Гладкая проективная плоскость

В геометрии . гладкие проективные плоскости это специальные проективные плоскости — Наиболее ярким примером гладкой проективной плоскости является настоящая проективная плоскость. ${\mathcal {E}}$ . Его геометрические операции соединения двух различных точек линией и пересечения двух прямых в точке не только непрерывны, но даже гладки (бесконечно дифференцируемы). $=C^{\infty }$ ). Точно так же классические плоскости над комплексными числами , кватернионами и октонионами являются гладкими плоскостями. Однако это не единственные подобные самолеты.

Определение и основные свойства

Гладкая проективная плоскость ${\mathcal {P}}=(P,{\mathfrak {L}})$ состоит из точечного пространства $P$ и строковое пространство ${\mathfrak {L}}$ которые являются гладкими многообразиями и в которых обе геометрические операции соединения и пересечения гладкие.

Геометрические операции с гладкими плоскостями непрерывны; следовательно, каждая гладкая плоскость является компактной топологической плоскостью. ^[1] Гладкие плоскости существуют только с точечными пространствами размерности 2. ^м где $1\leq m\leq 4$ , поскольку это верно для компактных связных проективных топологических плоскостей. ^[2]^[3] Эти четыре случая будут рассмотрены отдельно ниже.

Теорема. Точечное многообразие гладкой проективной плоскости гомеоморфно своему классическому аналогу, как и линейное многообразие . ^[4]

Автоморфизмы

Автоморфизмы играют решающую роль в изучении гладких плоскостей. Биекция множества точек проективной плоскости называется коллинеацией , если она отображает прямые на прямые. Непрерывные коллинеации компактной проективной плоскости ${\mathcal {P}}$ сформировать группу $\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ . Эта группа взята с топологией равномерной сходимости . У нас есть: ^[5]

Теорема. Если ${\mathcal {P}}=(P,{\mathfrak {L}})$ — гладкая плоскость, то каждая непрерывная коллинеация ${\mathcal {P}}$ является гладким ; другими словами, группа автоморфизмов гладкой плоскости ${\mathcal {P}}$ совпадает с $\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ . Более того, $\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ является гладкой группой преобразований Ли $P$ и из ${\mathfrak {L}}$ .

Группы автоморфизмов четырех классических плоскостей являются простыми группами Ли размерности 8, 16, 35 или 78 соответственно. Все остальные гладкие плоскости имеют гораздо меньшие группы. См. ниже.

Плоскости перевода

Проективная плоскость называется плоскость перевода , если ее группа автоморфизмов имеет подгруппу, фиксирующую каждую точку на некоторой прямой. $W$ и действует резко транзитивно на множестве точек, а не на $W$ .

Теорема. Каждая гладкая проективная плоскость перевода ${\mathcal {P}}$ изоморфна одной из четырех классических плоскостей . ^[6]

Это показывает, что существует множество компактных связных топологических проективных плоскостей, которые не являются гладкими. С другой стороны, следующая конструкция дает вещественные аналитические недезарговы плоскости размерности 2, 4 и 8 с компактной группой автоморфизмов размерности 1, 4 и 13 соответственно: ^[7] представляют точки и линии обычным способом с помощью однородных координат над действительными или комплексными числами или кватернионов , скажем, векторами длины $1$ . Тогда инцидентность точки $(x,y,z)$ и линия $(a,b,c)$ определяется $ax+by+cz=t|c|^{2}|z|^{2}cz$ , где $t$ — фиксированный действительный параметр такой, что $|t|<1/9$ . Эти планы самодвойственны.

2-мерные плоскости

Компактные двумерные проективные плоскости можно описать следующим образом: точечное пространство представляет собой компактную поверхность. $S$ , каждая линия представляет собой кривую Жордана в $S$ (замкнутое подмножество, гомеоморфное окружности), и любые две различные точки соединяются единственной линией. Затем $S$ гомеоморфно точечному пространству вещественной плоскости ${\mathcal {E}}$ любые две различные прямые пересекаются в единственной точке, и геометрические операции непрерывны (примените Зальцманн и др., 1995 , §31 к дополнению прямой). Знакомое семейство примеров было дано Моултон в 1902 году. ^[8]^[9] Эти плоскости характеризуются тем, что имеют 4-мерную группу автоморфизмов. Они не изоморфны гладкой плоскости. ^[10] В более общем смысле, все неклассические компактные двумерные плоскости. ${\mathcal {P}}$ такой, что $\dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\geq 3$ известны явно; ни один из них не является гладким:

Теорема. Если ${\mathcal {P}}$ является гладкой двумерной плоскостью, и если $\dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\geq 3$ , затем ${\mathcal {P}}$ это классическая реальная плоскость ${\mathcal {E}}$ . ^[11]

4-мерные плоскости

Все компактные самолеты ${\mathcal {P}}$ с 4-мерным точечным пространством и $\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\geq 7$ были засекречены. ^[12] С точностью до двойственности они либо являются плоскостями трансляции, либо изоморфны единственной так называемой плоскости сдвига. ^[13] Согласно Бёди (1996 , гл. 10), эта плоскость сдвига не является гладкой. Следовательно, результат на плоскостях трансляции означает:

Теорема. Гладкая четырехмерная плоскость изоморфна классической комплексной плоскости, или $\dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\leq 6$ . ^[14]

8-мерные плоскости

Компактные 8-мерные топологические плоскости ${\mathcal {P}}$ обсуждались Salzmann et al. (1995 , Глава 8) и, совсем недавно, у Зальцмана (2014) . Помещать $\Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ . Или ${\mathcal {P}}$ — классическая плоскость кватернионов или $\dim \Sigma \leq 18$ . Если $\dim \Sigma \geq 17$ , затем ${\mathcal {P}}$ является плоскостью перевода, или плоскостью двойного перевода, или плоскостью Хьюза. ^[15] Последнюю можно охарактеризовать следующим образом: $\Sigma$ оставляет некоторую классическую комплексную подплоскость ${\mathcal {C}}$ инвариантен и индуцирует ${\mathcal {C}}$ связная компонента его полной группы автоморфизмов. ^[16]^[17] Плоскости Хьюза не являются гладкими. ^[18]^[19] Это дает результат, аналогичный случаю 4-мерных плоскостей:

Теорема. Если ${\mathcal {P}}$ — гладкая восьмимерная плоскость, то ${\mathcal {P}}$ — классическая плоскость кватернионов или $\dim \Sigma \leq 16$ .

16-мерные плоскости

Позволять $\Sigma$ обозначают группу автоморфизмов компактной 16-мерной топологической проективной плоскости ${\mathcal {P}}$ . Или ${\mathcal {P}}$ – гладкая классическая плоскость октониона или $\dim \Sigma \leq 40$ . Если $\dim \Sigma =40$ , затем $\Sigma$ исправляет строку $W$ и точка $v\in W$ , и аффинная плоскость ${\mathcal {P}}\smallsetminus W$ и его двойник — плоскости перевода. ^[20] Если $\dim \Sigma =39$ , затем $\Sigma$ также исправляет пару инцидентных точек и линий, но ни ${\mathcal {P}}$ ни $\Sigma$ известны явно. Тем не менее, ни одна из этих плоскостей не может быть гладкой: ^[21]^[22]^[23]

Теорема. Если ${\mathcal {P}}$ является 16-мерной гладкой проективной плоскостью, то ${\mathcal {P}}$ – классическая плоскость октониона или $\dim \Sigma \leq 38$ .

Основная теорема

Последние четыре результата в совокупности дают следующую теорему:

Если $c_{m}$ является наибольшим значением $\dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ , где ${\mathcal {P}}$ является неклассическим компактом 2 ^м-мерная топологическая проективная плоскость, тогда $\dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\leq c_{m}-2$ в любое время ${\mathcal {P}}$ даже гладко.

Сложные аналитические плоскости

Условие того, что геометрические операции на проективной плоскости являются комплексно-аналитическими, очень ограничительно. Фактически оно выполняется только в классической комплексной плоскости. ^[24]^[25]

Теорема. Всякая комплексная аналитическая проективная плоскость изоморфна как аналитическая плоскость комплексной плоскости со своей стандартной аналитической структурой .

Примечания

^ Зальцманн и др. 1995 , 42,4
^ Лёвен, Р. (1983), «Топология и размерность стабильных плоскостей: по гипотезе Х. Фрейденталя», Ж. Рейн Ангью. Математика. , 343 : 108–122
^ Зальцманн и др. 1995 , 54.11
^ Крамер, Л. (1994), "Топология гладких проективных плоскостей", Arch. Математика. , 63 : 85–91, doi : 10.1007/bf01196303 , S2CID 15480568
^ Бёди, Р. (1998), "Коллинеации гладких устойчивых плоскостей" , Forum Math. , 10 (6): 751–773, doi : 10.1515/form.10.6.751 , hdl : 11475/3260 , S2CID 54504153
^ Отте, Дж. (1995), "Гладкие проективные плоскости перемещения", Geom. Dedicata , 58 (2): 203–212, doi : 10.1007/bf01265639 , S2CID 120238728
^ Иммерволл, С. (2003), "Вещественные аналитические проективные плоскости с большими группами автоморфизмов", Adv. Геом. , 3 (2): 163–176, doi : 10.1515/advg.2003.011
^ Моултон, Франция (1902), «Простая недесаргова плоская геометрия», Trans. амер. Математика. Соц. , 3 (2): 192–195, doi : 10.1090/s0002-9947-1902-1500595-3
^ Зальцманн и др. 1995 , §34
^ Двумерные дифференцируемые проективные плоскости Arch » Беттен , Д. ( ) . « , 1971 ,
^ Боди 1996 , (9.1)
^ Зальцманн и др. 1995 , 74,27
^ Зальцманн и др. 1995 , §74
^ Бёди 1996 , (10.11)
↑ Зальцманн, 2014 г. , 1 октября.
^ Зальцманн и др. 1995 , §86
^ Зальцманн, Х. (2003), «Подплоскости Бэра», Иллинойс, J. Math. , 47 (1–2): 485–513, doi : 10.1215/ijm/1258488168 3.19
^ Бёди, Р. (1999), «Гладкие плоскости Хьюза являются классическими», Arch. Математика. , 73 : 73–80, doi : 10.1007/s000130050022 , hdl : 11475/3229 , S2CID 120222293
^ Зальцманн 2014 , 9.17
^ Зальцманн и др. 1995 , 87,7
^ Бёди 1996 , Глава. 12
^ Бёди, Р. (1998), "16-мерные гладкие проективные плоскости с большими группами коллинеации" , Геом. Dedicata , 72 (3): 283–298, doi : 10.1023/A:1005020223604 , hdl : 11475/3238 , S2CID 56094550
^ Salzmann 2014 , 9.18, набросок доказательства.
^ Брайтпрах, С. (1967), «Единственность вещественной и комплексной проективной плоскости», Math. Z. , 99 (5): 429–432, doi : 10.1007/bf01111021 , S2CID 120984088 .
^ Зальцманн и др. 1995 , 75,1

Ссылки

Бёди, Р. (1996), «Гладкие устойчивые и проективные плоскости» , диссертация, Тюбинген.
Зальцманн, Х.; Беттен, Д.; Грундхёфер, Т.; Хель, Х.; Лёвен, Р.; Строппель, М. (1995), Компактные проективные плоскости , В. де Грюйтер
Зальцманн, Х. (2014), Компактные плоскости, в основном 8-мерные. Ретроспектива , arXiv : 1402.0304 , Bibcode : 2014arXiv1402.0304S .

[1] Зальцманн и др. 1995 , 42,4

[2] Лёвен, Р. (1983), «Топология и размерность стабильных плоскостей: по гипотезе Х. Фрейденталя», Ж. Рейн Ангью. Математика. , 343 : 108–122

[3] Зальцманн и др. 1995 , 54.11

[4] Крамер, Л. (1994), "Топология гладких проективных плоскостей", Arch. Математика. , 63 : 85–91, doi : 10.1007/bf01196303 , S2CID 15480568

[5] Бёди, Р. (1998), "Коллинеации гладких устойчивых плоскостей" , Forum Math. , 10 (6): 751–773, doi : 10.1515/form.10.6.751 , hdl : 11475/3260 , S2CID 54504153

[6] Отте, Дж. (1995), "Гладкие проективные плоскости перемещения", Geom. Dedicata , 58 (2): 203–212, doi : 10.1007/bf01265639 , S2CID 120238728

[7] Иммерволл, С. (2003), "Вещественные аналитические проективные плоскости с большими группами автоморфизмов", Adv. Геом. , 3 (2): 163–176, doi : 10.1515/advg.2003.011

[8] Моултон, Франция (1902), «Простая недесаргова плоская геометрия», Trans. амер. Математика. Соц. , 3 (2): 192–195, doi : 10.1090/s0002-9947-1902-1500595-3

[9] Зальцманн и др. 1995 , §34

[10] Двумерные дифференцируемые проективные плоскости Arch » Беттен , Д. ( ) . « , 1971 ,

[11] Боди 1996 , (9.1)

[12] Зальцманн и др. 1995 , 74,27

[13] Зальцманн и др. 1995 , §74

[14] Бёди 1996 , (10.11)

[15] Зальцманн, 2014 г. , 1 октября.

[16] Зальцманн и др. 1995 , §86

[17] Зальцманн, Х. (2003), «Подплоскости Бэра», Иллинойс, J. Math. , 47 (1–2): 485–513, doi : 10.1215/ijm/1258488168 3.19

[18] Бёди, Р. (1999), «Гладкие плоскости Хьюза являются классическими», Arch. Математика. , 73 : 73–80, doi : 10.1007/s000130050022 , hdl : 11475/3229 , S2CID 120222293

[19] Зальцманн 2014 , 9.17

[20] Зальцманн и др. 1995 , 87,7

[21] Бёди 1996 , Глава. 12

[22] Бёди, Р. (1998), "16-мерные гладкие проективные плоскости с большими группами коллинеации" , Геом. Dedicata , 72 (3): 283–298, doi : 10.1023/A:1005020223604 , hdl : 11475/3238 , S2CID 56094550

[23] Salzmann 2014 , 9.18, набросок доказательства.

[24] Брайтпрах, С. (1967), «Единственность вещественной и комплексной проективной плоскости», Math. Z. , 99 (5): 429–432, doi : 10.1007/bf01111021 , S2CID 120984088 .

[25] Зальцманн и др. 1995 , 75,1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]