Золотой угол

В геометрии золотой угол — это меньший из двух углов, образованных путем сечения окружности в соответствии с золотым сечением ; то есть на две дуги так, чтобы отношение длины меньшей дуги к длине большей дуги было таким же, как отношение длины большей дуги к полной окружности круга.

Алгебраически, пусть a+b — длина окружности , разделенной на более длинную дугу длины a и меньшую дугу длины b такую, что

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}

Золотой угол — это угол, образованный меньшей дугой длиной b . Его размеры составляют приблизительно 137,5077640500378546463487 ...° OEIS : A096627 или в радианах 2,39996322972865332... OEIS : A131988 .

Название происходит от связи золотого угла с золотым сечением φ ; точное значение золотого угла

360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}

или

2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},

где эквивалентности следуют из известных алгебраических свойств золотого сечения.

Поскольку его синус и косинус являются трансцендентными числами , золотой угол невозможно построить с помощью линейки и циркуля . ^[1]

Вывод [ править ]

Золотое сечение равно φ = a / b с учетом вышеуказанных условий.

Пусть ƒ будет частью окружности, образуемой золотым углом, или, что то же самое, золотым углом, разделенным на угловое измерение круга.

f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.

Но поскольку

{1+\varphi }=\varphi ^{2},

отсюда следует, что

f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}

Это эквивалентно тому, что φ ² золотые углы могут поместиться в круг.

Следовательно, доля круга, занимаемая золотым углом, равна

f\approx 0.381966.\,

Таким образом, золотой угол g можно численно аппроксимировать в градусах следующим образом:

g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,

или в радианах как:

g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,

Золотой угол в природе [ править ]

Золотой угол играет значительную роль в теории филлотаксиса ; например, золотой угол — это угол, цветки подсолнуха разделяющий . ^[2] Анализ рисунка показывает, что он очень чувствителен к углу, разделяющему отдельные зачатки , причем угол Фибоначчи дает парастихию с оптимальной плотностью упаковки. ^[3]

Математическое моделирование вероятного физического механизма развития цветков показало закономерность, возникающую спонтанно в результате решения нелинейного уравнения в частных производных на плоскости. ^[4]^[5]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Фрейтас, Педро Х. (25 января 2021 г.). «Золотой угол невозможно построить». arXiv : 2101.10818v1 [ math.HO ].
^ Дженнифер Чу (12 января 2011 г.). «А вот и солнце» . Новости МТИ . Проверено 22 апреля 2016 г.
^ Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6 .
^ Пеннибакер, Мэтью; Ньюэлл, Алан К. (13 июня 2013 г.). «Филлотаксис, толкающие фронты, образующие узор, и оптимальная упаковка» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (24): 248104. arXiv : 1301.4190 . Бибкод : 2013PhRvL.110x8104P . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.248104 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25165965 .
^ «Подсолнухи и Фибоначчи: модели эффективности» . Это математика . 05.06.2014 . Проверено 23 мая 2020 г.

Фогель, Х (1979). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4 .
Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений . Спрингер-Верлаг. стр. 101–107 . ISBN 978-0-387-97297-8 .

Внешние ссылки [ править ]

Золотой угол в MathWorld

[1] Фрейтас, Педро Х. (25 января 2021 г.). «Золотой угол невозможно построить». arXiv : 2101.10818v1 [ math.HO ].

[2] Дженнифер Чу (12 января 2011 г.). «А вот и солнце» . Новости МТИ . Проверено 22 апреля 2016 г.

[3] Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6 .

[4] Пеннибакер, Мэтью; Ньюэлл, Алан К. (13 июня 2013 г.). «Филлотаксис, толкающие фронты, образующие узор, и оптимальная упаковка» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (24): 248104. arXiv : 1301.4190 . Бибкод : 2013PhRvL.110x8104P . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.248104 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25165965 .

[5] «Подсолнухи и Фибоначчи: модели эффективности» . Это математика . 05.06.2014 . Проверено 23 мая 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]