Логическое соединение
И | |
---|---|
![]() | |
Определение | |
Таблица истинности | |
Логический вентиль | ![]() |
Нормальные формы | |
Дизъюнктивный | |
соединительный | |
Полином Жегалкина | |
Решетки постовые | |
0-сохраняющий | да |
1-сохраняющий | да |
монотонный | нет |
Аффинный | нет |
Логические связки | ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||||||||||||||||||
Связанные понятия | ||||||||||||||||||||||
Приложения | ||||||||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||||||||
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Venn_0000_0001.svg/220px-Venn_0000_0001.svg.png)
В логике , математике и лингвистике , и ( ) — это истинно-функциональный оператор конъюнкции или логической конъюнкции . Логическая связка этого оператора обычно представляется как [1] или или (префикс) или или [2] в котором является наиболее современным и широко используемым.
Оператор «И» набора операндов истинен тогда и только тогда, когда все его операнды истинны, т. е. верно тогда и только тогда, когда это правда и правда.
Операндом конъюнкции является конъюнкт . [3]
Помимо логики, термин «соединение» также относится к аналогичным понятиям в других областях:
- В естественном языке обозначение английский таких выражений, как « и » ;
- В языках программирования — структура короткого замыкания и управления ;
- В теории множеств пересечение .
- В теории решеток — логическая конъюнкция ( наибольшая нижняя граница ).
Обозначения [ править ]
И обычно обозначается инфиксным оператором: в математике и логике он обозначается (Юникод U+2227 ∧ ЛОГИЧЕСКОЕ И ), [1] или ; в электронике, ; и в языках программирования, &
, &&
, или and
. В Яна Лукасевича префиксной записи логики оператор , для польского союза . [4]
Определение [ править ]
Логическое соединение — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух высказываний , которая дает значение «истина» тогда и только тогда, когда (также известное как iff) оба ее операнда истинны. [2] [1]
Конъюнктивное тождество истинно, то есть операция И с выражением со значением true никогда не изменит значение выражения. В соответствии с концепцией « пустой истины» , когда конъюнкция определяется как оператор или функция произвольной арности , пустая конъюнкция (команда «И» над пустым набором операндов) часто определяется как имеющая истинный результат.
Таблица истинности [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Variadic_logical_AND.svg/220px-Variadic_logical_AND.svg.png)
истинности Таблица : [1] [2]
Ф | Ф | Ф |
Ф | Т | Ф |
Т | Ф | Ф |
Т | Т | Т |
Определено другими операторами [ править ]
В системах, где логическое соединение не является примитивом, его можно определить как [5]
или
Правила введения и исключения [ править ]
Как правило, введение союза представляет собой классически допустимую и простую форму аргумента . Форма аргументации имеет две предпосылки: и . Интуитивно это позволяет сделать вывод об их соединении.
- ,
- .
- Следовательно А и Б. ,
или в записи логического оператора :
Вот пример аргумента, который соответствует введению союза формы :
- Боб любит яблоки.
- Боб любит апельсины.
- Следовательно, Боб любит яблоки, а Боб любит апельсины.
Устранение союза – еще одна классически допустимая и простая форма аргументации . Интуитивно это позволяет сделать вывод из любого соединения любого элемента этого соединения.
- и .
- Поэтому, .
...или альтернативно,
- и .
- Поэтому, .
В записи логического оператора :
...или альтернативно,
Отрицание [ править ]
Определение [ править ]
Союз оказывается ложным путем установления либо или . С точки зрения объектного языка это звучит так:
Эту формулу можно рассматривать как частный случай
когда это ложное предложение.
стратегии Другие доказательства
Если подразумевает , то оба а также докажите, что союз ложный:
Другими словами, ложность союза на самом деле можно доказать, просто зная об отношении его конъюнктов, и не обязательно об их истинностных значениях.
Эту формулу можно рассматривать как частный случай
когда это ложное предложение.
Любое из вышеперечисленных является конструктивно действительным доказательством от противного.
Свойства [ править ]
коммутативность : да
![]() |
![]() |
ассоциативность : да [6]
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
дистрибутивность : с различными операциями, особенно с или
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
другие |
---|
идемпотентность : да
![]() |
![]() |
![]() |
монотонность : да
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
сохранение правды: да
Когда все входные данные верны, выходные данные верны.
![]() |
![]() | |
(для проверки) |
сохранение ложности: да
Когда все входные данные ложны, выходной сигнал является ложным.
![]() |
![]() | |
(для проверки) |
Спектр Уолша : (1,-1,-1,1)
Нелинейность : 1 (функция изогнута )
Если использовать двоичные значения для истинного (1) и ложного (0), логическое соединение работает точно так же, как обычное арифметическое умножение .
Приложения в компьютерной технике [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/AND_Gate_diagram.svg/220px-AND_Gate_diagram.svg.png)
В компьютерном программировании высокого уровня и цифровой электронике логическое соединение обычно представляется инфиксным оператором, обычно в виде ключевого слова, такого как « AND
", алгебраическое умножение или символ амперсанда &
(иногда удваивается, как в &&
). Многие языки также предоставляют структуры управления коротким замыканием, соответствующие логическому соединению.
Логическое соединение часто используется для поразрядных операций, где 0
соответствует ложному и 1
к истине:
0 AND 0
=0
,0 AND 1
=0
,1 AND 0
=0
,1 AND 1
=1
.
Эту операцию также можно применить к двум двоичным словам , рассматриваемым как цепочки битов одинаковой длины, путем выполнения побитового И для каждой пары битов в соответствующих позициях. Например:
11000110 AND 10100011
=10000010
.
Это можно использовать для выбора части битовой строки с помощью битовой маски . Например, 10011101 AND 00001000
= 00001000
извлекает четвертый бит из 8-битной строки битов.
В компьютерных сетях битовые маски используются для получения сетевого адреса подсети внутри существующей сети из заданного IP-адреса путем объединения IP-адреса и маски подсети с помощью AND .
Логическое соединение» AND
" также используется в операциях SQL для формирования запросов к базе данных .
Соответствие Карри -Ховарда связывает логическое соединение с типами продуктов .
Теоретико-множественное соответствие [ править ]
Принадлежность элемента множества пересечений в теории множеств определяется в терминах логической конъюнкции: если и только если . Благодаря этому соответствию теоретико-множественное пересечение разделяет некоторые свойства с логическим соединением, такие как ассоциативность , коммутативность и идемпотентность .
Естественный язык [ править ]
Как и другие понятия, формализованные в математической логике, логический союз и связан с грамматическим союзом и в естественных языках, но не то же самое.
Английское «и» имеет свойства, не выраженные логическим союзом. Например, «и» иногда подразумевает порядок, имеющий смысл «тогда». Например, фраза «Они поженились и у них родился ребенок» в обиходе означает, что брак предшествовал появлению ребенка.
Слово «и» также может означать разделение вещи на части, например: «Американский флаг — красный, белый и синий». Здесь не имеется в виду, что флаг одновременно красный, белый и синий, а скорее, что в нем есть часть каждого цвета.
См. также [ править ]
- И-инверторный граф
- И ворота
- Побитовое И
- Булева алгебра
- Логический соединительный запрос
- Логический домен
- Булева функция
- Логическая функция
- Двойственность конъюнкции/дизъюнкции
- Устранение союза
- Союз (грамматика)
- Законы де Моргана
- Логика первого порядка
- Неравенства Фреше
- Список тем по булевой алгебре
- Логическая дизъюнкция
- Логический график
- Отрицание
- Операция
- Обозначение Пеано – Рассела
- Пропозициональное исчисление
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с д «2.2: Союзы и дизъюнкции» . Математика LibreTexts . 13 августа 2019 г. Проверено 2 сентября 2020 г.
- ^ Перейти обратно: а б с «Соединение, отрицание и дизъюнкция» . Философия.lander.edu . Проверено 2 сентября 2020 г.
- ^ Билл, Джеффри С. (2010). Логика: основы . Основы (1. изд.). Лондон: Рутледж. п. 17. ISBN 978-0-203-85155-5 .
- ^ Юзеф Мария Боченский (1959), Краткое изложение математической логики , перевод Отто Берда из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Южная Голландия: Д. Рейдель, passim.
- ^ Смит, Питер. «Типы системы доказательств» (PDF) . п. 4.
- ^ Хаусон, Колин (1997). Логика с деревьями: введение в символическую логику . Лондон; Нью-Йорк: Рутледж. п. 38. ISBN 978-0-415-13342-5 .
Внешние ссылки [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- «Соединение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Wolfram MathWorld: Соединение
- «Таблица свойств и истинности предложений И» . Архивировано из оригинала 6 мая 2017 года.