Пластиковое соотношение

Пластиковое соотношение
	Треугольники со сторонами, относящимися к ρ, образуют замкнутую спираль.
Рациональность	иррациональный алгебраический
Символ	р
Представительства
Десятичная дробь	1.32471 79572 44746 02596 09088 ...
Алгебраическая форма	действительный корень х 3 = х + 1
Цепная дробь (линейная)	[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,...] ; не периодический ; бесконечный

В математике коэффициент пластичности — это геометрическая пропорция, близкая к $53/40$ . Его истинное значение — это действительное решение уравнения $x 3 = х + 1.$

Прилагательное пластика относится не к искусственному материалу, а к формообразующим и скульптурным качествам этого соотношения, как в пластических искусствах .

Определение [ править ]

Три величины $a > b > c > 0$ находятся в пластическом отношении, если

{\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}={\frac {b}{c}}

.

Соотношение ${\frac {a}{b}}$ обычно обозначается $\rho .$

Позволять $a=\rho \,$ и $\,b=1$ , затем

$\rho ^{2}=1+c\,\land \,\rho =1/c$

$\implies \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}$ .

Отсюда следует, что коэффициент пластичности находится как единственное вещественное решение кубического уравнения $\rho ^{3}-\rho -1=0.$ Десятичное разложение корня начинается как $1.324\,717\,957\,244\,746...$ (последовательность A060006 в OEIS ).

Решая уравнение по формуле Кардано ,

w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)/2

\rho ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}

или, используя гиперболический косинус , ^[2]

\rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).

$\rho$ — сверхстабильная фиксированная точка итерации $x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1)$ .

Итерация $x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}$ приводит к продолжению обратного квадратного корня

\rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}

Деление определяющего трехчлена $x^{3}-x-1$ к $x-\rho$ получается $x^{2}+\rho x+1/\rho$ , а элементы сопряженные $\rho$ являются

x_{1,2}=\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right)/2,

с $x_{1}+x_{2}=-\rho \;$ и $\;x_{1}x_{2}=1/\rho .$

Свойства [ править ]

Пластиковое соотношение $\rho$ и золотое сечение $\varphi$ — единственные морфические числа: действительные числа $x > 1$ , для которых существуют натуральные числа m и n такие, что

x+1=x^{m}

и

x-1=x^{-n}

. ^[3]

Морфические числа могут служить основой системы меры.

Свойства $\rho$ (m=3 и n=4) связаны с таковыми из $\varphi$ (m=2 и n=1). Например, коэффициент пластичности удовлетворяет непрерывному радикальному закону.

\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}

,

в то время как золотое сечение удовлетворяет аналогичному

\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}

Коэффициент пластичности можно выразить в виде бесконечной геометрической прогрессии .

\rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}

и

\,\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},

по сравнению с идентичностью золотого сечения

\varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}

и наоборот .

Кроме того, $1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2$ , пока $\sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.$

Для каждого целого числа $n$ надо

{\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}.\end{aligned}}

Алгебраическое решение сокращенного уравнения пятой степени может быть записано в терминах квадратных корней, кубических корней и радикала Бринга . Если $y=x^{5}+x$ затем $x=BR(y)$ . С $\rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\quad \rho =1/BR(1).$

Непрерывная дробная структура нескольких малых степеней

\rho ^{-1}=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549

(

25/33

)

\ \rho ^{0}=[1]

\ \rho ^{1}=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247

(

45/34

)

\ \rho ^{2}=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549

(

58/33

)

\ \rho ^{3}=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247

(

79/34

)

\ \rho ^{4}=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796

(

40/13

)

\ \rho ^{5}=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796

(

53/13

) ...

\ \rho ^{7}=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592

(

93/13

) ...

\ \rho ^{9}=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635

(

88/7

)

Коэффициент пластичности — это наименьшее число Писо . ^[4] Поскольку абсолютное значение $1/{\sqrt {\rho }}$ алгебраических сопряжений меньше 1, степени $\rho$ генерировать почти целые числа . Например: $\rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.$ После 29 шагов вращения фазы внутренней спиралевидной сопряженной пары – изначально близкие к $\pm 45\pi /58$ – почти совпадает с воображаемой осью.

Минимальный полином коэффициента пластичности $m(x)=x^{3}-x-1$ имеет дискриминант $\Delta =-23$ . мнимого Поле классов Гильберта квадратичного поля $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})$ может быть образован путем присоединения $\rho$ . С аргументом $\tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,$ генератор кольца целых чисел $K$ , имеет особое значение эта Дедекинда -частное

\rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}

. ^[5]

Выражается через инвариант класса Вебера-Рамануджана G _n

\rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}

. ^[6]

Свойства связанного с ним j-инварианта Клейна $j(\tau )$ привести к почти идентичности $e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24$ . Разница составляет $<1/12659$ .

Эллиптический интеграл сингулярного значения ^[7] $k_{r}=\lambda ^{*}(r)$ для $r=23$ имеет выражение закрытой формы

\lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)

(что составляет менее 1/3 эксцентриситета орбиты Венеры).

дер Последовательность Лаана Ван

В своем стремлении к ощутимой ясности голландский монах-бенедиктинец и архитектор Дом Ханс ван дер Лаан (1904-1991) потребовал минимальной разницы между двумя размерами, чтобы мы могли четко воспринимать их как отдельные. Кроме того, каково максимальное соотношение двух размеров, чтобы мы могли соотносить их и воспринимать близость. По его наблюдениям, ответы — $1/4 и 7/1$ , охватывающие один порядок размера . ^[8] Требуя пропорциональной непрерывности, он построил геометрический ряд из восьми мер ( видов размеров ) с общим соотношением $2/(3/4 + 1/7 1/7) \approx ρ$ . В рациональной форме эта архитектоническая система измерения построена из подмножества чисел, носящих его имя.

Числа Ван дер Лаана тесно связаны с последовательностями Перрена и Падована . В комбинаторике количество композиций n на части 2 и 3 считается n-м числом Ван дер Лаана.

Последовательность Ван дер Лаана определяется рекуррентным соотношением третьего порядка

V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}

для

n > 2

,

с начальными значениями

V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1

.

Первые несколько членов: 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... (последовательность A182097 в OEIS ). Предельное соотношение между последовательными сроками — это коэффициент пластичности.

Таблица восьми мер Ван дер Лана
к	н - м	$V_{n}/V_{m}$	ошибаться $(\rho ^{k})$	интервал
0	3 - 3	1 /1	0	второстепенный элемент
1	8 - 7	4 /3	1/116	основной элемент
2	10 - 8	7 /4	-1/205	второстепенная пьеса
3	10 - 7	7 /3	1/116	основная часть
4	7 - 3	3 /1	-1/12	второстепенная часть
5	8 - 3	4 /1	-1/12	основная часть
6	13 - 7	16 /3	-1/14	второстепенное целое
7	10 - 3	7 /1	-1/6	главное целое

Первые 14 индексов n, для которых $V_{n}$ является простым: n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 (последовательность A112882 в OEIS ). ^[9] Последнее число имеет 154 десятичных цифры.

Последовательность можно расширить до отрицательных индексов, используя

V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}

.

Производящая функция последовательности Ван дер Лаана имеет вид

{\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}

для

x<1/\rho \;.

^[10]

Последовательность связана с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}

. ^[11]

Характеристическое уравнение рекуррентности имеет вид $x^{3}-x-1=0$ . Если три решения являются настоящим корнем $\alpha$ и сопряженная пара $\beta$ и $\gamma$ числа Ван дер Лаана можно вычислить по формуле Бине ^[11]

V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}

, с реальным

a

и конъюгаты

b

и

c

корни

23x^{3}+x-1=0

.

С $\left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}$ и $\alpha =\rho$ , номер $V_{n}$ является ближайшим целым числом к $a\,\rho ^{n+1}$ , с $n > 1$ и $a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=$ 0.31062 88296 40467 07776 19027...

Коэффициенты $a=b=c=1$ получите формулу Бине для связанной последовательности $P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}$ .

Первые несколько терминов: 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... (последовательность A001608 в OEIS ).

Эта последовательность Перрена обладает свойством Ферма : если p простое число, $P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}$ . Обратное неверно, но малое число псевдопростых чисел $\,n\mid P_{n}$ делает последовательность особенной. ^[12] Единственные 7 составных чисел меньше $108$ пройти тест могут n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291. ^[13]

Числа Ван дер Лаана получаются как целые степени $n > 2$ матрицы . с действительным собственным значением $\rho$ ^[10]

Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},

Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}

След $Q^{n}$ дает числа Перрена.

Альтернативно, $Q$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для D0L системы Линденмайера в алфавите. $\{a,b,c\}$ с соответствующим правилом замены

{\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}

и инициатор $w_{0}=c$ . Серия слов $w_{n}$ произведенные путем итерации замены, обладают тем свойством, что количество $c, b$ и $a$ равно последовательным числам Ван дер Лаана. Их длины $l(w_{n})=V_{n+2}.$

С этим процессом перезаписи строк связан набор, состоящий из трех перекрывающихся самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в последовательности букв, состоящей из нескольких поколений. ^[14]

Геометрия [ править ]

Существует ровно три способа разбить квадрат на три подобных прямоугольника: ^[15]^[16]

Тривиальное решение, заданное тремя равными прямоугольниками с соотношением сторон 3:1.
Решение, в котором два из трех прямоугольников конгруэнтны, а длина сторон третьего в два раза больше, чем у двух других, при этом соотношение сторон прямоугольников составляет 3:2.
Решение, в котором все три прямоугольника имеют разные размеры и соотношение сторон ρ. ². Соотношения линейных размеров трех прямоугольников составляют: ρ (большой:средний); ρ ²(средний:маленький); и ρ ³(большой маленький). Внутренняя длинная грань наибольшего прямоугольника (линия разлома квадрата) делит два из четырех ребер квадрата на два сегмента, каждый из которых находится друг напротив друга в отношении ρ. Внутренняя, совпадающая короткая грань среднего прямоугольника и длинная грань малого прямоугольника делит одну другую, две ребра квадрата на два сегмента, стоящих друг к другу в отношении ρ ⁴.

Тот факт, что прямоугольник с соотношением сторон ρ ² можно использовать для разрезания квадрата на подобные прямоугольники, эквивалентно алгебраическому свойству числа ρ ² связано с теоремой Рауса–Гурвица : все ее сопряженные имеют положительную действительную часть. ^[17]^[18]

Радиус описанной окружности курносого икосододекадодекаэдра для единичной длины ребра равен

{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}

. ^[19]

История и имена [ править ]

$\rho$ впервые был изучен Акселем Туэ в 1912 году и Г.Х. Харди в 1919 году. ^[4]Французский старшеклассник Жерар Кордонье открыл для себя это соотношение в 1924 году. В переписке с Хансом ван дер Лааном несколько лет спустя он назвал его Лучистым числом ( фр . Le nombre radiant ). Ван дер Лаан первоначально называл это фундаментальным соотношением ( голландский : De grondverhouding ), используя пластиковое число ( голландский : Het plastische getal ), начиная с 1950-х годов. ^[20] В 1944 году Карл Сигел показал, что ρ — наименьшее возможное число Писо–Виджаярагхавана , и предложил назвать его в честь Туэ.

В отличие от названий золотого и серебряного пропорций , слово «пластик» предназначалось Ван дер Лааном не для обозначения конкретного вещества, а скорее в его прилагательном смысле, означающем нечто, чему можно придать трехмерную форму. ^[21] Это, по мнению Ричарда Падована , происходит потому, что характерные соотношения числа, 3/4 и 1/7 относятся . к ограничениям человеческого восприятия при соотнесении одного физического размера с другим Ван дер Лаан спроектировал церковь аббатства Св. Бенедиктусберга в 1967 году , используя эти пластиковые пропорции чисел. ^[22]

Пластиковый номер также иногда называют серебряным номером - имя, данное ему Мидхатом Дж. Газале. ^[23] и впоследствии использовался Мартином Гарднером , ^[24]но это название чаще используется для соотношения серебра $1 + \sqrt 2$ , одного из соотношений семейства металлических средств, впервые описанного Верой В. де Шпинадель . Гарднер предложил ссылаться на $ρ 2$ как «высшее фи», и Дональд Кнут создал для этого имени специальный типографский знак, вариант греческой буквы фи («φ») с поднятым центральным кругом, напоминающий грузинскую букву пари («Ⴔ»).

См. также [ править ]

Решения уравнений типа $x^{3}=x+1$ $x^{3}=x+1$ :
- Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения $x^{2}=x+1$
- Суперзолотое сечение – единственное реальное решение уравнения $x^{3}=x^{2}+1$

Ссылки [ править ]

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072117» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Табризян, Пейам (2022). «Каково соотношение пластика?» . YouTube . Проверено 26 ноября 2023 г.
^ Аартс, Ян; Фоккинк, Робберт; Крейцер, Годфрид (2001). «Морфические числа» (PDF) . Новый архив по математике . 5. 2 (1): 56–58 . Проверено 26 ноября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Панджу, Майсум (2011). «Систематическое построение почти целых чисел» (PDF) . Математический обзор Ватерлоо . 1 (2): 35–43 . Проверено 29 ноября 2023 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая постоянная» . Математический мир .
^ G-функция Рамануджана (на немецком языке)
^ Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптический интеграл сингулярного значения» . Математический мир .
^ Воэт, Кэролайн [на голландском языке] (2019). «1:7 и серия 8» . Цифровой кабинет Дома Ханса ван дер Лаана . Фонд Ван дер Лаана . Проверено 28 ноября 2023 г.
^ $В н = Па н+3$
^ Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A182097 в OEIS )
^ Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A000931 в OEIS )
^ Адамс, Уильям; Шанкс, Дэниел (1982). «Сильные тесты на простоту, которых недостаточно» . Математика. Комп . 39 (159). АМС: 255–300. дои : 10.2307/2007637 . JSTOR 2007637 .
^ (последовательность A013998 в OEIS )
^ Сигел, Энн; Тусовальднер, Йорг М. (2009). «Топологические свойства фракталов Рози» . Мемуары Математического общества Франции . 2,118 : 1–140. дои : 10.24033/msmf.430 .
^ Стюарт, Ян (1996). «Сказки о забытом числе» . Научный американец . 274 (6): 102–103. Бибкод : 1996SciAm.274f.102S . doi : 10.1038/scientificamerican0696-102 . Архивировано из оригинала 20 марта 2012 г. Обратная связь в: Стюарт, Ян (1996). «Руководство по компьютерным знакомствам». Научный американец . 275 (5): 118. Бибкод : 1996SciAm.275e.116S . дои : 10.1038/scientificamerican1196-116 .
^ Шпинадель, Вера В. де ; Редондо Буитраго, Антония (2009), «К пластическому числу Ван дер Лаана на плоскости» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 13 (2): 163–175
^ Фрейлинг, К.; Ринне, Д. (1994), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3 , MR 1295549
^ Лачкович, М.; Секерес, Г. (1995), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Discrete & Computational Geometry , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007/BF02574063 , MR 1318796
^ Вайсштейн, Эрик В. «Плосконосый икосододекадодекаэдр» . Математический мир .
^ Voet 2016 , примечание 12.
^ Шеннон, AG; Андерсон, PG; Хорадам, А.Ф. (2006). «Свойства чисел Кордонье, Перрена и Ван дер Лаана». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 37 (7): 825–831. дои : 10.1080/00207390600712554 . S2CID 119808971 .
^ Падован, Ричард (2002), «Дом Ханс ван дер Лаан и пластиковое число» , Nexus IV: Архитектура и математика , Фучеккьо (Флоренция): Книги Кима Уильямса: 181–193 .
^ Газале, Мидхат Дж. (1999). «Глава VII: Серебряный номер». Гномон: от фараонов к фракталам . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 135–150.
^ Гарднер, Мартин (2001). «Шесть сложных задач по вскрытию» (PDF) . Тренировка Гарднера . Натик, Массачусетс: АК Питерс. стр. 121–128. (Ссылка на статью Quantum 1994 года без постскриптума Гарднера.)

Дальнейшее чтение [ править ]

Лаан, ван дер, Ганс (1960), Пластический номер, Пятнадцать уроков архитектурного порядка , Лейден: Брилл .
Падован, Ричард ; Эк, Кэролайн ван ; Шипмейкер, HJ (1994), Дом Ханс ван дер Лаан: Современный примитив , Амстердам: Архитектура и природа .
Воэт, Кэролайн [на голландском языке] (2016), «Между поиском и созданием: разгадка пластического числа Дома Ханса ван дер Лаана» , Architectural History , 4 (1), Лондон: Европейская сеть истории архитектуры .

Внешние ссылки [ править ]

Пластиковый прямоугольник и последовательность Падована в Тартапелаге Джорджо Пьетроколы.
Цифровой кабинет Дома Ханса ван дер Лаана в Архиве Ван дер Лаана.
Харрисс, Эдмунд , «The Plastic Ratio» (видео) , YouTube , Брэди Харан , заархивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. , получено 15 марта 2019 г.

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072117» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[2] Табризян, Пейам (2022). «Каково соотношение пластика?» . YouTube . Проверено 26 ноября 2023 г.

[3] Аартс, Ян; Фоккинк, Робберт; Крейцер, Годфрид (2001). «Морфические числа» (PDF) . Новый архив по математике . 5. 2 (1): 56–58 . Проверено 26 ноября 2023 г.

[Panju-4] Перейти обратно: ^а ^б Панджу, Майсум (2011). «Систематическое построение почти целых чисел» (PDF) . Математический обзор Ватерлоо . 1 (2): 35–43 . Проверено 29 ноября 2023 г.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая постоянная» . Математический мир .

[6] G-функция Рамануджана (на немецком языке)

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптический интеграл сингулярного значения» . Математический мир .

[8] Воэт, Кэролайн [на голландском языке] (2019). «1:7 и серия 8» . Цифровой кабинет Дома Ханса ван дер Лаана . Фонд Ван дер Лаана . Проверено 28 ноября 2023 г.

[9] $В н = Па н+3$

[oeisGF-10] Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A182097 в OEIS )

[oeispado-11] Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A000931 в OEIS )

[12] Адамс, Уильям; Шанкс, Дэниел (1982). «Сильные тесты на простоту, которых недостаточно» . Математика. Комп . 39 (159). АМС: 255–300. дои : 10.2307/2007637 . JSTOR 2007637 .

[13] (последовательность A013998 в OEIS )

[14] Сигел, Энн; Тусовальднер, Йорг М. (2009). «Топологические свойства фракталов Рози» . Мемуары Математического общества Франции . 2,118 : 1–140. дои : 10.24033/msmf.430 .

[15] Стюарт, Ян (1996). «Сказки о забытом числе» . Научный американец . 274 (6): 102–103. Бибкод : 1996SciAm.274f.102S . doi : 10.1038/scientificamerican0696-102 . Архивировано из оригинала 20 марта 2012 г. Обратная связь в: Стюарт, Ян (1996). «Руководство по компьютерным знакомствам». Научный американец . 275 (5): 118. Бибкод : 1996SciAm.275e.116S . дои : 10.1038/scientificamerican1196-116 .

[16] Шпинадель, Вера В. де ; Редондо Буитраго, Антония (2009), «К пластическому числу Ван дер Лаана на плоскости» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 13 (2): 163–175

[17] Фрейлинг, К.; Ринне, Д. (1994), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3 , MR 1295549

[18] Лачкович, М.; Секерес, Г. (1995), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Discrete & Computational Geometry , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007/BF02574063 , MR 1318796

[19] Вайсштейн, Эрик В. «Плосконосый икосододекадодекаэдр» . Математический мир .

[FOOTNOTEVoet2016note_12-20] Voet 2016 , примечание 12.

[21] Шеннон, AG; Андерсон, PG; Хорадам, А.Ф. (2006). «Свойства чисел Кордонье, Перрена и Ван дер Лаана». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 37 (7): 825–831. дои : 10.1080/00207390600712554 . S2CID 119808971 .

[22] Падован, Ричард (2002), «Дом Ханс ван дер Лаан и пластиковое число» , Nexus IV: Архитектура и математика , Фучеккьо (Флоренция): Книги Кима Уильямса: 181–193 .

[23] Газале, Мидхат Дж. (1999). «Глава VII: Серебряный номер». Гномон: от фараонов к фракталам . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 135–150.

[24] Гарднер, Мартин (2001). «Шесть сложных задач по вскрытию» (PDF) . Тренировка Гарднера . Натик, Массачусетс: АК Питерс. стр. 121–128. (Ссылка на статью Quantum 1994 года без постскриптума Гарднера.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]