Теория колец

В алгебре теория колец — это изучение колец. ^[1]— алгебраические структуры , в которых определены сложение и умножение и которые имеют свойства, аналогичные тем операциям, которые определены для целых чисел . Теория колец изучает структуру колец, их представления или, на другом языке, модули , специальные классы колец ( групповые кольца , тела , универсальные обертывающие алгебры ), а также ряд свойств, которые оказались интересными как внутри сама теория и ее приложения, такие как гомологические свойства и полиномиальные тождества .

Коммутативные кольца изучены гораздо лучше, чем некоммутативные. Алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел , которые предоставляют множество естественных примеров коммутативных колец, во многом способствовали развитию коммутативной теории колец, которая теперь под названием коммутативная алгебра является основной областью современной математики. Поскольку эти три области (алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и коммутативная алгебра) настолько тесно связаны, обычно трудно и бессмысленно решить, к какой области принадлежит конкретный результат. Например, Nullstellensatz Гильберта — это фундаментальная теорема для алгебраической геометрии, которая формулируется и доказывается в терминах коммутативной алгебры. Точно так же Великая теорема Ферма формулируется в терминах элементарной арифметики , которая является частью коммутативной алгебры, но ее доказательство включает в себя глубокие результаты как алгебраической теории чисел, так и алгебраической геометрии.

Некоммутативные кольца совершенно разные по вкусу, поскольку может возникнуть более необычное поведение. Хотя теория развивалась сама по себе, довольно недавнее направление стремилось параллельно развитию коммутативности путем построения теории определенных классов некоммутативных колец геометрическим способом, как если бы они были кольцами функций на (несуществующих) «некоммутативных кольцах». пространства». Эта тенденция началась в 1980-х годах с развитием некоммутативной геометрии и открытием квантовых групп . Это привело к лучшему пониманию некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец . ^[2]

Определения кольца, основных понятий и их свойств см. в разделе « Кольцо (математика)» . Определения терминов, используемых в теории колец, можно найти в Глоссарии теории колец .

Коммутативные кольца [ править ]

Кольцо называется коммутативным, если его умножение коммутативно . Коммутативные кольца напоминают знакомые системы счисления, а различные определения коммутативных колец предназначены для формализации свойств целых чисел . Коммутативные кольца также важны в алгебраической геометрии . В коммутативной теории колец числа часто заменяются идеалами , а определение простого идеала пытается уловить суть простых чисел . Целочисленные области , нетривиальные коммутативные кольца, в которых никакие два ненулевых элемента не умножаются до нуля, обобщают другое свойство целых чисел и служат подходящей областью для изучения делимости. Области главных идеалов — это целые области, в которых каждый идеал может быть порожден одним элементом — еще одним свойством, общим для целых чисел. Евклидовы области — это целые области, в которых алгоритм Евклида может быть реализован . Важные примеры коммутативных колец можно построить как кольца многочленов и их факторкольца. Резюме: евклидова область ⊂ Область главного идеала ⊂ область уникальной факторизации ⊂ область целостности ⊂ коммутативное кольцо .

Алгебраическая геометрия [ править ]

Алгебраическая геометрия во многом является зеркальным отражением коммутативной алгебры. Это соответствие началось с Nullstellensatz Гильберта , который устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками алгебраического многообразия и максимальными идеалами его координатного кольца . Это соответствие было расширено и систематизировано для перевода (и доказательства) большинства геометрических свойств алгебраических многообразий в алгебраические свойства ассоциированных коммутативных колец. Александр Гротендик завершил это, представив схемы — обобщение алгебраических многообразий, которые можно построить из любого коммутативного кольца. Точнее, Спектр топологией коммутативного кольца — это пространство его простых идеалов, снабженное Зарисского и дополненное пучком колец . Этими объектами являются «аффинные схемы» (обобщение аффинных многообразий ), а общая схема получается тогда «склеиванием» (чисто алгебраическими методами) нескольких таких аффинных схем по аналогии со способом построения многообразие склеивания схем атласа . путем

Некоммутативные кольца [ править ]

напоминают кольца матриц Некоммутативные кольца во многом . Следуя модели алгебраической геометрии , недавно были предприняты попытки определить некоммутативную геометрию на основе некоммутативных колец. Некоммутативные кольца и ассоциативные алгебры (кольца, которые также являются векторными пространствами ) часто изучаются через категории модулей. Модуль поля над кольцом — это абелева группа , на которой кольцо действует как кольцо эндоморфизмов , что очень похоже на то, как ( области целостности, в которых каждый ненулевой элемент обратим) действуют на векторные пространства. Примерами некоммутативных колец являются кольца квадратных матриц или, в более общем плане, кольца эндоморфизмов абелевых групп или модулей, а также кольца моноидов .

Теория представлений [ править ]

Теория представлений — это раздел математики , который в значительной степени опирается на некоммутативные кольца. Он изучает абстрактные алгебраические структуры их , представляя элементы как линейные преобразования векторных пространств , и изучает модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. По сути, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы с помощью матриц и алгебраических операций в терминах сложения и умножения матриц , что не является коммутативным. К алгебраическим объектам, поддающимся такому описанию, относятся группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Наиболее известной из них (и исторически первой) является теория представлений групп , в которой элементы группы представляются обратимыми матрицами таким образом, что групповая операция представляет собой умножение матриц.

соответствующие теоремы Некоторые

Общий

Структурные теоремы

Теорема Артина – Веддерберна определяет структуру полупростых колец.
определяет Теорема плотности Джекобсона структуру примитивных колец.
Теорема Голди определяет структуру полупервичных колец Голди.
Теорема Зарисского–Самуэля определяет структуру коммутативного кольца главных идеалов.
Теорема Хопкинса –Левицкого дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы нётерово кольцо было артиновым.
Теория Морита состоит из теорем, определяющих, когда два кольца имеют «эквивалентные» категории модулей.
Теорема Картана – Брауэра – Хуа дает представление о структуре тел.
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что конечные области являются полями.

Другой

Теорема Скулема –Нётер характеризует автоморфизмы простых колец.

Структуры и инварианты колец [ править ]

Размерность коммутативного кольца [ править ]

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо. Размерность Крулля R . — это верхняя грань длин n всех цепочек простых идеалов ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ . Оказывается, кольцо многочленов $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ над полем k имеет размерность n . Фундаментальная теорема теории размерности утверждает, что для нётерового локального кольца совпадают следующие числа: $(R,{\mathfrak {m}})$ : ^[3]

Размерность Крулля R .
Минимальное количество генераторов ${\mathfrak {m}}$ -первичные идеалы.
Размер градуированного кольца $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ (эквивалентно 1 плюс степень его многочлена Гильберта ).

Коммутативное кольцо R называется цепным, если для любой пары простых идеалов ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ , существует конечная цепочка простых идеалов ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ который является максимальным в том смысле, что между двумя идеалами в цепи невозможно вставить дополнительный простой идеал, и все такие максимальные цепи между ${\mathfrak {p}}$ и ${\mathfrak {p}}'$ иметь одинаковую длину. Практически все нётеровы кольца, встречающиеся в приложениях, являются цепными. Рэтлифф доказал, что нётерова локальная область целостности R является цепной тогда и только тогда, когда для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ ,

\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}

где $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ это высота ${\mathfrak {p}}$ . ^[4]

Если R — область целостности, являющаяся конечно порожденной k -алгеброй, то ее размерность — это степень трансцендентности ее поля частных над k . Если S — целое расширение коммутативного кольца R , то S и R имеют одинаковую размерность.

Тесно связанными понятиями являются понятия глубины и глобального измерения . В общем, если — нётерово локальное кольцо, то глубина R меньше или равна размерности R. R Когда равенство выполняется, R называется кольцом Коэна–Маколея . Регулярное локальное кольцо является примером кольца Коэна – Маколея. Это теорема Серра, что R является регулярным локальным кольцом тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность и в этом случае глобальная размерность является размерностью Крулля кольца R . Значение этого состоит в том, что глобальное измерение является гомологическим понятием.

Эквивалент Морита [ править ]

Два кольца R , S называются Морита-эквивалентными, категория левых модулей над R эквивалентна категории левых модулей над S. если Фактически, два коммутативных кольца, эквивалентных по Морита, должны быть изоморфны, поэтому это понятие не добавляет ничего нового в категорию коммутативных колец. Однако коммутативные кольца могут быть Морита-эквивалентны некоммутативным кольцам, поэтому эквивалентность Морита грубее изоморфизма. Эквивалентность Морита особенно важна в алгебраической топологии и функциональном анализе.

сгенерированный проективный модуль над кольцом и Пикара Конечно группой

Пусть R — коммутативное кольцо и $\mathbf {P} (R)$ множество классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R ; пусть также $\mathbf {P} _{n}(R)$ подмножества, состоящие из подмножеств постоянного ранга n . (Ранг модуля M — это непрерывная функция $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ . ^[5]) $\mathbf {P} _{1}(R)$ обычно обозначается Pic( R ). Это абелева группа, называемая Пикара группой R . ^[6] Если R — область целостности с полем дробей F из R , то существует точная последовательность групп: ^[7]

1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1

где $\operatorname {Cart} (R)$ множество дробных идеалов R — . Если R — регулярная . е. регулярна в любом простом идеале), то Pic(R) — это в точности группа классов дивизоров R область ( т . ^[8]

Например, если R — область главных идеалов, то Pic( R ) обращается в нуль. В теории алгебраических чисел R будет считаться кольцом целых чисел , которое является дедекиндовым и, следовательно, регулярным. Отсюда следует, что Pic( R ) — конечная группа ( конечность числа классов ), которая измеряет отклонение кольца целых чисел от PID.

Можно также рассмотреть групповое завершение $\mathbf {P} (R)$ ; это приводит к коммутативному кольцу K ₀ (R). Заметим, что K ₀ (R) = K ₀ (S), если два коммутативных кольца R , S эквивалентны по Морита.

Структура некоммутативных колец [ править ]

Строение некоммутативного кольца сложнее, чем у коммутативного. Например, существуют простые кольца, которые не содержат нетривиальных собственных (двусторонних) идеалов, но содержат нетривиальные собственные левые или правые идеалы. Для коммутативных колец существуют различные инварианты, тогда как инварианты некоммутативных колец найти трудно. Например, нильрадикал кольца , набора всех нильпотентных элементов, не обязательно является идеалом, если кольцо не коммутативно. В частности, множество всех нильпотентных элементов в кольце всех матриц размера n × n над телом никогда не образует идеал, независимо от выбранного тела. Однако существуют аналоги нильрадикала, определенные для некоммутативных колец, которые совпадают с нильрадикалом, когда предполагается коммутативность.

Понятие о радикале Джекобсона кольца; то есть пересечение всех правых (левых) аннуляторов простых правых (левых) модулей над кольцом является одним из примеров. Тот факт, что радикал Джекобсона можно рассматривать как пересечение всех максимальных правых (левых) идеалов в кольце, показывает, как внутренняя структура кольца отражается его модулями. Также фактом является то, что пересечение всех максимальных правых идеалов в кольце совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов в кольце в контексте всех колец; независимо от того, коммутативно ли кольцо.

Некоммутативные кольца являются активной областью исследований из-за их повсеместного распространения в математике. Например, кольцо матриц размером n × n над полем некоммутативно, несмотря на его естественное появление в геометрии , физике и многих разделах математики. В более общем смысле, кольца эндоморфизмов абелевых групп редко являются коммутативными, простейшим примером является кольцо эндоморфизмов четырехгруппы Клейна .

Одним из самых известных строго некоммутативных колец являются кватернионы .

Приложения [ править ]

Кольцо целых чисел числового поля [ править ]

Координатное кольцо алгебраического многообразия [ править ]

Если X — аффинное алгебраическое многообразие , то множество всех регулярных функций на X образует кольцо, кольцом X. называемое координатным Для проективного многообразия существует аналогичное кольцо, называемое однородным координатным кольцом . Эти кольца, по сути, то же самое, что и разновидности: они соответствуют по существу уникальным образом. Это можно увидеть либо с помощью Nullstellensatz Гильберта, либо с помощью теоретико-схемных конструкций (т. е. Spec и Proj).

Кольцо инвариантов [ править ]

Основной (и, возможно, самый фундаментальный) вопрос классической теории инвариантов — поиск и изучение многочленов в кольце многочленов. $k[V]$ которые инвариантны относительно действия конечной группы (или, в более общем смысле, редуктивной) G на V . Основным примером является кольцо симметричных многочленов : симметричные многочлены — это многочлены, которые инвариантны относительно перестановки переменной. Основная теорема о симметричных полиномах утверждает, что это кольцо $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ где $\sigma _{i}$ являются элементарными симметричными полиномами.

История [ править ]

Коммутативная теория колец возникла из алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии и теории инвариантов . Центральное место в развитии этих предметов занимали кольца целых чисел в полях алгебраических чисел и полях алгебраических функций, а также кольца многочленов от двух или более переменных. Некоммутативная теория колец началась с попыток распространить комплексные числа на различные гиперкомплексные системы счисления. Зарождение теорий коммутативных и некоммутативных колец относится к началу XIX века, а их зрелость достигла лишь в третьем десятилетии XX века.

Точнее, Уильям Роуэн Гамильтон выдвинул кватернионы и бикватернионы ; Джеймс Кокл представил тессарины и кокватернионы ; а Уильям Кингдон Клиффорд был энтузиастом расщепленных бикватернионов , которые он называл алгебраическими двигателями . Эти некоммутативные алгебры и неассоциативные алгебры Ли изучались в рамках универсальной алгебры до того, как предмет был разделен на отдельные типы математических структур . Одним из признаков реорганизации было использование прямых сумм для описания алгебраической структуры.

Различные гиперкомплексные числа были идентифицированы с помощью колец матричных Джозефом Веддерберном (1908) и Эмилем Артином (1928). Структурные теоремы Веддерберна были сформулированы для конечномерных алгебр над полем , а Артин обобщил их на артиновы кольца .

В 1920 году Эмми Нётер в сотрудничестве с В. Шмейдлером опубликовала работу о теории идеалов , в которой определили левый и правый идеалы в кольце . В следующем году она опубликовала знаковую статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen , в которой анализировались условия восходящей цепи в отношении (математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; ^[9] публикация породила термин « нётерово кольцо », а также несколько других математических объектов, названных нётеровскими . ^[9]^[10]

Примечания [ править ]

^ Теория колец может также включать в себя изучение ГС .
^ Гудирл и Варфилд (1989) .
^ Мацумура 1989 , Теорема 13.4.
^ Мацумура 1989 , Теорема 31.4.
^ Weibel 2013 , Глава I, определение 2.2.3.
^ Weibel 2013 , Определение перед предложением 3.2 в главе I.
^ Weibel 2013 , Глава I, Предложение 3.5.
^ Weibel 2013 , Глава I, Следствие 3.8.1.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг 1981 , с. 18.
^ Дик, Огюст (1981), Эмми Нётер: 1882–1935 , перевод Блохера, HI, Birkhäuser , ISBN 3-7643-3019-8 , п. 44–45.

Ссылки [ править ]

Алленби, RBJT (1991), Кольца, поля и группы (второе изд.), Эдвард Арнольд, Лондон, стр. xxvi+383 , ISBN 0-7131-3476-3 , МР 1144518
Блит, Т.С.; Робертсон, EF (1985), Группы, кольца и поля: алгебра на практике, Книга 3 , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-27288-2
Фейт, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, том. 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-0993-8 , МР 1657671
Гудерл, КР; Уорфилд, Р.Б. младший (1989), Введение в некоммутативные нетеровы кольца , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 16, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-36086-2 , МР 1020298
Джадсон, Томас В. (1997), Абстрактная алгебра: теория и приложения
Кимберлинг, Кларк (1981), «Эмми Нётер и ее влияние», в Брюэре, Джеймсе В.; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Марсель Деккер , стр. 3–61.
Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN. 0-387-98428-3 , МР 1653294
Лам, Тай (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для аспирантов по математике, том. 131 (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN. 0-387-95183-0 , МР 1838439
Лам, Тай (2003), Упражнения по классической теории колец , Сборники задач по математике (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00500-5 , МР 2003255
Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8 (второе изд.), Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-36764-6 , МР 1011461
МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике, том. 30, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/030 , ISBN. 0-8218-2169-5 , МР 1811901
О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. (сентябрь 2004 г.), «Развитие теории колец» , Архив истории математики MacTutor
Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике, том. 88, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 0-387-90693-2 , МР 0674652
Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, Том. Я , Чистая и прикладная математика, вып. 127, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN. 0-12-599841-4 , МР 0940245 . Том. II, Чистая и прикладная математика 128, ISBN 0-12-599842-2 .
Вейбель, Чарльз А. (2013), K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию , Аспирантура по математике, том. 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-9132-2 , МР 3076731

[1] Теория колец может также включать в себя изучение ГС .

[FOOTNOTEGoodearlWarfield1989-2] Гудирл и Варфилд (1989) .

[3] Мацумура 1989 , Теорема 13.4.

[4] Мацумура 1989 , Теорема 31.4.

[5] Weibel 2013 , Глава I, определение 2.2.3.

[6] Weibel 2013 , Определение перед предложением 3.2 в главе I.

[7] Weibel 2013 , Глава I, Предложение 3.5.

[8] Weibel 2013 , Глава I, Следствие 3.8.1.

[FOOTNOTEKimberling198118-9] Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг 1981 , с. 18.

[10] Дик, Огюст (1981), Эмми Нётер: 1882–1935 , перевод Блохера, HI, Birkhäuser , ISBN 3-7643-3019-8 , п. 44–45.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]