Золотой прямоугольник

В геометрии золотой прямоугольник — это прямоугольник , длины сторон которого находятся в золотом сечении . $1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , что $1:\varphi$ (греческая буква фи), где $\varphi$ составляет примерно 1,618.

Золотые прямоугольники демонстрируют особую форму самоподобия : все прямоугольники, созданные путем добавления квадрата к стороне или удаления квадрата с конца золотого прямоугольника, также являются золотыми прямоугольниками.

Строительство

Золотой прямоугольник можно построить с помощью линейки и циркуля в четыре этапа:

Нарисуйте квадрат
Проведите линию от середины одной стороны квадрата к противоположному углу.
Используйте эту линию в качестве радиуса, чтобы нарисовать дугу, определяющую высоту прямоугольника.
Завершите золотой прямоугольник

Отличительной особенностью этой формы является то, что при добавлении или удалении квадратного сечения продукт представляет собой еще один золотой прямоугольник с тем же соотношением сторон , что и первый. Добавление или удаление квадратов можно повторять бесконечно, и в этом случае соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек золотой спирали , уникальной логарифмической спирали с этим свойством. Диагональные линии, проведенные между первыми двумя порядками встроенных золотых прямоугольников, будут определять точку пересечения диагоналей всех встроенных золотых прямоугольников; Клиффорд А. Пиковер назвал эту точку «Глазом Бога». ^[2]

На практике простой метод построения на заказ возможен с использованием только линейки, угольника и калькулятора.

Ограничив значение Фи до 3 десятичных знаков (φ = 1,618), можно описать визуально точный золотой прямоугольник на основе длины или высоты с погрешностью всего 1 миллиметр на метр:

Предположим, что короткая сторона прямоугольника равна «а», а длинная сторона — «ab».

Если «a» известно, то «ab» будет длиной «a», увеличенной на 61,8%, т.е.: ab = a + 61,8% (через калькулятор) или ab = (ax 1,618) вручную.
Если «ab» известно, то «a» будет длиной «ab», уменьшенной на 38,2%, т.е.: a = ab - 38,2% (через калькулятор) или a = ab – (ab x .382) вручную.

История

Пропорции золотого прямоугольника наблюдались еще в Вавилонской Табличке Шамаша (ок. 888–855 до н. э.). ^[3]^[4] хотя Марио Ливио называет любые знания о золотом сечении древними греками «сомнительными». ^[5]

По словам Ливио, с момента публикации « Луки Пачоли в Божественной пропорции» 1509 году «золотое сечение стало доступно художникам в теоретических трактатах, которые не были слишком математическими и которые они могли действительно использовать». ^[6]

1927 года, Вилла Штайн спроектированная Ле Корбюзье , в архитектуре которой используется золотое сечение , имеет размеры, близкие к золотым прямоугольникам. ^[7]

Связь с правильными многоугольниками и многогранниками.

Построение полузолотого прямоугольника (центрального прямоугольного треугольника) из многоугольников

Три золотых прямоугольника в икосаэдре

Евклид предлагает альтернативную конструкцию золотого прямоугольника, используя три многоугольника, описанных равными окружностями: правильный десятиугольник , шестиугольник и пятиугольник . Соответствующие длины a , b и c сторон этих трех многоугольников удовлетворяют уравнению a ² + б ² = с ², поэтому отрезки с такими длинами образуют прямоугольный треугольник (по обратной теореме Пифагора ). Отношение длины стороны шестиугольника к десятиугольнику является золотым сечением, поэтому этот треугольник образует половину золотого прямоугольника. ^[8]

Выпуклая оболочка из двух противоположных ребер правильного икосаэдра образует золотой прямоугольник. Таким образом, двенадцать вершин икосаэдра можно разложить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых связаны по образцу колец Борромео . ^[9]

См. также

Число Фибоначчи — числа, полученные сложением двух предыдущих.
Золотой угол — круг с секторами в золотом сечении.
Золотой ромб – Ромб с диагоналями в золотом сечении.
Треугольник Кеплера - прямоугольный треугольник, связанный с золотым сечением.
Соотношение серебра – соотношение чисел примерно 1:2,4.
Коэффициент пластичности - алгебраическое число, примерно 1,3247.
Суперзолотое сечение – алгебраическое целое число, примерно 1,46557.
Рабатмент прямоугольника – вырезание квадрата из прямоугольника.

Примечания

^ $({\tfrac {1}{2}})^{2}+1^{2}={\tfrac {5}{2^{2}}}$

Ссылки

^ Посаментье, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2011). Славное золотое сечение . Книги Прометея . п. 11 . ISBN 9-781-61614-424-1 .
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Broadway Books . п. 85 . ISBN 0-7679-0816-3 .
^ Олсен, Скотт (2006). Золотое сечение: величайшая тайна природы . Гластонбери: Деревянные книги. п. 3 . ISBN 978-1-904263-47-0 .
^ Ван Мерсберген, Одри М., Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с помощью философской полемики , Communication Quarterly , Vol. 46, 1998 («Золотой прямоугольник» имеет соотношение длин сторон, равное 1:1,61803+. Парфенон имеет такие размеры.»)
^ Ливио, Марио . «Золотое сечение в искусстве: в значительной степени опираясь на золотое сечение» (PDF) . п. 6 . Проверено 11 сентября 2019 г.
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Broadway Books . п. 136 . ISBN 0-7679-0816-3 .
^ Ле Корбюзье, Модулер , с. 35, цитируется по Падовану Ричарду «Пропорция: наука, философия, архитектура» (1999), стр. 35. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-419-22780-6 : «И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение».
^ Евклид, Элементы Евклида | Элементы , Книга XIII, Предложение 10 .
^ Бургер, Эдвард Б.; Старберд, Майкл П. (2005). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Спрингер. п. 382. ИСБН 9781931914413 . .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Золотой прямоугольник» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Золотое сечение» . Математический мир .
Золотая середина и физика эстетики
Демонстрация золотого прямоугольника с интерактивной анимацией
От золотого прямоугольника к золотым четырехугольникам. Исследует несколько возможных золотых четырехугольников.

[1] $({\tfrac {1}{2}})^{2}+1^{2}={\tfrac {5}{2^{2}}}$

[2] Посаментье, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2011). Славное золотое сечение . Книги Прометея . п. 11 . ISBN 9-781-61614-424-1 .

[3] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Broadway Books . п. 85 . ISBN 0-7679-0816-3 .

[4] Олсен, Скотт (2006). Золотое сечение: величайшая тайна природы . Гластонбери: Деревянные книги. п. 3 . ISBN 978-1-904263-47-0 .

[5] Ван Мерсберген, Одри М., Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с помощью философской полемики , Communication Quarterly , Vol. 46, 1998 («Золотой прямоугольник» имеет соотношение длин сторон, равное 1:1,61803+. Парфенон имеет такие размеры.»)

[6] Ливио, Марио . «Золотое сечение в искусстве: в значительной степени опираясь на золотое сечение» (PDF) . п. 6 . Проверено 11 сентября 2019 г.

[livio-7] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Broadway Books . п. 136 . ISBN 0-7679-0816-3 .

[8] Ле Корбюзье, Модулер , с. 35, цитируется по Падовану Ричарду «Пропорция: наука, философия, архитектура» (1999), стр. 35. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-419-22780-6 : «И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение».

[9] Евклид, Элементы Евклида | Элементы , Книга XIII, Предложение 10 .

[10] Бургер, Эдвард Б.; Старберд, Майкл П. (2005). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Спрингер. п. 382. ИСБН 9781931914413 . .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]