Самолет перевода

В математике плоскость трансляции — это проективная плоскость , допускающая определенную группу симметрий (описанную ниже). Наряду с плоскостями Хьюза и плоскостями Фигероа , плоскости перемещения являются одними из наиболее хорошо изученных из известных недесарговых плоскостей , и подавляющее большинство известных недесарговых плоскостей являются либо плоскостями перемещения, либо могут быть получены из плоскости перемещения. посредством последовательных итераций дуализации и/или вывода .

Пусть на проективной плоскости P представляет точку, а l представляет собой линию. Центральная коллинеация с центром P и осью l — это коллинеация, каждую точку на l и каждую прямую, проходящую через P. фиксирующая Оно называется элацией , если P принадлежит l , в противном случае оно называется гомологией . Центральные коллинеации с центром P и осью l образуют группу. Прямая l в проективной плоскости Π является линией сдвига , если группа всех уравнений с осью l действует транзитивно на точках аффинной плоскости, полученной удалением l из плоскости Π , Π _l (аффинной производной Π ). Проективная плоскость с линией переноса называется плоскостью переноса.

Аффинная плоскость, полученная удалением линии трансляции, называется аффинной плоскостью трансляции. Хотя с проективными плоскостями работать зачастую проще, в этом контексте некоторые авторы используют термин «плоскость перевода» для обозначения аффинной плоскости перевода.

Алгебраическая конструкция с координатами

Любая проективная плоскость может быть координирована хотя бы одним плоским тройным кольцом . Для плоскостей перевода всегда можно согласовать квазиполе . Однако некоторые квазиполя обладают дополнительными алгебраическими свойствами, а соответствующие плоские тройные кольца координируют плоскости переноса, допускающие дополнительные симметрии. Некоторые из этих специальных классов:

• Плоскости ближнего поля — координируются ближним полем .
• Полуполевые плоскости — координируемые полуполями , полуполевые плоскости обладают тем свойством, что их двойственная плоскость также является плоскостью переноса.
• Плоскости Муфанг — координируемые альтернативными телами . Плоскости Муфанг — это именно те плоскости перевода, которые имеют как минимум две линии перевода. Каждая конечная плоскость Муфанга является дезарговой , и каждая дезаргова плоскость является плоскостью Муфанга, но существуют бесконечные плоскости Муфанга, которые не являются дезарговыми (например, плоскость Кэли ).

Учитывая квазиполе с операциями + (сложение) и $\cdot$ (умножение), можно определить плоское тройное кольцо для создания координат плоскости перемещения. Однако более типично создавать аффинную плоскость непосредственно из квазиполя, определяя точки как пары. $(a,b)$ где $a$ и $b$ — элементы квазиполя, а линии — множества точек $(x,y)$ удовлетворяющее уравнению вида $y=m\cdot x+b$ , как $m$ и $b$ изменяются по элементам квазиполя вместе с множествами точек $(x,y)$ удовлетворяющее уравнению вида $x=a$ , как $a$ меняется по элементам квазиполя.

Геометрическая конструкция со спредами (Bruck/Bose)

Плоскости трансляции связаны с расширениями нечетномерных проективных пространств с помощью конструкции Брука-Бозе. Разброс ( PG 2 n +1, K ) , где $n\geq 1$ — целое число, а K — тело, — разбиение пространства на попарно непересекающиеся n -мерные подпространства. В конечном случае разброс PG(2 n +1, q ) представляет собой набор q ^{п +1} + 1 n -мерных подпространств, без двух пересекающихся.

Учитывая распространение S PG (2 n +1, K ) , конструкция Брука-Бозе создает плоскость перемещения следующим образом: Вставьте PG(2 n +1, K ) как гиперплоскость. $\Sigma$ PG ( 2n +2, K ) . Определите структуру инцидентности A ( S ) с «точками», точками PG(2 n +2, K ), не лежащими на $\Sigma$ и «выравнивает» ( n +1) -мерные подпространства PG(2 n +2, K ), встречающиеся $\Sigma$ в элементе S . Тогда A ( S ) — аффинная плоскость трансляции. В конечном случае эта процедура создает плоскость сдвига порядка q ^{п +1} .

Обратное утверждение почти всегда верно. Любая плоскость трансляции, координируемая квазиполем, конечномерным над своим ядром K ( K обязательно является телом ), может быть сгенерирована из расширения PG(2 n +1, K ) с использованием конструкции Брука-Бозе, где ( n +1) — размерность квазиполя, рассматриваемого как модуль над своим ядром. Мгновенным следствием этого результата является то, что из этой конструкции можно получить любую конечную плоскость сдвига.

Алгебраическая конструкция со спредами (Андре)

Андре дал более раннее алгебраическое представление (аффинных) плоскостей сдвига, которое по сути такое же, как у Брука/Бозе. Пусть V — 2n - мерное векторное над полем F. пространство Распространение - это V , которые набор S n -мерных подпространств V разделяют ненулевые векторы V . Члены S называются компонентами разворота, и если V _то j — _разные компоненты, Vi _⊕ V Vi _j = V. и Пусть A — структура инцидентности, точки которой — векторы V смежные классы компонентов, то есть множества вида v + U , где v — вектор V , а U — компонент распространения S. , а линии — Затем:

A — аффинная плоскость, а группа сдвигов x → x + w для w в V — группа автоморфизмов, регулярно действующих в точках этой плоскости.

Конечный случай

Пусть F = GF( ) = F _q , конечное поле порядка q и V 2 q n -мерное векторное пространство над F, представленное как:

$V=\{(x,y)\colon x,y\in F^{n}\}.$

Пусть M ₀ , M ₁ , ..., M _{q ^н - 1 —} матрицы размера n × n над F, обладающие тем свойством, что – _Mi M j _{невырождена} всякий раз, когда i ≠ j . Для i = 0, 1, ..., q ^н – 1 определение,

$V_{i}=\{(x,xM_{i})\colon x\in F^{n}\},$

обычно называемые подпространствами « y = xM _i ». Также определите:

$V_{q^{n}}=\{(0,y)\colon y\in F^{n}\},$

подпространство « x = 0 ».

Набор { V ₀ , V ₁ , ..., V _{q ^н} — это распространение V. }

Набор матриц M _i, используемый в этой конструкции, называется расширенным набором , и этот набор матриц можно использовать непосредственно в проективном пространстве. $PG(2n-1,q)$ для создания разброса в геометрическом смысле.

Регули и обычные спреды

Основная статья: Спреды

Позволять $\Sigma$ — проективное пространство PG(2 n +1, K ) для $n\geq 1$ целое число, а K - тело. Регулус ​ Р в $\Sigma$ представляет собой совокупность попарно непересекающихся n -мерных подпространств со следующими свойствами:

1. R содержит не менее 3 элементов
2. Каждая линия, встречающая три элемента R , называемая трансверсалью , соответствует каждому элементу R.
3. Каждая точка трансверсали к R лежит на некотором элементе R

Любые три попарно непересекающихся n -мерных подпространства в $\Sigma$ лежат в единственном регулире. Распространение S ​ $\Sigma$ регулярно, если для любых трёх различных - мерных подпространств S все члены определяемого ими единственного регула содержатся в S. n Для любого тела K с более чем двумя элементами, если распространение S PG (2 n +1, K ) является регулярным, то плоскость трансляции, созданная этим распространением посредством конструкции Андре/Брука-Бозе, является плоскостью Муфанга . Справедливо несколько более слабое обратное: если плоскость трансляции является папповской , то ее можно сгенерировать с помощью конструкции Андре/Брука-Бозе из регулярного разворота.

В конечном случае K должно быть полем порядка $q>2$, а классы плоскостей Муфанга, Дезарга и Паппа идентичны, поэтому эту теорему можно уточнить, заявив, что распространение S PG (2 n +1, q ) является регулярным тогда и только тогда, когда плоскость перемещения, созданная этим распространением через конструкцию Андре/Брука-Бозе является дезарговой .

В случае, когда K — поле $GF(2)$, все разбросы PG(2 n +1, 2) тривиально регулярны, поскольку регуляр содержит только три элемента. Хотя единственной плоскостью трансляции 8-го порядка является дезаргова, известны и недесарговы плоскости трансляции 2- го порядка. ^и для каждого целого числа $e\geq 4$.

Семейства недесарговых плоскостей трансляции

• Плоскости зала — построены с помощью Bruck/Bose из обычного набора $PG(3,q)$ где один Регул был заменен набором поперечных линий к этому Регулу (называемый противоположным Регулом ).
• Субрегулярные плоскости — построены с помощью Брука/Бозе из регулярного разброса $PG(3,q)$ где набор попарно непересекающихся правил был заменен противоположными им правилами.
• Андре самолеты
• Самолеты ближнего поля
• Полупольные самолеты

Конечные плоскости трансляции малого порядка

Хорошо известно, что единственные проективные плоскости порядка 8 и ниже являются дезарговыми, а недезарговых плоскостей простого порядка не существует. Конечные плоскости перемещения должны иметь простой степенной порядок. Существует четыре проективные плоскости 9-го порядка, из которых две являются плоскостями трансляции: плоскостью Дезарга и плоскостью Холла . В следующей таблице подробно описан текущий уровень знаний:

Заказ	Число недесарговых Плоскости перевода
9	1
16	7
25	20
27	6
32	≥8
49	1346
64	≥2833

Ссылки

• Андре, Йоханнес (1954), «О недесарговых плоскостях с транзитивной группой трансляции» , Mathematical Journal , 60 : 156–186, doi : 10.1007/BF01187370 , ISSN   0025-5874 , MR   0063056 , S2CID   123661471
• Болл, Симеон; Джон Бамберг; Мишель Лаврау; Тим Пенттила (15 сентября 2003 г.), Симплектические спреды (PDF) , Политехнический университет Каталонии , получено 8 октября 2008 г.
• Брук, Р.Х. (1969), Р.К.Боз и Т.А. Даулинг (ред.), «Проблемы построения конечных проективных плоскостей», Комбинаторная математика и ее приложения , Univ. из North Carolina Press, стр. 426–514.
• Брук, Р.Х. ; Бозе, Р.К. (1966), «Линейные представления проективных плоскостей в проективных пространствах» (PDF) , Journal of Algebra , 4 : 117–172, doi : 10.1016/0021-8693(66)90054-8
• Брук, Р.Х. ; Бозе, Р.К. (1964), «Построение плоскостей трансляции из проективных пространств» (PDF) , Journal of Algebra , 1 : 85–102, doi : 10.1016/0021-8693(64)90010-9
• Червински, Терри; Окден, Дэвид (1992). «Самолеты перевода двадцать пятого порядка». Журнал комбинаторной теории, серия А. 59 (2): 193–217. дои : 10.1016/0097-3165(92)90065-3 .
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Демпвольф, У. (1994). «Перевод самолетов порядка 27» . Проекты, коды и криптография . 4 (2): 105–121. дои : 10.1007/BF01578865 . ISSN   0925-1022 . S2CID   12524473 .
• Довер, Джереми М. (27 февраля 2019 г.). «Генеалогия плоскостей трансляции 25-го порядка». arXiv : 1902.07838 [ math.CO ].
• Холл, Маршалл (1943), «Проекционные плоскости» (PDF) , Пер. амер. Математика. Соц. , 54 (2): 229–277, номер документа : 10.2307/1990331 , JSTOR   1990331.
• Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проекционные плоскости , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Джонсон, Норман Л.; Джа, Викрам; Билиотти, Мауро (2007), Справочник по конечным плоскостям перемещения , Chapman&Hall/CRC, ISBN  978-1-58488-605-1
• Кнут, Дональд Э. (1965), «Класс проективных плоскостей» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 115 : 541–549, doi : 10.2307/1994285 , JSTOR   1994285
• Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN  0-387-09614-0
• Матон, Рудольф; Ройл, Гордон Ф. (1995). «Переводные самолеты порядка 49» . Проекты, коды и криптография . 5 (1): 57–72. дои : 10.1007/BF01388504 . ISSN   0925-1022 . S2CID   1925628 .
• Маккей, Брендан Д.; Ройл, Гордон Ф. (2014). «В PG(3,8) 2834 разворота строк». arXiv : 1404.1643 [ math.CO ].
• Мурхаус, Эрик (2007), Геометрия заболеваемости (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 г.
• Райфарт, Артур (1984). «Классификация плоскостей перевода 16, II порядка » Специальная геометрия . 17 (1). дои : 10.1007/BF00181513 . ISSN   0046-5755 . S2CID   121935740 .
• Шерк, ФА; Пабст, Гюнтер (1977), «Наборы индикаторов, правила и новый класс спредов» (PDF) , Canadian Journal of Mathematics , 29 (1): 132–54, doi : 10.4153/CJM-1977-013-6 , S2CID   124215765

Дальнейшее чтение

• Мауро Билиотти, Викрам Джа, Норман Л. Джонсон (2001) Основы плоскостей перемещения , Марсель Деккер ISBN   0-8247-0609-9 .

Внешние ссылки

• Конспект лекций по проективной геометрии
• Публикации Кита Меллинджера