Гиперболическая спираль

Винтовая лестница в соборе Иоанна Богослова . Несколько винтовых кривых на лестнице переходят в гиперболические спирали на фотографии.

Гиперболическая спираль — это тип спирали с питч-углом , который увеличивается по мере удаления от ее центра, в отличие от постоянных углов логарифмических спиралей или уменьшающихся углов архимедовых спиралей . По мере расширения этой кривой она приближается к асимптотической линии . Его можно найти на изображении винтовой лестницы и стартовом расположении некоторых пешеходных дорожек, а также он используется для моделирования спиральных галактик и архитектурных завитков .

Как плоскую кривую , гиперболическую спираль можно описать в полярных координатах. $(r,\varphi )$ по уравнению $$r={\frac {a}{\varphi }},$$при произвольном выборе масштабного коэффициента $a.$

Из-за взаимных отношений между $r$ и $\varphi$ ее еще называют обратной спиралью . То же соотношение между декартовыми координатами описывало бы гиперболу , а гиперболическая спираль была впервые обнаружена путем применения уравнения гиперболы к полярным координатам. Гиперболические спирали также могут быть созданы как обратные кривые архимедовых спиралей. как центральные проекции спиралей . или

Гиперболические спирали представляют собой узоры на евклидовой плоскости , и их не следует путать с другими видами спиралей, нарисованными на гиперболической плоскости . В тех случаях, когда название этих спиралей может быть неоднозначным, вместо них можно использовать их альтернативное название — обратные спирали.

История и приложения

Пьер Вариньон впервые изучил гиперболическую спираль в 1704 году. как пример полярной кривой, полученной из другой кривой (в данном случае гиперболы ) путем переинтерпретации декартовых координат точек на данной кривой как полярных координат точек на полярной кривой. Вариньон, а позже Джеймс Клерк Максвелл интересовались рулетками , полученными путем отслеживания точки на этой кривой, когда она катится по другой кривой; например, когда гиперболическая спираль катится по прямой, ее центр описывает трактрису .

Иоганн Бернулли и Роджер Коутс также писал об этой кривой в связи с открытием Исаака Ньютона , что тела, которые следуют траекториям конического сечения , должны подчиняться закону обратных квадратов , такому как закон всемирного тяготения Ньютона . Ньютон утверждал, что верно обратное: конические сечения были единственными траекториями, возможными в соответствии с законом обратных квадратов. Бернулли раскритиковал этот шаг, отметив, что в случае закона обратных кубов возможны множественные траектории, включая как логарифмическую спираль (связь которой с законом обратных кубов уже наблюдал Ньютон), так и гиперболическую спираль. Котес обнаружил семейство спиралей, спиралей Котеса , включая логарифмические и гиперболические спирали, для которых требовался закон обратных кубов. К 1720 году Ньютон разрешил спор, доказав, что законы обратных квадратов всегда создают траектории конического сечения.

Шахматный старт забега на 200 метров.

Для гиперболической спирали с уравнением $r={\tfrac {a}{\varphi }}$, дуга окружности с центром в начале координат, продолжающаяся по часовой стрелке на всю длину $a$ из любой из своих точек, закончится на $x$-ось. Из-за этого свойства одинаковой длины стартовые отметки на дистанциях 200 и 400 метров расположены в шахматном порядке по гиперболической спирали. Это гарантирует, что все бегуны, ограниченные своими концентрическими дорожками, имеют путь к финишу одинаковой длины. В более длинных забегах, когда бегуны после старта переходят на внутреннюю полосу, вместо этого используется другая спираль (эвольвента круга ).

Угол наклона NGC 4622 увеличивается с расстоянием.

Волюты на капители коринфского ордера в Археологическом музее Эпидавра.

Увеличение угла наклона гиперболической спирали в зависимости от расстояния от ее центра привело к использованию этих спиралей для моделирования форм некоторых спиральных галактик , которые в некоторых случаях имеют столь же увеличивающийся угол наклона. Однако эта модель не обеспечивает хорошего соответствия формам всех спиральных галактик. В архитектуре высказывалось предположение, что гиперболические спирали хорошо подходят для оформления волют колонн коринфского ордера . Он также описывает перспективный вид вверх по оси винтовой лестницы или другой винтовой конструкции.

Наряду с архимедовой и логарифмической спиралью гиперболическая спираль использовалась в психологических экспериментах по восприятию вращения.

Конструкции

Уравнения координат

Гиперболическая спираль имеет уравнение $$r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi >0$$для полярных координат $(r,\varphi )$ и масштабный коэффициент $a$. Его можно представить в декартовых координатах, применив стандартные полярно-декартовы преобразования. $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, получая параметрическое уравнение для декартовых координат этой кривой, рассматривающее $\varphi$ как параметр, а не как координата: $$x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi >0.$$Ослабление ограничения, которое $\varphi >0$ к $\varphi \neq 0$ и использование тех же уравнений дает отраженную копию спирали, и некоторые источники рассматривают эти две копии как ветви одной кривой.

Гиперболическая спираль: ветвь при φ > 0

Гиперболическая спираль: обе ветви

Гиперболическая спираль представляет собой трансцендентную кривую , а это означает, что ее нельзя определить из полиномиального уравнения ее декартовых координат. Однако можно получить тригонометрическое уравнение в этих координатах, начав с его полярного определяющего уравнения в форме $r\varphi =a$ и заменяя его переменные в соответствии с декартово-полярными преобразованиями $\varphi =\tan ^{-1}{\tfrac {y}{x}}$ и ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, давая: $${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}=a.$$

Также можно использовать полярное уравнение для определения спиральной кривой в гиперболической плоскости , но это в некоторых важных отношениях отличается от обычной формы гиперболической спирали в евклидовой плоскости. В частности, соответствующая кривая в гиперболической плоскости не имеет асимптотической линии.

Инверсия

Гиперболическая спираль (синяя) как изображение спирали Архимеда (зеленая) путем инверсии через круг (красный)

Инверсия окружности через единичную окружность — это преобразование плоскости, которое в полярных координатах отображает точку. $(r,\varphi )$ (исключая происхождение) $({\tfrac {1}{r}},\varphi )$ и наоборот. Изображение ​ архимедовой спирали $r={\tfrac {\varphi }{a}}$ при этом преобразовании (его обратная кривая ) представляет собой гиперболическую спираль с уравнением $r={\tfrac {a}{\varphi }}$.

Центральная проекция спирали

Гиперболическая спираль как центральная проекция спирали

Центральная проекция спирали на плоскость, перпендикулярную оси спирали, описывает вид, который можно увидеть на ограждение винтовой лестницы , глядя вверх или вниз с точки зрения на оси лестницы. Чтобы смоделировать эту проекцию математически, рассмотрим центральную проекцию из точки $(0,0,d)$ изображения на плоскость $z=0$. Это отобразит точку $(x,y,z)$ в точку ${\tfrac {d}{d-z}}(x,y)$.

Изображение под этой проекцией спирали с параметрическим представлением $$(r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,$$это кривая $${\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)$$с полярным уравнением $$\rho ={\frac {dr}{d-ct}},$$описывающая гиперболическую спираль.

Характеристики

Асимптоты

Гиперболическая спираль приближается к началу координат как асимптотическая точка. Потому что $$\lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{\varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=a,$$кривая имеет асимптотическую линию с уравнением $y=a$.

Угол наклона

Определение сектора (голубой) и угла тангажа α

Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула $\tan \alpha ={\tfrac {r'}{r}}$ для угла наклона $\alpha$ между касательной любой кривой и касательной соответствующего ей полярного круга. Для гиперболической спирали $r={\tfrac {a}{\varphi }}$ угол наклона $$\alpha =\tan ^{-1}\left(-{\frac {1}{\varphi }}\right).$$

Кривизна

Кривизна уравнением любой кривой с полярным $r=r(\varphi )$ является $$\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}.$$Из уравнения $r=a/\varphi$ и его производные $r'=-a/\varphi ^{2}$ и $r''=2a/\varphi ^{3}$ можно получить кривизну гиперболической спирали через радиус $r$ или угла $\varphi$ любой из его точек: $$\kappa ={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}}={\frac {a^{3}}{r(a^{2}+r^{2})^{3/2}}}.$$

Длина дуги

Длина дуги гиперболической спирали $r=a/\varphi$ между точками $(r(\varphi _{1}),\varphi _{1})$ и $(r(\varphi _{2}),\varphi _{2})$ можно вычислить интегралом: $${\begin{aligned}L&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}$$Здесь скобочные обозначения означают вычисление формулы внутри скобок для обоих $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$и вычесть результат для $\varphi _{1}$ от результата за $\varphi _{2}$.

Площадь сектора

Площадь сектора (см. схему выше) гиперболической спирали с уравнением $r=a/\varphi$ является: $${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}$$То есть площадь пропорциональна разнице радиусов с константой пропорциональности $a/2$.

Внешние ссылки

• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)