре точки, из которых ни одна прямая не пересекается более чем с двумя из них.

Второе условие означает, что существуют параллельные прямые , и известно как аксиома Плейфэра . Выражение «не встречается» в этом условии является сокращением от «не существует точки, инцидентной обеим прямым».

Евклидова плоскость и плоскость Моултона являются примерами бесконечных аффинных плоскостей. Конечная проективная плоскость образует конечную аффинную плоскость, если удалить одну из ее прямых и точки на ней. Порядок конечной аффинной плоскости — это количество точек на любой из ее прямых (это будет то же число, что и порядок проективной плоскости, из которой она исходит). Аффинные плоскости, возникающие из проективных плоскостей PG(2, q ), обозначаются AG(2, q ).

существует Проективная плоскость порядка N когда существует аффинная плоскость порядка N. тогда и только тогда , Когда существует только одна аффинная плоскость порядка N, существует только одна проективная плоскость порядка N , но обратное неверно. Аффинные плоскости, образованные удалением разных прямых проективной плоскости, будут изоморфными тогда и только тогда, когда удаленные прямые находятся на одной и той же орбите группы коллинеации проективной плоскости. Эти утверждения справедливы и для бесконечных проективных плоскостей.

Построение проективных плоскостей из аффинных плоскостей

Аффинная плоскость K ² над K вкладывается в K P ² через карту, которая переводит аффинные (неоднородные) координаты в однородные координаты ,

$(x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2}).$

Дополнением изображения является множество точек вида (0, x ₁ , x ₂ ) . С точки зрения только что данного вложения, эти точки являются точками, удаленными на бесконечность . Они составляют линию в K P ² — а именно, линия, выходящая из плоскости

$\{k(0,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K\}$

чернила ​ ³ — называется линией в бесконечности . Точки на бесконечности являются «лишними» точками пересечения параллельных линий при построении расширенной реальной плоскости; точка (0, x ₁ , x ₂ ) — это место пересечения всех линий наклона x ₂ / x ₁ . Рассмотрим, например, две строки

$u=\{(x,0):x\in K\}$

$y=\{(x,1):x\in K\}$

в аффинной плоскости K ² . Эти линии имеют наклон 0 и не пересекаются. Их можно рассматривать как подмножества K P ² посредством вложения выше, но эти подмножества не являются строками в K P ² . Добавьте точку (0, 1, 0) в каждое подмножество; то есть пусть

${\bar {u}}=\{(1,x,0):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}$

${\bar {y}}=\{(1,x,1):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}$

Это строки в K P ² ; ū возникает из самолета

$\{k(1,0,0)+m(0,1,0):k,m\in K\}$

чернила ​ ³ , а ş возникает из плоскости

${k(1,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K}.$

Проективные прямые ū и ş пересекаются в точке (0, 1, 0) . Фактически, все строки в K ² наклона 0, проективизированные таким образом, пересекаются в точке (0, 1, 0) в K P ² .

Вложение K ² в К П ² приведенное выше не уникально. Каждое вложение порождает собственное представление о точках, находящихся на бесконечности. Например, вложение

$(x_{1},x_{2})\to (x_{2},1,x_{1}),$

имеет в качестве дополнения те точки вида ( x0 _{бесконечность} , 0, x2 _. ) , которые затем рассматриваются как точки, удаленные на

Когда аффинная плоскость не имеет вида K ² если K — тело, то его еще можно вложить в проективную плоскость, но использованная выше конструкция не работает. Обычно используемый метод проведения вложения в этом случае предполагает расширение набора аффинных координат и работу в более общей «алгебре».

Обобщенные координаты

Основная статья: Планарное тройное кольцо

Можно построить координатное «кольцо» — так называемое плоское тройное кольцо (не настоящее кольцо), соответствующее любой проективной плоскости. Плоское тройное кольцо не обязательно должно быть полем или телом, и существует множество проективных плоскостей, которые не состоят из тела. Их называют недесарговыми проективными плоскостями , и они являются активной областью исследований. Самолет Кэли ( ОП ² ), проективная плоскость над октонионами , является одной из них, поскольку октонионы не образуют тела.

И наоборот, по планарному тройному кольцу ( R , T ) можно построить проективную плоскость (см. ниже). Отношения не один к одному. Проективной плоскости можно сопоставить несколько неизоморфных плоских тройных колец. Тернарный оператор T можно использовать для создания двух бинарных операторов на множестве R следующим образом:

а + б = Т ( а , 1, б ) и

а ⋅ б знак равно Т ( а , б , 0).

Тернарный оператор является линейным , если Т ( Икс , м , k ) знак равно Икс ⋅ м + k . Когда набор координат проективной плоскости фактически образует кольцо, линейный тернарный оператор может быть определен таким образом, используя кольцевые операции справа, чтобы создать плоское троичное кольцо.

Алгебраические свойства этого плоского тройного координатного кольца соответствуют геометрическим свойствам инцидентности плоскости. Например, теорема Дезарга соответствует координатному кольцу, полученному из тела , а теорема Паппа соответствует тому, что это кольцо получается из коммутативного поля. Проективная плоскость, универсально удовлетворяющая теореме Паппа, называется папповской плоскостью . Альтернативные , не обязательно ассоциативные , тела алгебры, такие как октонионы, соответствуют плоскостям Муфанга .

Неизвестно чисто геометрическое доказательство чисто геометрического утверждения о том, что из теоремы Дезарга следует теорема Паппа в конечной проективной плоскости (конечные дезарговы плоскости папповы). (Обратное верно в любой проективной плоскости и доказуемо геометрически, но в этом утверждении важна конечность, поскольку существуют бесконечные дезарговы плоскости, которые не являются папповскими.) Наиболее распространенное доказательство использует координаты в теле и теорему Веддерберна о том, что конечные тела должен быть коммутативным; Бамберг и Пенттила (2015) дают доказательство, которое использует только более «элементарные» алгебраические факты о телах.

Чтобы описать конечную проективную плоскость порядка N (≥ 2) с использованием неоднородных координат и плоского тройного кольца:

Пусть одна точка помечена ( ∞ ).

Отметьте N точек, ( r ), где r = 0, ..., ( N − 1).

Этикетка N ² точки, ( r , c ), где r , c знак равно 0, ..., ( N - 1).

По этим точкам постройте следующие линии:

Одна строка [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), ..., ( N - 1)}

N строк [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ..., ( c , N - 1)}, где c = 0, ..., ( N - 1)

Н ² линии [ r , c ] = {( r ) и точки ( x , T ( x , r , c )) }, где x , r , c = 0, ..., ( N - 1) и T - Тернарный оператор планарного тройного кольца.

Например, для N = 2 мы можем использовать символы {0, 1}, связанные с конечным полем порядка 2. Тернарная операция, определяемая T ( x , m , k ) = xm + k , с операциями справа умножение и сложение в поле дает следующее:

Одна строка [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), (1)},

2 строки [ c ] = {( ∞ ), ( c ,0), ( c ,1) : c = 0, 1},

[0] = {( ∞ ), (0,0), (0,1) }

[1] = {( ∞ ), (1,0), (1,1) }

4 линии [ r , c ]: ( r ) и точки ( i , ir + c ), где i = 0, 1: r , c = 0, 1.

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0) }

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1) }

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1) }

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0) }

Вырожденные самолеты

(Непустые) вырожденные проективные плоскости

Вырожденные плоскости не удовлетворяют третьему условию определения проективной плоскости. Они не настолько сложны структурно, чтобы быть интересными сами по себе, но время от времени они возникают как частные случаи в общих рассуждениях. Согласно ( Альберт и Сандлер, 1968 ), существует семь видов вырожденных плоскостей. Они есть:

1. пустой набор;
2. одна точка, никаких линий;
3. одна линия, без точек;
4. отдельная точка, совокупность линий, точка инцидентна всем линиям;
5. отдельная линия, набор точек, все точки инцидентны этой линии;
6. точка P, инцидентная прямой m , произвольный набор прямых, инцидентных всем с P , и произвольный набор точек, инцидентных всем с m ;
7. точка P, не инцидентная прямой m , произвольный (может быть пустой) набор прямых, инцидентных всем прямым с P , и все точки пересечения этих прямых с m .

Эти семь случаев не являются самостоятельными, четвертый и пятый можно рассматривать как частные случаи шестого, а второй и третий — частные случаи четвертого и пятого соответственно. Особый случай седьмой плоскости без дополнительных линий можно рассматривать как восьмую плоскость. Таким образом, все случаи можно разделить на два семейства вырожденных плоскостей следующим образом (это представление предназначено для конечных вырожденных плоскостей, но может быть естественным образом расширено до бесконечных):

1) Для любого числа точек P ₁ , ..., P _n и прямых L ₁ , ..., L _m ,

L ₁ знак равно { п ₁ , п ₂ , ..., п _п }

л ₂ знак равно { п ₁ }

L3 { P1 _} =

...

л _м знак равно { п ₁ }

2) Для любого количества точек P ₁ , ..., P _n и прямых L ₁ , ..., L _n , (то же количество точек, что и прямых)

L ₁ знак равно { п ₂ , п ₃ , ..., п _п }

L ₂ знак равно { п ₁ , п ₂ }

L ₃ знак равно { п ₁ , п ₃ }

...

L _{п знак} равно { п ₁ , п _п }

Коллинеации

Основная статья: Коллинеация

Коллинеация биективное проективной плоскости - это отображение плоскости в себя, которое отображает точки в точки и прямые в прямые, сохраняя инцидентность, а это означает, что если σ является биекцией и точка P находится на прямой m , то P ^п находится на м ^п .

Если σ является коллинеацией проективной плоскости, точка P такая, что P = P ^п называется точкой σ = , а линия m с m неподвижной m ^п называется фиксированной σ линией . Точки на фиксированной линии не обязательно должны быть фиксированными точками, их изображения при σ просто обязаны лежать на этой линии. Совокупность неподвижных точек и фиксированных линий коллинеации образует замкнутую конфигурацию , которая представляет собой систему точек и линий, удовлетворяющую первым двум, но не обязательно третьему условию определения проективной плоскости. Таким образом, структура фиксированной точки и фиксированной линии для любой коллинеации либо сама по себе образует проективную плоскость, либо вырожденную плоскость . Коллинеации, фиксированная структура которых образует плоскость, называются плоскими коллинеациями .

Гомография

Основная статья: Проективная трансформация

Гомография ) — это коллинеация проективной плоскости этого типа , (или проективное преобразование ) PG(2, K которая является линейным преобразованием основного векторного пространства. Используя однородные координаты, их можно представить обратимыми матрицами 3 × 3 над K , которые действуют на точки PG(2, K ) по формуле y = M x ^Т , где x и y — точки в K ³ (векторы), а M — обратимая матрица размера 3 × 3 над K . Две матрицы представляют одно и то же проективное преобразование, если одна из них является постоянным кратным другой. Таким образом, группа проективных преобразований представляет собой фактор общей линейной группы по скалярным матрицам, называемым проективной линейной группой .

тип коллинеации PG(2, K ) индуцируется любым автоморфизмом K Другой , они называются автоморфными коллинеациями . Если α является автоморфизмом K , то коллинеация, заданная ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) → ( x ₀ ^а , х ₁ ^а , х ₂ ^а ) является автоморфной коллинеацией. Основная теорема проективной геометрии гласит, что все коллинеации PG(2, K ) являются композициями гомографий и автоморфных коллинеаций. Автоморфные коллинеации — это плоские коллинеации.

Плоская двойственность

Основная статья: Двойственность (проективная геометрия)

Дополнительная информация: Структура заболеваемости § Двойная структура.

Проективная плоскость аксиоматически определяется как структура инцидентности в терминах набора P точек, набора L прямых и отношения инцидентности I , которое определяет, какие точки лежат на каких прямых. Поскольку P и L являются всего лишь множествами, их можно поменять ролями и определить плоскую двойственную структуру .

Поменяв местами роли «точек» и «линий» в

C знак равно ( п , L , я )

мы получаем двойственную структуру

С * = ( Л , П , Я *),

где I * обратное I. — отношение

В проективной плоскости высказывание, включающее точки, линии и инцидентность между ними, которое получается из другого такого же высказывания путем замены слов «точка» и «линия» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоскостным двойственным высказыванием первого высказывания. . Плоское двойственное утверждение: «Две точки находятся на одной прямой». это «Две линии встречаются в единственной точке». Формирование плоскости, двойственной к высказыванию, известно как дуализация высказывания.

Если утверждение истинно в проективной плоскости C , то плоскость, двойственная этому утверждению, должна быть истинной в двойственной плоскости C *. Это следует из того, что дуализация каждого утверждения доказательства «в С » дает утверждение доказательства «в С *».

в проективной плоскости C Можно показать, что существуют четыре прямые, из которых никакие три не совпадают. Дуализация этой теоремы и первых двух аксиом в определении проективной плоскости показывает, что двойственная к плоскости структура * также является проективной плоскостью, называемой двойственной плоскостью к C. C

Если C и C * изоморфны, то C называется самодвойственным . Проективные плоскости PG(2, K ) для любого тела K самодвойственны. Однако существуют недесарговы плоскости , которые не являются самодвойственными, например плоскости Холла, и некоторые из них, например плоскости Хьюза .

Принцип двойственности плоскости гласит, что дуализация любой теоремы в самодвойственной проективной плоскости C приводит к получению другой теоремы, действительной в C .

Корреляции

Основная статья: корреляция (проективная геометрия)

Двойственность — это отображение проективной плоскости C = ( P , L , I ) в двойственную ей плоскость C * = ( L , P , I *) (см. выше ), сохраняющее инцидентность. То есть двойственность σ будет отображать точки в линии, а линии в точки ( P ^п = Л и Л ^п = P ) таким образом, что если точка Q находится на прямой m (обозначается Q I m ), то Q ^п Я ​ ​ ^п ⇔ м ^п я вопрос ^п . Двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией . Если корреляция существует, то проективная плоскость C самодвойственна.

В частном случае, когда проективная плоскость имеет тип PG(2, K ) с K телом , двойственность называется взаимностью . Эти планы всегда самодвойственны. По основной теореме проективной геометрии взаимность есть композиция автоморфной функции поля K и гомографии . Если задействованный автоморфизм является тождественным, то взаимность называется проективной корреляцией .

Корреляция второго порядка ( инволюция ) называется полярностью . Если корреляция φ не является полярностью, то φ ² является нетривиальной коллинеацией.

Конечные проективные плоскости

График проективной плоскости 7-го порядка, имеющий 57 точек, 57 прямых, 8 точек на каждой прямой и 8 прямых, проходящих через каждую точку, где каждая точка обозначается скругленным прямоугольником, а каждая линия - комбинацией буквы и цифры. Рисуются только линии с буквами A и H. В Dobble или Spot It! игре удаляются два очка. В файле SVG наведите указатель мыши на строку, чтобы выделить ее.

Можно показать, что проективная плоскость имеет столько же прямых, сколько и точек (бесконечных или конечных). Таким образом, для каждой конечной проективной плоскости существует целое число N ≥ 2 такое, что плоскость имеет

Н ² + Н + 1 балл,

Н ² + N + 1 строк,

N + 1 балл в каждой строке, и

N + 1 линия через каждую точку.

Число N называется порядком проективной плоскости.

Проективная плоскость второго порядка называется плоскостью Фано . См. также статью о конечной геометрии .

Используя конструкцию векторного пространства с конечными полями, существует проективная плоскость порядка N = p ^н , для каждой простой степени p ^н . Фактически, для всех известных конечных проективных плоскостей порядок N является степенью простого числа.

Существование конечных проективных плоскостей других порядков остается открытым вопросом. Единственное общее ограничение, известное на порядок, - это Брука-Райзера-Чоулы , согласно которой, если порядок N конгруэнтен теорема 1 или 2 по модулю 4, он должен быть суммой двух квадратов. Это исключает N = 6 . Следующий случай N = 10 был исключен массивными компьютерными расчетами. Больше ничего не известно; вопрос о существовании конечной проективной плоскости порядка N = 12 в частности, остается открытым .

Другая давняя открытая проблема заключается в том, существуют ли конечные проективные плоскости простого порядка, которые не являются конечными полевыми плоскостями (т. е. существует ли недезаргова проективная плоскость простого порядка).

Проективная плоскость порядка N — это штейнеровская плоскость S(2, N + 1, N ² + Н + 1) система(см. систему Штейнера ). Обратно, можно доказать, что все системы Штейнера этого вида ( λ = 2 ) являются проективными плоскостями.

Число взаимно ортогональных латинских квадратов порядка N не превосходит N − 1 . N − 1 когда существует проективная плоскость порядка N. существует тогда и только тогда ,

Хотя классификация всех проективных плоскостей еще далека от завершения, известны результаты для небольших порядков:

• 2: все изоморфны PG(2, 2)
• 3: все изоморфны PG(2, 3)
• 4: все изоморфны PG(2, 4)
• 5: все изоморфны PG(2, 5)
• 6: невозможен, как порядок проективной плоскости, доказанный Тарри , который показал, что проблема Эйлера о тридцати шести офицерах не имеет решения. Однако связь между этими проблемами не была известна до тех пор, пока Бозе не доказал ее в 1938 году.
• 7: все изоморфны PG(2, 7)
• 8: все изоморфны PG(2, 8)
• 9: PG(2, 9) и еще три разные (неизоморфные) недесарговы плоскости : плоскость Хьюза , плоскость Холла и двойственная к этой плоскости Холла. Все они описаны в ( Room & Kirkpatrick, 1971 ).
• 10: невозможно как порядок проективной плоскости, что доказано тяжелым компьютерным расчетом.
• 11: минимум PG(2, 11), остальные неизвестны, но возможны.
• 12: предполагается, что это невозможно как порядок проективной плоскости.

многомерных проективных

Проективные плоскости можно рассматривать как проективные геометрии «геометрического» измерения два. Проективная геометрия более высокой размерности может быть определена в терминах отношений инцидентности аналогично определению проективной плоскости. Они оказываются «более укрощенными», чем проективные плоскости, поскольку дополнительные степени свободы позволяют геометрически доказать теорему Дезарга в многомерной геометрии. Это означает, что координатное «кольцо», связанное с геометрией, должно быть телом ( телом) K , а проективная геометрия изоморфна построенной из векторного пространства K ^{д +1} , то есть PG( d , K ). Как и в приведенной ранее конструкции, точками d -мерного проективного пространства PG( d , K ) являются прямые, проходящие через начало координат в K ^{д +1} а линия в PG( d , K ) соответствует плоскости, проходящей через начало координат в K ^{д +1} . Фактически, каждый i -мерный объект в PG( d , K ) с i < d является ( i + 1) -мерным (алгебраическим) векторным подпространством K ^{д +1} («проходит через начало координат»). Проективные пространства, в свою очередь, обобщаются до грассмановых пространств .

Можно показать, что если теорема Дезарга справедлива в проективном пространстве размерности больше двух, то она должна выполняться и во всех плоскостях, содержащихся в этом пространстве. Поскольку существуют проективные плоскости, в которых теорема Дезарга не работает ( недесарговы плоскости ), эти плоскости не могут быть вложены в проективное пространство более высокой размерности. Только плоскости из конструкции векторного пространства PG(2, K ) могут появляться в проективных пространствах более высокой размерности. Некоторые дисциплины математики ограничивают значение проективной плоскости только этим типом проективной плоскости, поскольку в противном случае в общих утверждениях о проективных пространствах всегда приходилось бы упоминать исключения, когда геометрическая размерность равна двум.

См. также

• Блочный дизайн – обобщение конечной проективной плоскости.
• Комбинаторный дизайн
• Набор различий
• Структура заболеваемости
• Обобщенный многоугольник
• Проективная геометрия
• Недесарговский самолет
• Гладкая проективная плоскость
• Трансверсали в конечных проективных плоскостях
• Усеченная проективная плоскость – проективная плоскость, у которой удалена одна вершина.
• Размерность VC конечной проективной плоскости

Ссылки

• Альберт, А. Адриан ; Сэндлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Bull. амер. Математика. Соц. , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , S2CID   586512
• Бамберг, Джон; Пенттила, Тим (2015), «Завершение доказательства Сегре малой теоремы Веддерберна» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 47 (3): 483–492, doi : 10.1112/blms/bdv021 , S2CID   123036578
• Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия , Springer-Verlag, ISBN  0-387-97926-3
• Брук, Р.Х. (1955), «Наборы разностей в конечной группе», Пер. амер. Математика. Соц. , 78 (2): 464–481, doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0069791-3
• Брук, Р.Х. ; Бозе, Р.К. (1964), «Построение плоскостей трансляции из проективных пространств» (PDF) , J. Algebra , 1 : 85–102, doi : 10.1016/0021-8693(64)90010-9
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: введение , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  0-19-929886-6
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Глисон, Эндрю М. (1956), «Конечные плоскости Фано», Американский журнал математики , 78 (4): 797–807, doi : 10.2307/2372469 , JSTOR   2372469 , MR   0082684
• Городков, Денис (2019), «15-вершинная триангуляция кватернионной проективной плоскости», Discrete & Computational Geometry , 62 (2): 348–373, arXiv : 1603.05541 , doi : 10.1007/s00454-018-00055-w
• Холл, Маршалл (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества , 54 (2), Американское математическое общество: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990331 , MR   0008892
• Хьюз, Д.; Пайпер, Ф. (1973), Проекционные плоскости , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Картези, Ф. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN  0-7204-2832-7
• Лам, Клемент WH (1991), «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi : 10.1080/00029890.1991.12000759 , JSTOR   2323798 , получено 2021-11-02
• Линднер, Чарльз К.; Роджер, Кристофер А., ред. (31 октября 1997 г.), Теория дизайна (2-е изд.), CRC Press, ISBN  0-8493-3986-3
• Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN  0-387-09614-0
• Моултон, Форест Рэй (1902), «Простая недесаргова плоская геометрия», Труды Американского математического общества , 3 (2): 192–195, doi : 10.2307/1986419 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1986419
• Комната, ТГ ; Киркпатрик, П.Б. (1971), Геометрия миникватернионов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-07926-8
• Шафаревич, И.Р. (1994), Основная алгебраическая геометрия , Springer-Verlag, ISBN  0-387-54812-2
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN  0-7167-0443-9
• Вайнтрауб, Стивен Х. (1978), «Групповые действия на гомологических кватернионных проективных плоскостях», Труды Американского математического общества , 70 : 75–82, doi : 10.2307/2042588

Внешние ссылки

• Дж. Эрик Мурхаус, Проекционные плоскости малого порядка , (2003)
• Ч. Вейбель: Обзор недезарговых плоскостей
• Вайсштейн, Эрик В. , «Проективная плоскость» , MathWorld.
• «Проективная плоскость» в PlanetMath .