Идеальная группа класса

В теории чисел идеальная группа классов или группа классов ) поля алгебраических чисел K — это факторгруппа JK _а / PK _, где JK _— группа ( дробных идеалов кольца целых K чисел , PK _— ее подгруппа главных идеалов . Группа классов является мерой того, в какой степени уникальная факторизация не удалась в кольце целых чисел K . Порядок номером группы, конечен называется класса K. который ,

Теория распространяется на области Дедекинда и их поля частных , для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов дедекиндовой области тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальной областью факторизации .

История и происхождение идеальной классовой группы

Идеальные группы классов (или, скорее, то, что фактически представляло собой идеальные группы классов) изучались за некоторое время до того, как была сформулирована идея идеала . Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае бинарных целочисленных квадратичных форм, приведённых в нечто вроде окончательной формы Карлом Фридрихом Гауссом , закон композиции был определён на некоторых классах эквивалентности форм. Это дало конечную абелеву группу , как это было признано в то время.

Позже Эрнст Куммер работал над теорией круговых полей . Было осознано (вероятно, несколькими людьми), что неспособность завершить доказательство в общем случае Великой теоремы Ферма путем факторизации с использованием корней из единицы произошла по очень веской причине: неудача однозначной факторизации, т. е. фундаментальной теоремы арифметики. – удержаться в кольцах, порожденных этими корнями единства, было серьезным препятствием. В результате работы Куммера впервые появилось исследование препятствий факторизации. Теперь мы признаем это частью идеальной группы классов: фактически Куммер выделил p - кручение в этой группе для поля p - корней из единицы для любого простого числа p как причину неудачи стандартного метода. атаки на проблему Ферма (см. обычное простое число ).

Несколько позже Рихард Дедекинд вновь сформулировал понятие идеала, Куммер работал по-иному. На этом этапе существующие примеры можно было бы унифицировать. Было показано, что хотя кольца целых алгебраических чисел не всегда имеют уникальную факторизацию на простые числа (поскольку они не обязательно должны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение простых идеалов (т. е. , каждое кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовой областью ). Размер группы идеальных классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от области главного идеала; Кольцо является областью главных идеалов тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.

Определение

Если R — область целостности , определите отношение ~ на ненулевых дробных идеалах посредством R I ~ J всякий когда существуют ненулевые элементы a и b из R такие, что ( a ) I = ( b ) J. раз , (Здесь обозначение ( a ) означает главный идеал R , состоящий из всех кратных a .) Легко показать, что это отношение эквивалентности . называются идеальными классами R . Классы эквивалентности Классы идеалов можно умножать: если [ I ] обозначает класс эквивалентности идеала I , то умножение [ I ][ J ] = [ IJ ] корректно определено и коммутативно . Главные идеалы образуют идеальный класс [ R ], который служит единичным элементом для этого умножения. Таким образом, класс [ I ] имеет обратный [ J ] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем случае такой J может не существовать и, следовательно, множество идеальных классов R может быть только моноидом .

Однако, если R является кольцом целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел или, в более общем смысле, Дедекинда определенное выше, превращает набор дробных классов идеалов в абелеву группу , группу идеальных классов R. областью , умножение , Групповое свойство существования обратных элементов легко следует из того факта, что в дедекиндовой области каждый ненулевой идеал (кроме R ) является произведением простых идеалов .

Характеристики

Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы R являются главными. В этом смысле группа идеальных классов измеряет, насколько R далек от области главных идеалов и, следовательно, от удовлетворения уникальной простой факторизации (области Дедекинда являются уникальными областями факторизации тогда и только тогда, когда они являются областями главных идеалов).

Число идеальных классов (т. класса номер R ) вообще может быть бесконечным. Фактически, каждая абелева группа изоморфна группе идеальных классов некоторой дедекиндовой области. Но если R — кольцо целых алгебраических чисел, то число классов всегда конечно . Это один из основных результатов классической алгебраической теории чисел .

В общем, вычисление группы классов сложно; это можно сделать вручную для кольца целых чисел в поле алгебраических чисел с малым дискриминантом , используя оценку Минковского . Этот результат дает оценку, зависящую от кольца, такую, что каждый идеальный класс содержит идеальную норму, меньшую, чем граница. В общем, граница недостаточно точна, чтобы сделать расчет практичным для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.

Отображение колец целых чисел R в соответствующие им группы классов является функториальным , и группа классов может быть отнесена к разделу алгебраической K-теории , причем K ₀ ( R ) является функтором, присваивающим R его идеальную группу классов; точнее, K ₀ ( R ) = Z × C ( R ), где C ( R ) — группа классов. Группы с высшим K также можно использовать и арифметически интерпретировать в связи с кольцами целых чисел.

Связь с группой подразделений

Выше было отмечено, что группа идеальных классов дает часть ответа на вопрос, насколько идеалы в дедекиндовой области ведут себя как элементы. Другую часть ответа дает группа единиц дедекиндовой области, поскольку переход от главных идеалов к их образующим требует использования единиц (и это остальная причина введения понятия дробного идеала, а также ):

Определить карту из R ^× к множеству всех ненулевых дробных идеалов R , отправляя каждый элемент к главному (дробному) идеалу, который он порождает. Это групповой гомоморфизм ; его ядро ​​— это группа единиц R , а его коядро — идеальная группа R. классов Неспособность этих групп быть тривиальными является мерой неспособности отображения быть изоморфизмом: это неспособность идеалов действовать как кольцевые элементы, то есть как числа.

Примеры идеальных групп классов

• Кольца Z , Z [ω] и Z [ i ] , где ω — кубический корень из 1 , а i — корень четвертой степени из 1 (т. е. квадратный корень из −1 ), являются областями главных идеалов (и фактически все являются евклидовыми областями ), и поэтому имеют номер класса 1: то есть у них есть тривиальные идеальные группы классов.
• Если k — поле, то кольцо полиномов k [ X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...] является областью целостности. Оно имеет счетное бесконечное множество идеальных классов.

Номера классов квадратичных полей

Если $d$ — целое число без квадратов (произведение различных простых чисел), отличное от 1, то $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ является квадратичным расширением Q . Если $d<0$, то номер класса кольца $R$ целых алгебраических чисел $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ равно 1 именно для следующих значений $d$: $d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$. Этот результат был впервые выдвинут Гауссом , хотя и доказан Куртом Хигнером доказательству Хигнера не верили до тех пор, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году. (См. Теорему Старка-Хигнера .) Это частный случай знаменитой проблемы числа классов .

Если же d > 0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ с номером класса 1. Результаты расчетов показывают, что таких полей очень много. Однако неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей с номером класса 1.

При d < 0 идеальная группа классов $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ изоморфна группе классов целых бинарных квадратичных форм дискриминанта , равного дискриминанту $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$. При d > 0 идеальная группа классов может быть вдвое меньше, поскольку группа классов целых бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группе классов $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$.

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .

Пример нетривиальной группы классов

Кольцо квадратичных целых чисел R = Z [ √ −5 ] является кольцом целых чисел Q ( √ −5 ). Он не обладает уникальной факторизацией; на самом деле группа классов R является циклической порядка 2. Действительно, идеал

J знак равно (2, 1 + √ −5 )

не является главным, что можно доказать от противного следующим образом. $R$ имеет нормальную функцию $N(a+b{\sqrt {-5}})=a^{2}+5b^{2}$, что удовлетворяет $N(uv)=N(u)N(v)$, и $N(u)=1$ тогда и только тогда, когда $u$ является единицей в $R$. Прежде всего, $J\neq R$, факторкольцо поскольку $R$ по модулю идеала $(1+{\sqrt {-5}})$ изоморфен ​ ​ $\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$, так что факторкольцо $R$ модуль $J$ изоморфен $\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$. Если бы J был порожден элементом x из R , то x делил бы и 2, и 1 + √ −5 . Тогда норма $N(x)$ разделил бы обоих $N(2)=4$ и $N(1+{\sqrt {-5}})=6$, поэтому N (x) будет делить 2. Если $N(x)=1$ затем $x$ является единицей и $J=R$, противоречие. Но $N(x)$ также не может быть равно 2, поскольку R не имеет элементов нормы 2, поскольку диофантово уравнение $b^{2}+5c^{2}=2$ не имеет решений в целых числах, как и не имеет решений по модулю 5 .

Также подсчитано, что J ² = (2), что является главным, поэтому класс J в группе идеальных классов имеет второй порядок. идеальных классов не существует, Чтобы доказать, что других требуется больше усилий.

Тот факт, что этот J не является главным, также связан с тем, что элемент 6 имеет две различные разложения на неприводимые :

6 = 2 × 3 = (1 + √ −5 ) × (1 − √ −5 ).

Связи с теорией полей классов

Теория полей классов — это раздел теории алгебраических чисел , который стремится классифицировать все абелевы расширения данного поля алгебраических чисел, то есть расширения Галуа с абелевой группой Галуа . Особенно красивый пример можно найти в поле классов Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение такого поля. Поле класса Гильберта L числового поля K уникально и обладает следующими свойствами:

• Каждый идеал кольца целых чисел K становится главным в L , т. е. если I — целый идеал кольца K то образ I является главным идеалом в L. ,
• L является расширением Галуа K с группой Галуа, изоморфной группе классов идеалов K .

Ни одно из свойств не так-то легко доказать.

См. также

• Формула номера класса
• Проблема с номером класса
• Теорема Брауэра – Зигеля - асимптотическая формула для числа классов.
• Список числовых полей с номером класса один
• Основная идеальная область
• Алгебраическая К-теория
• Теория Галуа
• Последняя теорема Ферма
• Узкая классовая группа
• Группа Пикара — обобщение группы классов, встречающейся в алгебраической геометрии.
• Arakelov class group

Ссылки

• Клэборн, Лютер (1966), «Каждая абелева группа является классовой группой», Pacific Journal of Mathematics , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• Фрелих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-43834-6 , МР   1215934
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .