Список числовых полей с номером класса один

Это неполный список числовых полей с номером класса 1.

Считается, что таких числовых полей бесконечно много, но это не доказано. ^[1]

Определение

Номер класса числового поля по определению является порядком идеальной группы классов его кольца целых чисел .

Таким образом, числовое поле имеет номер класса 1 тогда и только тогда, когда его кольцо целых чисел является областью главных идеалов (и, следовательно, уникальной областью факторизации ). Основная теорема арифметики гласит, что Q имеет номер класса 1.

Поля квадратичных чисел

Они имеют вид K = Q ( √ d ) для без квадратов целого числа d .

Действительные квадратичные поля

K называется вещественным квадратичным, если d > 0. K имеет номер класса 1 для следующих значений d (последовательность A003172 в OEIS ):

2*, 3, 5*, 6, 7, 11, 13*, 14, 17*, 19, 21, 22, 23, 29*, 31, 33, 37*, 38, 41*, 43, 46, 47, 53*, 57, 59, 61*, 62, 67, 69, 71, 73*, 77, 83, 86, 89*, 93, 94, 97*, ... ^[1]^[2]

(завершено до d = 100)

*: Номер узкого класса также равен 1 (см. соответствующую последовательность A003655 в OEIS).

Несмотря на то, что, казалось бы, имеет место для этих небольших значений, не все простые числа, которые конгруэнтны 1 по модулю 4, появляются в этом списке, в частности, поля Q ( √ d ) для d = 229 и d = 257 оба имеют номер класса больше больше 1 (фактически равно 3 в обоих случаях). ^[3] Предполагается, что плотность таких простых чисел, для которых Q ( √ d ) имеет номер класса 1, не равна нулю и фактически близка к 76%, ^[4]однако неизвестно даже, существует ли бесконечно много действительных квадратичных полей с номером класса 1. ^[1]

Мнимые квадратичные поля

K имеет номер класса 1 ровно для 9 следующих отрицательных значений d :

−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163. ^[1]

(По определению, все они также имеют узкий класс номер 1.)

Кубические поля

Полностью реальное кубическое поле

Первые 60 полностью вещественных кубических полей (упорядоченные по дискриминанту ) имеют класс номер один. Другими словами, все кубические поля дискриминанта от 0 до 1944 (включительно) имеют класс номер один. Следующее вполне вещественное кубическое поле (дискриминанта 1957 года) имеет класс номер два. Полиномы, определяющие полностью вещественные кубические поля с дискриминантами меньше 500 с номером класса один: ^[5]

х ³ − х ² − 2 x + 1 (дискриминант 49)
х ³ − 3 x − 1 (дискриминант 81)
х ³ − х ² − 3 x + 1 (дискриминант 148)
х ³ − х ² − 4 x − 1 (дискриминант 169)
х ³ − 4 x − 1 (дискриминант 229)
х ³ − х ² − 4 x + 3 (дискриминант 257)
х ³ − х ² − 4 x + 2 (дискриминант 316)
х ³ − х ² − 4 x + 1 (дискриминант 321)
х ³ − х ² − 6 х + 7 (дискриминант 361)
х ³ − х ² − 5 x − 1 (дискриминант 404)
х ³ − х ² − 5 х + 4 (дискриминант 469)
х ³ − 5 x − 1 (дискриминант 473)

Комплексное кубическое поле

Все комплексные кубические поля с дискриминантом больше -500 имеют номер класса один, за исключением полей с дискриминантами -283, -331 и -491, которые имеют номер класса 2. Действительный корень многочлена для -23 является обратной величиной пластического отношения. (отрицается), а для −31 является обратной величиной суперзолотого сечения . Полиномы, определяющие комплексные кубические поля с номером класса один и дискриминантом больше -500: ^[5]

х ³ − х ² + 1 (дискриминант −23)
х ³ + x - 1 (дискриминант -31)
х ³ − х ² + x + 1 (дискриминант −44)
х ³ + 2 x - 1 (дискриминант -59)
х ³ − 2 x − 2 (дискриминант −76)
х ³ − х ² + x - 2 (дискриминант -83)
х ³ − х ² + 2 x + 1 (дискриминант −87)
х ³ − x − 2 (дискриминант −104)
х ³ − х ² + 3 x − 2 (дискриминант −107)
х ³ − 2 (дискриминант −108)
х ³ − х ² − 2 (дискриминант −116)
х ³ + 3 x − 1 (дискриминант −135)
х ³ − х ² + x + 2 (дискриминант −139)
х ³ + 2 x - 2 (дискриминант -140)
х ³ − х ² − 2 x − 2 (дискриминант −152)
х ³ − х ² − x + 3 (дискриминант −172)
х ³ − х ² + 2 x − 3 (дискриминант −175)
х ³ − х ² + 4 x - 1 (дискриминант -199)
х ³ − х ² + 2 x + 2 (дискриминант −200)
х ³ − х ² + x - 3 (дискриминант -204)
х ³ − 2 x − 3 (дискриминант −211)
х ³ − х ² + 4 x − 2 (дискриминант −212)
х ³ + 3 x − 2 (дискриминант −216)
х ³ − х ² + 3 (дискриминант -231)
х ³ − x − 3 (дискриминант −239)
х ³ − 3 (дискриминант −243)
х ³ + x - 6 (дискриминант -244)
х ³ + x - 3 (дискриминант -247)
х ³ − х ² − 3 (дискриминант −255)
х ³ − х ² − 3 x + 5 (дискриминант −268)
х ³ − х ² − 3 x − 3 (дискриминант −300)
х ³ − х ² + 3 x + 2 (дискриминант −307)
х ³ − 3 x − 4 (дискриминант −324)
х ³ − х ² − 2 x − 3 (дискриминант −327)
х ³ − х ² + 4 x + 1 (дискриминант −335)
х ³ − х ² − x + 4 (дискриминант −339)
х ³ + 3 x − 3 (дискриминант −351)
х ³ − х ² + x + 7 (дискриминант −356)
х ³ + 4 x - 2 (дискриминант -364)
х ³ − х ² + 2 х + 3 (дискриминант -367)
х ³ − х ² + x - 4 (дискриминант -379)
х ³ − х ² + 5 x − 2 (дискриминант −411)
х ³ − 4 x − 5 (дискриминант −419)
х ³ − х ² + 8 (дискриминант −424)
х ³ − x − 8 (дискриминант −431)
х ³ + x - 4 (дискриминант -436)
х ³ − х ² − 2 x + 5 (дискриминант −439)
х ³ + 2 x − 8 (дискриминант −440)
х ³ − х ² − 5 x + 8 (дискриминант −451)
х ³ + 3 x − 8 (дискриминант −459)
х ³ − х ² + 5 x − 3 (дискриминант −460)
х ³ − 5 x − 6 (дискриминант −472)
х ³ − х ² + 4 x + 2 (дискриминант −484)
х ³ − х ² + 3 x + 3 (дискриминант −492)
х ³ + 4 x − 3 (дискриминант −499)

Циклотомные поля

Ниже приводится полный список из тридцати n, для которых поле Q (ζ _n ) имеет номер класса 1: ^[6]^[7]

1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84.

(Обратите внимание, что значения n , соответствующие 2 по модулю 4, являются избыточными, поскольку Q (ζ _2n ) = Q (ζ _n ), когда n нечетно.)

С другой стороны, максимальные вещественные подполя Q (cos(2π/2 ^н)) 2-степенных круговых полей Q (ζ _{2 ^н}) (где n — целое положительное число), как известно, имеют номер класса 1 при n≤8, ^[8] ипредполагается, что они имеют номер класса 1 для всех n . Вебер показал, что эти поля имеют нечетный номер класса. В 2009 году Фукуда и Комацу показали, что номера классов этих полей не имеют простого делителя меньше 10. ⁷, ^[9] а позже улучшил эту оценку до 10 ⁹. ^[10] Эти поля являются n -ми слоями кругового Z ₂ -расширения Q . Также в 2009 году Морисава показал, что номера классов слоев кругового Z ₃ -расширения Q не имеют простого множителя меньше 10. ⁴. ^[11] Коутс поставил вопрос о том, имеет ли для всех простых p каждый слой кругового Zp _- расширения Q номер класса 1. ^{[ нужна ссылка ]}

Поля CM

Одновременно обобщающим случаем мнимых квадратичных и круговых полей является случай СМ-поля К , т. е. вполне мнимого квадратичного расширения вполне вещественного поля . В 1974 году Гарольд Старк предположил, что существует конечное число полей СМ класса номер 1. ^[12] Он показал, что существует конечное число чисел фиксированной степени. Вскоре после этого Эндрю Одлыжко показал, что существует лишь конечное число CM-полей Галуа класса номер 1. ^[13] В 2001 году В. Кумар Мурти показал, что из всех полей CM, замыкание Галуа которых имеет разрешимую группу Галуа, только конечное число имеет номер класса 1. ^[14]

Полный список 172 абелевых полей СМ класса номер 1 был определен в начале 1990-х годов Кеном Ямамурой и доступен на страницах 915–919 его статьи на эту тему. ^[15] Объединение этого списка с работой Стефана Лубутена и Рётаро Оказаки дает полный список полей CM четвертой степени класса номер 1. ^[16]

См. также

Примечания

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Глава I, раздел 6, с. 37 Нойкирха 1999 г.
^ Дембеле, Лассина (2005). «Явные вычисления гильбертовых модулярных форм на $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ » (PDF) . Exp. Math . 14 (4): 457–466. : 10.1080 /10586458.2005.10128939 . ISSN 1058-6458 . S2CID 9088028. . Zbl 1152.11328 doi
^ Х. Коэн, Курс вычислительной алгебраической теории чисел , GTM 138, Springer Verlag (1993), Приложение B2, стр.507
^ Х. Коэн и Х. В. Ленстра, Эвристика групп классов числовых полей, Теория чисел , Noordwijkerhout 1983, Proc. 13-е издание «Арифметические журналы», изд. Х. Ягер, лектор. Заметки по математике. 1068, Springer-Verlag, 1984, стр. 33–62.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Таблицы доступны в исходном коде Pari
^ Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомные поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 83 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . Теорема 11.1. ISBN 0-387-94762-0 . Збл 0966.11047 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005848 (Циклотомические поля с номером класса 1 (или с уникальной факторизацией).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 марта 2024 г.
^ Дж. К. Миллер, Числа классов полностью реальных полей и приложения к проблеме номеров классов Вебера, https://arxiv.org/abs/1405.1094
^ Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2009). «Проблема числа классов Вебера в круговой $\mathbb {Z} _{2}$ -расширение $\mathbb {Q}$ . Exp. Math . 18 (2): 213–222. : 10.1080 /10586458.2009.10128896 . ISSN 1058-6458 . MR 2549691. S2CID 31421633. " . Zbl 1189.11033 doi
^ Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2011). «Проблема числа классов Вебера в круговой $\mathbb {Z} _{2}$ -расширение $\mathbb {Q}$ III». Theory . 7 (6): 1627–1635. doi : 10.1142/ . ISSN 1793-7310 . MR 2835816. S2CID 121397082. Int. J. Number S1793042111004782 Zbl 1226.11119 .
^ Морисава, Такаюки (2009). «Проблема о числе классов в круговой $\mathbb {Z} _{3}$ -расширение $\mathbb {Q}$ . / Tokyo J. Math . 32 (2): 549–558. : 10.3836 tjm/1264170249 . ISSN 0387-3870 . MR 2589962. Zbl doi 1205.11116 .
^ Старк, Гарольд (1974), «Некоторые эффективные случаи теоремы Брауэра – Зигеля», Inventiones Mathematicae , 23 (2): 135–152, Bibcode : 1974InMat..23..135S , doi : 10.1007/bf01405166 , hdl : 10338 .dmlcz/120573 , S2CID 119482000
^ Одлызко, Эндрю (1975), «Некоторые аналитические оценки чисел классов и дискриминантов», Inventiones Mathematicae , 29 (3): 275–286, Bibcode : 1975InMat..29..275O , doi : 10.1007/bf01389854 , S2CID 119348804
^ Мурти, В. Кумар (2001), «Числа классов CM-полей с разрешимым нормальным замыканием», Compositio Mathematica , 127 (3): 273–287, doi : 10.1023/A:1017589432526
^ Ямамура, Кен (1994), «Определение полей мнимых абелевых чисел с классом номер один», Mathematics of Computation , 62 (206): 899–921, Бибкод : 1994MaCom..62..899Y , doi : 10.2307/2153549 , АЭСТОР 2153549
^ Лубутен, Стефан; Окадзаки, Риотаро (1994), «Определение всех ненормальных четвертичных CM-полей и всех неабелевых нормальных октических CM-полей с классом номер один», Acta Arithmetica , 67 (1): 47–62, doi : 10.4064 /аа-67-1-47-62

Ссылки

Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .

[neu-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Глава I, раздел 6, с. 37 Нойкирха 1999 г.

[2] Дембеле, Лассина (2005). «Явные вычисления гильбертовых модулярных форм на $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ » (PDF) . Exp. Math . 14 (4): 457–466. : 10.1080 /10586458.2005.10128939 . ISSN 1058-6458 . S2CID 9088028. . Zbl 1152.11328 doi

[3] Х. Коэн, Курс вычислительной алгебраической теории чисел , GTM 138, Springer Verlag (1993), Приложение B2, стр.507

[4] Х. Коэн и Х. В. Ленстра, Эвристика групп классов числовых полей, Теория чисел , Noordwijkerhout 1983, Proc. 13-е издание «Арифметические журналы», изд. Х. Ягер, лектор. Заметки по математике. 1068, Springer-Verlag, 1984, стр. 33–62.

[pari-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Таблицы доступны в исходном коде Pari

[6] Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомные поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 83 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . Теорема 11.1. ISBN 0-387-94762-0 . Збл 0966.11047 .

[7] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005848 (Циклотомические поля с номером класса 1 (или с уникальной факторизацией).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 марта 2024 г.

[8] Дж. К. Миллер, Числа классов полностью реальных полей и приложения к проблеме номеров классов Вебера, https://arxiv.org/abs/1405.1094

[Exp2009-9] Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2009). «Проблема числа классов Вебера в круговой $\mathbb {Z} _{2}$ -расширение $\mathbb {Q}$ . Exp. Math . 18 (2): 213–222. : 10.1080 /10586458.2009.10128896 . ISSN 1058-6458 . MR 2549691. S2CID 31421633. " . Zbl 1189.11033 doi

[10] Фукуда, Такаши; Комацу, Кейичи (2011). «Проблема числа классов Вебера в круговой $\mathbb {Z} _{2}$ -расширение $\mathbb {Q}$ III». Theory . 7 (6): 1627–1635. doi : 10.1142/ . ISSN 1793-7310 . MR 2835816. S2CID 121397082. Int. J. Number S1793042111004782 Zbl 1226.11119 .

[11] Морисава, Такаюки (2009). «Проблема о числе классов в круговой $\mathbb {Z} _{3}$ -расширение $\mathbb {Q}$ . / Tokyo J. Math . 32 (2): 549–558. : 10.3836 tjm/1264170249 . ISSN 0387-3870 . MR 2589962. Zbl doi 1205.11116 .

[12] Старк, Гарольд (1974), «Некоторые эффективные случаи теоремы Брауэра – Зигеля», Inventiones Mathematicae , 23 (2): 135–152, Bibcode : 1974InMat..23..135S , doi : 10.1007/bf01405166 , hdl : 10338 .dmlcz/120573 , S2CID 119482000

[13] Одлызко, Эндрю (1975), «Некоторые аналитические оценки чисел классов и дискриминантов», Inventiones Mathematicae , 29 (3): 275–286, Bibcode : 1975InMat..29..275O , doi : 10.1007/bf01389854 , S2CID 119348804

[14] Мурти, В. Кумар (2001), «Числа классов CM-полей с разрешимым нормальным замыканием», Compositio Mathematica , 127 (3): 273–287, doi : 10.1023/A:1017589432526

[15] Ямамура, Кен (1994), «Определение полей мнимых абелевых чисел с классом номер один», Mathematics of Computation , 62 (206): 899–921, Бибкод : 1994MaCom..62..899Y , doi : 10.2307/2153549 , АЭСТОР 2153549

[16] Лубутен, Стефан; Окадзаки, Риотаро (1994), «Определение всех ненормальных четвертичных CM-полей и всех неабелевых нормальных октических CM-полей с классом номер один», Acta Arithmetica , 67 (1): 47–62, doi : 10.4064 /аа-67-1-47-62

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]