Соотношение серебра

Соотношение серебра
	Серебряный прямоугольник
Представительства
десятичный	2.41421 35623 73095 0488...
Алгебраическая форма	1 + √ 2
Непрерывная дробь

В математике две величины входят в соотношение серебра (или среднее серебро ) ^[1]^[2] если отношение большей из этих двух величин к меньшему количеству такое же, как отношение суммы меньшего количества плюс удвоенное большее количество к большему количеству (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональную математическую константу , значение которой, равное единице плюс квадратный корень из 2, составляет примерно 2,4142135623. Его название является намеком на золотое сечение ; аналогично тому, как золотое сечение является предельным соотношением последовательных чисел Фибоначчи , серебряное сечение является предельным соотношением последовательных чисел Пелла . Коэффициент серебра иногда обозначается как $δ S$ , но он может варьироваться от $λ$ до $σ$ .

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, до недавнего времени не давая специального названия) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его дробями, квадратными треугольными числами , числами Пелла, восьмиугольниками и тому подобным.

Описанное выше соотношение можно выразить алгебраически при a > b:

{\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}

или эквивалентно,

2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}

Коэффициент серебра также можно определить с помощью простой цепной дроби [2; 2, 2, 2, ...]:

2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}

этой Подходящие дроби цепной дроби ( ⁠ 2 / 1 ⁠ , ⁠ 5 / 2 ⁠ , ⁠ 12 / 5 ⁠ , ⁠ 29 / 12 ⁠ , ⁠ 70/29 ...) — ⁠ , отношения последовательных чисел Пелля. Эти дроби обеспечивают точные рациональные аппроксимации соотношения серебра, аналогично аппроксимации золотого сечения отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с правильным восьмиугольником . Если правильный восьмиугольник разбить на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: $δS δ$ , а 4 стороны трапеций находятся в соотношении 1:1:1: $. С.$ Если длина ребра правильного восьмиугольника равна $t$ , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен $δ S t$ , а площадь восьмиугольника равна $2 δ S t. 2$ . ^[3]

Расчет

Для сравнения, две величины a , b с a > b > 0 называются золотым сечением $φ,$ если:

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi

Однако они находятся в соотношении серебра $δ S$ , если

{\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}.

Эквивалентно,

2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}

Поэтому,

2+{\frac {1}{\delta _{S}}}=\delta _{S}.

Умножение на $δ S$ и перестановка дает

{\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0.

Используя квадратичную формулу , можно получить два решения. Поскольку $δ S$ представляет собой отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому

\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2.41421356237\dots

Характеристики

Теоретико-числовые свойства

Отношение серебра представляет собой число Писо – Виджаярагавана (число PV), как его сопряженное $1 - \sqrt 2 = ⁠ -1 / δ S ⁠ \approx -0,41421$ имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе наименьшее квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает расстояние от $δ н S$ до ближайшего целого числа $⁠ 1 / д н S ⁠ \approx 0.41421 н$ . Таким образом, последовательность дробных δ $частей н S$ , $n = 1, 2, 3, ...$ (принимаемые за элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1 .

Полномочия

Низшие степени отношения серебра равны

\delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 0.41421

\delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1

\delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421

\delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842

\delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107

\delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056

Полномочия продолжаются по образцу

\delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}

где

K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}

Например, используя это свойство:

\delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219

Используя $K 0 = 1$ и $K 1 = 2$ в качестве начальных условий, формула типа Бине получается в результате решения рекуррентного соотношения

K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}

который становится

K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)

Тригонометрические свойства

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими соотношениями для $⁠ π / 8 ⁠ = 22.5°$ .

\tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}

\cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника со стороной $a$ определяется выражением

A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.

См. также

Ссылки

^ Вера В. де Шпинадель (1999). Семейство металлических средств , Висмат 1(3) из Математического института Сербской академии наук и искусств .
^ де Шпинадель, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн» . Нексус II: Архитектура и математика . Фучеккьо (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.
^ Капуста, Янош (2004), «Квадрат, круг и золотая пропорция: новый класс геометрических построений» (PDF) , Форма , 19 : 293–313 .

Дальнейшее чтение

Буитраго, Антония Редондо (2008). «Многоугольники, диагонали и бронзовое среднее», Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика , стр.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Серебряное сечение» . Математический мир .
« Введение в непрерывные дроби: серебряные средние. Архивировано 8 декабря 2018 г. в Wayback Machine », числа Фибоначчи и золотое сечение .
« Серебряный прямоугольник и его последовательность » в Тартапелаго Джорджо Пьетрокола

[1] Вера В. де Шпинадель (1999). Семейство металлических средств , Висмат 1(3) из Математического института Сербской академии наук и искусств .

[2] де Шпинадель, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн» . Нексус II: Архитектура и математика . Фучеккьо (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.

[kapusta-3] Капуста, Янош (2004), «Квадрат, круг и золотая пропорция: новый класс геометрических построений» (PDF) , Форма , 19 : 293–313 .

[1]

[2]

[3]

v т и Дроби и соотношения
	Division and ratio	Dividend ÷ Divisor = Quotient
	Fraction	⁠Numerator/Denominator⁠ = Quotient
	Algebraic Aspect Binary Continued Decimal Dyadic Egyptian Golden Silver Integer Irreducible Reduction Just intonation LCD Musical interval Paper size Percentage Unit