Золотая спираль

В геометрии золотая спираль — это логарифмическая спираль , коэффициент роста которой равен $φ$ , золотому сечению . ^[1] То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в $φ$ раз на каждую четверть оборота.

Приближения золотой спирали

Приблизительные и настоящие золотые спирали: зеленая спираль состоит из четвертей круга, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль представляет собой золотую спираль, особый тип логарифмической спирали . Перекрывающиеся части отображаются желтым цветом . Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом сечении . Для квадрата со стороной 1 следующий меньший квадрат имеет ширину 1/φ . Следующая ширина — 1/φ² , затем 1/φ³ и так далее.

Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приближаются к золотой спирали, но не совсем равны ей. ^[2]

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника , для которого соотношение ее длины и ширины является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разделить на квадрат и аналогичный ему прямоугольник, а затем этот прямоугольник можно разделить таким же образом. Продолжив этот процесс произвольное количество шагов, результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертькругами . Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью , очень похож на золотую спираль. ^[2]

Другое приближение — спираль Фибоначчи , которая устроена несколько иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом этапе к прямоугольнику добавляется квадрат длиной с самую длинную сторону прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению по мере того, как числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится более похожей на предыдущее приближение, чем больше добавляется квадратов, как показано на изображении.

Спирали в природе

Иногда ошибочно утверждают, что спиральные галактики и оболочки наутилусов расширяются по образцу золотой спирали и, следовательно, связаны как с $φ$ , так и с рядом Фибоначчи. ^[3]По правде говоря, многие раковины моллюсков , включая раковины наутилусов, демонстрируют логарифмический спиральный рост, но под разными углами, обычно заметно отличающимися от углов золотой спирали. ^[4]^[5]^[6] Хотя спиральные галактики часто моделируются как логарифмические спирали, спирали Архимеда или гиперболические спирали , их питч-углы изменяются в зависимости от расстояния от центра галактики, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол не меняется), а также в отличие от других математических спиралей. спирали, используемые для их моделирования. ^[7]Филлотаксис , образец роста растений, в некоторых случаях связан с золотым сечением, поскольку он включает в себя последовательные листья или лепестки, разделенные золотым углом . Хотя иногда это может быть связано со спиральными формами, например, в подсолнечника . головках семян ^[8] они более тесно связаны со спиралями Ферма, чем с логарифмическими спиралями. ^[9]

Математика

Золотая спираль с начальным радиусом 1 является местом расположения точек полярных координат. $(r,\theta )$ удовлетворяющий $r=\varphi ^{2\theta /\pi },$ где $\varphi$ является золотым сечением.

Полярное уравнение для золотой спирали такое же, как и для других логарифмических спиралей , но с особым значением коэффициента роста $b$ : ^[10] $r=ae^{b\theta }$ или $\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$ где $e$ — основание натуральных логарифмов , $a$ — начальный радиус спирали, а $b$ такое, что, когда $θ$ — прямой угол (четверть оборота в любом направлении): $e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .$

Следовательно, $b$ определяется выражением $b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.$

Числовое значение $b$ зависит от того, измеряется ли прямой угол как 90 градусов или как $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ радианы ; а поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения $b$ (т. е. $b$ также может быть отрицательным значением этого значения): $|b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468$ для $θ$ в градусах или $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489$ для $θ$ в радианах. ^[11]

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали: ^[12] $r=ac^{\theta }$ где константа $c$ определяется выражением $c=e^{b}$ что для золотой спирали дает $c$ значения $c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611$ если $θ$ измеряется в градусах, и $c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456$ если $θ$ измеряется в радианах. ^[13]

По отношению к логарифмическим спиралям золотая спираль обладает отличительным свойствомчто для четырех коллинеарных спиральных точек A , B , C , D, принадлежащих аргументам $θ$ , $θ + π$ , $θ + 2π$ , $θ + 3π$ точка C является проективно-гармонической сопряженной точкой B относительно A , D , т.е. перекрестное отношение ( A , D ; B , C ) имеет сингулярное значение −1. Золотая спираль — единственная логарифмическая спираль с ( A , D ; B , C ) = ( A , D ; C , B ).

Полярный склон

В полярном уравнении логарифмической спирали : $r=ae^{b\theta }$ параметр $b$ связан с углом наклона полюса $\alpha$ : $\tan \alpha =b.$

В золотой спирали, $b$ постоянен и равен $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ (для $θ$ в радианах, как определено выше), угол наклона $\alpha$ является $\alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),$ следовательно $\alpha \doteq 17.03239113$ если измеряется в градусах, или $\alpha \doteq 0.2972713047$ если измерять в радианах. ^[14]

Его дополнительный угол $\beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022$ в радианах или $\beta =90-\alpha \doteq 73$ в градусах — угол, образуемый золотыми спиральными рукавами с линией, идущей от центра спирали.

См. также

Ссылки

^ Чанг, Ю-сун, « Золотая спираль, архивировано 28 июля 2019 г. в Wayback Machine », Демонстрационный проект Wolfram .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мэдден, Чарльз Б. (2005) [1999]. Фибо и Фи в музыке: музыкальная форма золотой пропорции . Высокое Искусство Пресс. стр. 14–16. ISBN 978-0967172767 .
^ Например, эти книги: Ян CA Бойенс (2009). Химия из первых принципов . Спрингер. п. 261. ИСБН 9781402085451 . , Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры . ХарперКоллинз. п. 162. ИСБН 978-0062024473 . , Чарльз Сейф (2000). Ноль: Биография опасной идеи . Пингвин. п. 40 . ISBN 978-0140296471 . , Сандра Кинс (2008). Морская магия: соединение с энергией океана . Ллевеллин по всему миру. п. 100. ИСБН 9780738713533 . , Брюс Бургер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание . Североатлантические книги. п. 144. ИСБН 9781556432248 .
^ Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона . Джон Уайли и сыновья. п. 188. ИСБН 9780471270478 .
^ Девлин, Кейт (май 2007 г.). «Миф, который не исчезнет» . Архивировано из оригинала 12 ноября 2020 г. Проверено 9 декабря 2013 г.
^ Петерсон, Иварс (1 апреля 2005 г.). «Спирали морских ракушек» . Новости науки . Общество науки и общественности. Архивировано из оригинала 3 октября 2012 г. Проверено 8 октября 2011 г.
^ Савченко, С.С.; Решетников, В.П. (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла наклона в спиральных галактиках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . дои : 10.1093/mnras/stt1627 .
^ Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6 .
^ Фогель, Хельмут (июнь 1979 г.). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4 .
^ Прия Хеменвей (2005). Божественная пропорция: $Φ$ Фи в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co., стр. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212225» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Клаус Майнцер (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. стр. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212224» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A335605» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1] Чанг, Ю-сун, « Золотая спираль, архивировано 28 июля 2019 г. в Wayback Machine », Демонстрационный проект Wolfram .

[madden-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мэдден, Чарльз Б. (2005) [1999]. Фибо и Фи в музыке: музыкальная форма золотой пропорции . Высокое Искусство Пресс. стр. 14–16. ISBN 978-0967172767 .

[3] Например, эти книги: Ян CA Бойенс (2009). Химия из первых принципов . Спрингер. п. 261. ИСБН 9781402085451 . , Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры . ХарперКоллинз. п. 162. ИСБН 978-0062024473 . , Чарльз Сейф (2000). Ноль: Биография опасной идеи . Пингвин. п. 40 . ISBN 978-0140296471 . , Сандра Кинс (2008). Морская магия: соединение с энергией океана . Ллевеллин по всему миру. п. 100. ИСБН 9780738713533 . , Брюс Бургер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание . Североатлантические книги. п. 144. ИСБН 9781556432248 .

[4] Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона . Джон Уайли и сыновья. п. 188. ИСБН 9780471270478 .

[5] Девлин, Кейт (май 2007 г.). «Миф, который не исчезнет» . Архивировано из оригинала 12 ноября 2020 г. Проверено 9 декабря 2013 г.

[6] Петерсон, Иварс (1 апреля 2005 г.). «Спирали морских ракушек» . Новости науки . Общество науки и общественности. Архивировано из оригинала 3 октября 2012 г. Проверено 8 октября 2011 г.

[7] Савченко, С.С.; Решетников, В.П. (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла наклона в спиральных галактиках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . дои : 10.1093/mnras/stt1627 .

[8] Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6 .

[9] Фогель, Хельмут (июнь 1979 г.). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4 .

[10] Прия Хеменвей (2005). Божественная пропорция: $Φ$ Фи в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co., стр. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7 .

[11] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212225» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[12] Клаус Майнцер (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. стр. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6 .

[13] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212224» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[14] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A335605» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]