Полузащита
| Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
|---|
![{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7b4e5c999e46c7614c3264b1d80708f4363433)
В математике полуполе — это алгебраическая структура с двумя двоичными операциями , сложением и умножением, которая похожа на поле , но с некоторыми смягченными аксиомами.
Обзор [ править ]
Термин полуполе имеет два противоречивых значения, оба из которых включают поля как особый случай.
- В проективной геометрии и конечной геометрии ( MSC 51A, 51E, 12K10) полуполе представляет собой неассоциативное тело с мультипликативным единичным элементом. [1] Точнее, это неассоциативное кольцо , ненулевые элементы которого при умножении образуют петлю . Другими словами, полуполе — это множество S с двумя операциями + (сложение) и · (умножение), такое что
- ( S ,+) — абелева группа ,
- умножение распределительно как слева, так и справа,
- существует мультипликативный единичный элемент и
- деление всегда возможно: для каждого a и каждого ненулевого b в S существуют единственные x и y в S, для которых b · x = a и y · b = a .
- Обратите внимание, в частности, что умножение не предполагается коммутативным или ассоциативным . Ассоциативное полуполе — тело , а полуполе, одновременно ассоциативное и коммутативное, — поле . Полуполе по этому определению является частным случаем квазиполя . Если S конечно, последнюю аксиому в приведенном выше определении можно заменить предположением об отсутствии делителей нуля , так что из a ⋅ b = 0 следует, что a = 0 или b = 0. [2] Обратите внимание, что из-за отсутствия ассоциативности последняя аксиома не эквивалентна предположению, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, как это обычно встречается в определениях полей и тел.
- В теории колец , комбинаторике , функциональном анализе и теоретической информатике ( MSC 16Y60) полуполе — это полукольцо ( S ,+,·), в котором все ненулевые элементы имеют мультипликативный обратный. [3] [4] Эти объекты еще называют собственными полуполями . Вариант этого определения возникает, если S содержит поглощающий нуль, отличный от мультипликативной единицы e , требуется, чтобы ненулевые элементы были обратимыми и a ·0 = 0 · a = 0. Поскольку умножение ассоциативно , (ненулевые) элементы полутела образуют группу . Однако пара ( S ,+) является всего лишь полугруппой , т.е. аддитивная обратная не обязательно должна существовать, или, в просторечии, «нет вычитания». Иногда не предполагается, что умножение ассоциативно.
Примитивность полуполей [ править ]
Полуполе D называется правым (соответственно левым) примитивным, если в нем есть элемент w такой, что множество ненулевых элементов поля D* равно множеству всех правых (соответственно левых) главных степеней поля w.
Примеры [ править ]
Мы приведем лишь примеры полуполей во втором смысле, т. е. аддитивные полугруппы с дистрибутивным умножением. Более того, в наших примерах сложение коммутативно, а умножение ассоциативно.
- Положительные рациональные числа при обычном сложении и умножении образуют коммутативное полуполе.
- Это может быть расширено поглощающим 0.
- Положительные действительные числа при обычном сложении и умножении образуют коммутативное полуполе.
- Его можно расширить поглощающим 0, образуя вероятностное полукольцо , которое изоморфно лог-полукольцу .
- Рациональные функции вида f / g , где f и g — многочлены над подполем действительных чисел от одной переменной с положительными коэффициентами, образуют коммутативное полуполе.
- Это можно расширить, включив 0.
- Действительные числа R можно рассматривать как полуполе, где сумма двух элементов определяется как их максимум, а произведение — как их обычная сумма; это полуполе более компактно обозначается ( R , max, +). Аналогично ( R , min, +) — полуполе. Их называют тропическим полукольцом .
- Это можно расширить на −∞ (поглощающий 0); это предел ( троппиализация ) бревенчатого полукольца при стремлении основания в бесконечность.
- Обобщая предыдущий пример, если ( A ,·,≤) — решеточно-упорядоченная группа , то ( A ,+,·) — аддитивно идемпотентное полуполе с суммой полуполей, определенной как супремум двух элементов. Обратно, любое аддитивно идемпотентное полуполе ( A ,+,·) определяет решеточно-упорядоченную группу ( A ,·,妻), где a ⩽ b тогда и только тогда, когда a + b = b .
- Логическое полуполе B = {0, 1} со сложением, определяемым логическим или , и умножением, определяемым логическим и .
См. также [ править ]
- Плоское тройное кольцо (первое чувство)
Ссылки [ править ]
- ^ Дональд Кнут , Конечные полуполя и проективные плоскости . Дж. Алгебра, 2, 1965, 182--217 MR 0175942 .
- ^ Ландквист, Э.Дж., «О неассоциативных кольцах деления и проективных плоскостях», Copyright 2000.
- ^ Голан, Джонатан С., Полукольца и их приложения . Обновленная и расширенная версия «Теории полуколец» с приложениями к математике и теоретической информатике (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR). 1163371 . Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1999. xii+381 стр. ISBN 0-7923-5786-8 МР 1746739 .
- ^ Хебиш, Удо; Вайнерт, Ханс Иоахим, Полукольца и полуполя . Справочник по алгебре, Том 1, 425–462, Северная Голландия, Амстердам, 1996. MR. 1421808 .