Теорема Брауэра – Зигеля

В математике теорема Брауэра-Зигеля , названная в честь Рихарда Брауэра и Карла Людвига Зигеля , представляет собой асимптотический результат о поведении полей алгебраических чисел , полученный Рихардом Брауэром и Карлом Людвигом Сигелем . Он пытается обобщить результаты, известные о числах классов мнимых квадратичных полей , на более общую последовательность числовых полей.

$K_{1},K_{2},\ldots .\$

Во всех случаях, кроме рационального поля Q и мнимых квадратичных полей, регулятор R _i поля K _i необходимо учитывать , поскольку тогда K _i имеет единицы бесконечного порядка по теореме Дирихле о единицах . Количественная гипотеза стандартной теоремы Брауэра-Зигеля состоит в том, что i _{является} дискриминантом Ki , D _если то

${\frac {[K_{i}:\mathbf {Q} ]}{\log |D_{i}|}}\to 0{\text{ as }}i\to \infty .$

Предполагая это и алгебраическую гипотезу о том, что K _i является расширением Галуа Q , вывод состоит в том, что

${\frac {\log(h_{i}R_{i})}{\log {\sqrt {|D_{i}|}}}}\to 1{\text{ as }}i\to \infty$

где h _i - номер класса K _i . Если предположить, что все степени $[K_{i}:\mathbf {Q} ]$ ограничены сверху равномерной константой N , то можно отказаться от предположения о нормальности - именно это и доказывается в статье Брауэра.

Этот результат неэффективен , как и результат о квадратичных полях, на которых он основан. Эффективные результаты в том же направлении были начаты в работах Гарольда Старка с начала 1970-х годов.

Ссылки

• Ричард Брауэр , О дзета-функции полей алгебраических чисел , Американский журнал математики 69 (1947), 243–250.