Соотношение суперсеребряных монет

Соотношение суперсеребряных монет

Суперсеребряный прямоугольник содержит две масштабированные копии самого себя, ς = (( ς − 1) 2 + 2( с − 1) + 1) / с
Рациональность	иррациональный алгебраический
Символ	с
Представительства
десятичный	2.20556 94304 00590 31170 20286 ...
Алгебраическая форма	действительный корень х 3 = 2 х 2 + 1
Цепная дробь (линейная)	[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,...] не периодический бесконечный

В математике соотношение суперсеребряна — это геометрическая пропорция, близкая к 75/34 . Его истинное значение — это действительное решение уравнения x ³ = 2 х ² + 1.

Название «суперсеребряный коэффициент» происходит по аналогии с соотношением серебра , положительным решением уравнения x. ² = 2 x + 1 и суперзолотое сечение .

Определение

Две величины a > b > 0 находятся в квадрате отношения суперсеребра, если

$\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}$.

Соотношение ${\frac {2a+b}{a}}$ здесь обозначается $\varsigma .$

На основе этого определения имеется

${\begin{aligned}1&=\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {2a+b}{a}}-2\right)\\&\implies \varsigma ^{2}\left(\varsigma -2\right)=1\end{aligned}}$

Отсюда следует, что соотношение суперсеребряна находится как единственное вещественное решение кубического уравнения $\varsigma ^{3}-2\varsigma ^{2}-1=0.$ Десятичное разложение корня начинается как $2.205\,569\,430\,400\,590...$ (последовательность A356035 в OEIS ).

Минимальным полиномом для обратного корня является вдавленная кубическая $x^{3}+2x-1,$ таким образом, самое простое решение с формулой Кардано :

$w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {59}{3}}}\right)/2$

$1/\varsigma ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}$

или, используя гиперболический синус ,

$1/\varsigma =-2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\right).$

$1/\varsigma$ — сверхстабильная фиксированная точка итерации $x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+2).$

Перепишем минимальный полином как $(x^{2}+1)^{2}=1+x$, то итерация $x\gets {\sqrt {-1+{\sqrt {1+x}}}}$ приводит к продолжению радикального

$1/\varsigma ={\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}\;$

Деление определяющего трехчлена $x^{3}-2x^{2}-1$ к $x-\varsigma$ получается $x^{2}+x/\varsigma ^{2}+1/\varsigma$, а сопряженные элементы $\varsigma$ являются

$x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {8\varsigma ^{2}+3}}\right)/2\varsigma ^{2},$

с $x_{1}+x_{2}=2-\varsigma \;$ и $\;x_{1}x_{2}=1/\varsigma .$

Свойства

Прямоугольники с соотношением сторон, связанным со степенями ς, замостили квадрат.

Скорость роста среднего значения n-го члена случайной последовательности Фибоначчи равна $\varsigma -1$.

Коэффициент суперсеребряности можно выразить в виде бесконечной геометрической прогрессии.

$\varsigma =2\sum _{k=0}^{\infty }\varsigma ^{-3k}$ и $\,\varsigma ^{2}=-1+\sum _{k=0}^{\infty }(\varsigma -1)^{-k},$

по сравнению с соотношения серебра тождествами

$\sigma =2\sum _{k=0}^{\infty }\sigma ^{-2k}$ и $\,\sigma ^{2}=-1+2\sum _{k=0}^{\infty }(\sigma -1)^{-k}.$

Для каждого целого числа $n$ у одного есть

${\begin{aligned}\varsigma ^{n}&=2\varsigma ^{n-1}+\varsigma ^{n-3}\\&=4\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+2\varsigma ^{n-4}\\&=\varsigma ^{n-1}+2\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+\varsigma ^{n-4}.\end{aligned}}$

Непрерывная дробная структура нескольких малых степеней

$\varsigma ^{-2}=[0;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 0.2056$ ( 5/24 )

$\varsigma ^{-1}=[0;2,4,1,6,2,1,1,1,1,1,...]\approx 0.4534$ ( 5/11 )

$\ \varsigma ^{0}=[1]$

$\varsigma ^{1}=[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 2.2056$ ( 53/24 )

$\varsigma ^{2}=[4;1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,...]\approx 4.8645$ ( 73/15 )

$\varsigma ^{3}=[10;1,2,1,2,4,4,2,2,6,2,...]\approx 10.729$ ( 118/11 )

Коэффициент суперсеребряности представляет собой число Писо . Поскольку абсолютное значение $1/{\sqrt {\varsigma }}$ алгебраических сопряжений меньше 1, степени $\varsigma$ генерировать почти целые числа . Например: $\varsigma ^{10}=2724.00146856...\approx 2724+1/681.$ После десяти шагов вращения фазы внутренней спиралевидной сопряженной пары – первоначально близкие к $\pm 45\pi /82$ – почти совпадает с воображаемой осью.

Минимальный полином отношения суперсеребряна $m(x)=x^{3}-2x^{2}-1$ имеет дискриминант $\Delta =-59$ и факторы в $(x-21)^{2}(x-19){\pmod {59}};\;$ мнимое квадратичное поле $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})$ есть номер класса $h=3.$ Таким образом, классов Гильберта поле $K$ может быть образован путем присоединения $\varsigma .$С аргументом $\tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,$ генератор кольца целых чисел $K$действительный корень   j ( τ ) полинома класса Гильберта определяется выражением $(\varsigma ^{-6}-27\varsigma ^{6}-6)^{3}.$

Инвариант класса Вебера-Рамануджана аппроксимируется с ошибкой < 3,5 ∙ 10. ⁻²⁰ к

${\sqrt {2}}\,{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})={\sqrt[{4}]{2}}\,G_{59}\approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24},$

в то время как его истинное значение - это единственный действительный корень многочлена

$W_{59}(x)=x^{9}-4x^{8}+4x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+16x-8.$

Эллиптический интеграл сингулярного значения $k_{r}=\lambda ^{*}(r)$ для $r=59$ имеет выражение закрытой формы

$\lambda ^{*}(59)=\sin(\arcsin \left(G_{59}^{-12}\right)/2)$

(что меньше 1/294 эксцентриситета орбиты Венеры).

третьего

Hop o'my Thumb : суперсеребряный фрактал Рози типа a ↦ baa. Центральный тайл и три его субтайла имеют площади в соотношениях ς 2 + с + 1 : с 2 : с :1.

Суперсеребряный фрактал Рози типа c ↦ bca, с площадями в отношениях ς 2 + 1 : σ ( σ - 1) : σ : 1.

Эти числа связаны с соотношением суперсеребра так же, как числа Пелла и числа Пелла-Люкаса связаны с соотношением серебра .

Фундаментальная последовательность определяется рекуррентным соотношением третьего порядка

$S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-3}$ для n > 2 ,

с начальными значениями

$S_{0}=1,S_{1}=2,S_{2}=4.$

Первые несколько терминов: 1, 2, 4, 9, 20, 44, 97, 214, 472, 1041, 2296, 5064,... (последовательность A008998 в OEIS ).Предельное соотношение между последовательными сроками - это соотношение суперсеребряного.

Первые 8 индексов n, для которых $S_{n}$ является простым: n = 1, 6, 21, 114, 117, 849, 2418, 6144. Последнее число имеет 2111 десятичных цифр.

Последовательность можно расширить до отрицательных индексов, используя

$S_{n}=S_{n+3}-2S_{n+2}$.

последовательности Производящая функция определяется выражением

${\frac {1}{1-2x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}$ для $x<1/\varsigma \;.$

Числа Пелля третьего порядка связаны с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

$S_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}\cdot 2^{n-3k}\;$.

Характеристическое уравнение рекуррентности имеет вид $x^{3}-2x^{2}-1=0.$ Если три решения являются настоящим корнем $\alpha$ и сопряженная пара $\beta$ и $\gamma$числа суперсеребряных чисел можно вычислить по формуле Бине

$S_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},$ с реальным $a$ и конъюгаты $b$ и $c$ корни $59x^{3}+4x-1=0.$

С $\left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}$ и $\alpha =\varsigma ,$ число $S_{n}$ является ближайшим целым числом к $a\,\varsigma ^{n+2},$ с n ≥ 0 и $a=\varsigma /(2\varsigma ^{2}+3)=$ 0.17327 02315 50408 18074 84794...

Коэффициенты $a=b=c=1$ получите формулу Бине для связанной последовательности $A_{n}=S_{n}+2S_{n-3}.$

Первые несколько членов — 3, 2, 4, 11, 24, 52, 115, 254, 560, 1235, 2724, 6008,... (последовательность A332647 в OEIS ).

Эта последовательность Пелля-Люкаса третьего порядка обладает свойством Ферма : если p простое число, $A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}.$ Обратное неверно, но малое число нечетных псевдопростых чисел $\,n\mid (A_{n}-2)$ делает последовательность особенной. 14 нечетных составных чисел ниже 10 ⁸ пройти тест могут n = 3 ² , 5 ² , 5 ³ , 315, 99297, 222443, 418625, 9122185, 3257 ² , 11889745, 20909625, 24299681, 64036831, 76917325.

Пилигрим : суперсеребряный фрактал Рози типа a ↦ аба, с площадями в отношениях ς ⁴ − с ³ − с ² : с ² : с :1.

Числа Пелля третьего порядка получаются как целые степени n > 3 матрицы . с действительным собственным значением $\varsigma$

$Q={\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$

$Q^{n}={\begin{pmatrix}S_{n}&S_{n-2}&S_{n-1}\\S_{n-1}&S_{n-3}&S_{n-2}\\S_{n-2}&S_{n-4}&S_{n-3}\end{pmatrix}}$

След ​ ​ $Q^{n}$ дает вышеизложенное $A_{n}.$

Альтернативно, $Q$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для системы D0L Линденмайера в алфавите. $\{a,b,c\}$ с соответствующим правилом замены

${\begin{cases}a\;\mapsto \;aab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}$

и инициатор $w_{0}=b$. Серия слов $w_{n}$ произведенные путем итерации замены, обладают тем свойством, что количество c, b и a равно последовательным числам Пелля третьего порядка. Длины этих слов определяются выражением $l(w_{n})=S_{n-2}+S_{n-3}+S_{n-4}.$

С этим процессом перезаписи строк связан компактный набор, состоящий из самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в трехбуквенной последовательности нескольких поколений.

Суперсеребряный прямоугольник

Степени ς внутри суперсеребряного прямоугольника.

Суперсеребряный прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в $\varsigma :1$ соотношение. По сравнению с серебряным прямоугольником , содержащим одну собственную масштабированную копию, суперсеребряный прямоугольник имеет на одну степень самоподобия больше .

Дан прямоугольник высотой 1 и длиной $\varsigma$. С правой стороны отрежьте квадрат со стороной 1 и отметьте место пересечения нисходящей диагональю. Оставшийся прямоугольник теперь имеет соотношение сторон. $1+1/\varsigma ^{2}:1$ (в соответствии с $\varsigma =2+1/\varsigma ^{2}$). Разделите исходный прямоугольник на четыре части вторым горизонтальным разрезом, проходящим через точку пересечения.

По диагонали расположены два суперсеребряных прямоугольника. Исходный прямоугольник и масштабированные копии имеют длины диагоналей в соотношениях $\varsigma /(\varsigma -1):(\varsigma -1):1$ или, что то же самое, области $\varsigma ^{2}/(\varsigma -1)^{2}:(\varsigma -1)^{2}:1.$ Площади прямоугольников, лежащих против диагонали, равны $(\varsigma -1)/\varsigma ,$ с соотношением сторон $\varsigma +1/\varsigma$ (ниже) и $\varsigma /(\varsigma -1)$ (выше).

Этот процесс можно повторить в самом маленьком прямоугольнике из суперсеребряного серебра в масштабе $1:\varsigma .$

См. также

• Решения уравнений типа $x^{3}=2x^{2}+1$:
  • Соотношение серебра – единственное положительное решение уравнения $x^{2}=2x+1$
  • Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения $x^{2}=x+1$
  • Суперзолотое сечение – единственное реальное решение уравнения $x^{3}=x^{2}+1$