Квазиполе

В математике квазиполе . — это алгебраическая структура $(Q,+,\cdot )$ где $+$ и $\cdot$ это бинарные операции над $Q$ , очень похоже на разделительное кольцо , но с некоторыми более слабыми условиями. Все тела и, следовательно, все поля являются квазиполями.

Определение [ править ]

Квазиполе $(Q,+,\cdot )$ представляет собой структуру, в которой $+$ и $\cdot$ это бинарные операции над $Q$ , удовлетворяющий этим аксиомам:

$(Q,+)$ это группа
$(Q_{0},\cdot )$ представляет собой цикл , где $Q_{0}=Q\setminus \{0\}\,$
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c\in Q$ (левая дистрибутивность )
$a\cdot x=b\cdot x+c$ имеет ровно одно решение для $x$ , $\forall a,b,c\in Q,a\neq b$

Строго говоря, это определение левого квазиполя. Правое . квазиполе определяется аналогично, но вместо этого удовлетворяет правой дистрибутивности Квазиполе, удовлетворяющее обоим законам распределения, называется полуполем в том смысле, в котором этот термин используется в проективной геометрии .

Хотя это и не предполагается, можно доказать, что из аксиом следует, что аддитивная группа $(Q,+)$ является абелевым . Таким образом, говоря об абелевом квазиполе , подразумевают, что $(Q_{0},\cdot )$ является абелевым.

Ядро [ править ]

Ядро $K$ квазиполя $Q$ это совокупность всех элементов $c$ такой, что:

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \forall a,b\in Q$
$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q$

Ограничение бинарных операций $+$ и $\cdot$ к $K$ , можно показать, что $(K,+,\cdot )$ является разделительным кольцом .

Теперь можно создать векторное пространство из $Q$ над $K$ , со следующим скалярным умножением: $v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K$

Поскольку конечное тело является конечным полем по теореме Веддерберна , порядок ядра конечного квазиполя является простой степенью . Из конструкции векторного пространства следует, что порядок любого конечного квазиполя также должен быть степенью простого числа.

Примеры [ править ]

Все тела и, следовательно, все поля являются квазиполями.

(Правое) ближнее поле , которое является (правым) квазиполем, называется «плоским ближним полем».

Наименьшие квазиполя абелевы и уникальны. Это конечные поля порядков до восьми включительно. Наименьшими квазиполями, не являющимися телами, являются четыре неабелевых квазиполя девятого порядка; они представлены в Hall (1959) и Weibel (2007) .

Проекционные плоскости [ править ]

Учитывая квазиполе $Q$ , мы определяем троичное отображение $T\colon Q\times Q\times Q\to Q$ к

T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q

Тогда можно будет убедиться в том, что $(Q,T)$ удовлетворяет аксиомам плоского тройного кольца . Связан с $(Q,T)$ — соответствующая ему проективная плоскость . Построенные таким образом проективные плоскости характеризуются следующим образом;подробности этих отношений приведены у Холла (1959) . Проективная плоскость является плоскостью переноса относительно бесконечной прямой тогда и только тогда, когда любое (или все) из связанных с ней плоских тройных колец являются правыми квазиполями. Она называется плоскостью сдвига , если любое (или все) ее тройное кольцо является левым квазиполем.

Плоскость не определяет кольцо однозначно; все 4 неабелевых квазиполя 9-го порядка являются тройными кольцами для единственной недесарговой плоскости сдвига 9-го порядка. Они различаются фундаментальным четырехугольником, используемым для построения плоскости (см. Weibel 2007).

История [ править ]

До 1975 г. квазиполя в литературе назывались «системами Веблена–Веддерберна», поскольку впервые они были изучены вСтатья 1907 года (Веблен-Веддерберн 1907) О. Веблена и Дж. Веддерберна . Обзоры квазиполей и их приложений к проективным плоскостям можно найти в Холле (1959) и Вейбеле (2007) .

Ссылки [ править ]

Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215 .
Веблен, О.; Веддерберн, Дж. Х. М. (1907), «Недесарговы и непаскалевские геометрии» , Труды Американского математического общества , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR 1988781
Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недесарговых самолетов» , Уведомления AMS , 54 (10): 1294–1303.

См. также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Квазиполя Хауке Кляйна.