Рулетка (кривая)

В геометрии кривых рулетка дифференциальной — разновидность кривой , обобщающей циклоиды , эпициклоиды , гипоциклоиды , трохоиды , эпитрохоиды , гипотрохоиды и эвольвенты . На базовом уровне это путь, пройденный кривой при движении по другой кривой без скольжения.

Определение

Неформальное определение

Зеленая парабола катится по такой же синей параболе, которая остается неподвижной. Генератор является вершиной катящейся параболы и описывает рулетку, показанную красным. В данном случае рулетка — это циссоид Диокла .

Грубо говоря, рулетка — это кривая, описываемая точкой (называемой образующей или полюсом ) , прикрепленной к данной кривой, поскольку эта кривая катится без скольжения по второй данной фиксированной кривой. Точнее, если дана кривая, прикрепленная к плоскости, которая движется так, что кривая катится, не скользя, по данной кривой, прикрепленной к неподвижной плоскости, занимающей то же пространство, то точка, прикрепленная к движущейся плоскости, описывает кривую, в фиксированная плоскость, называемая рулеткой.

Особые случаи и связанные с ними концепции

В случае, когда катящаяся кривая представляет собой линию , а образующая — точку на прямой, рулетку называют эвольвентой неподвижной кривой. Если катящаяся кривая представляет собой круг, а фиксированная кривая представляет собой линию, то рулетка представляет собой трохоиду . Если в данном случае точка лежит на окружности, то рулетка является циклоидой .

Родственное понятие — это глиссетта , кривая, описываемая точкой, прикрепленной к данной кривой, когда она скользит по двум (или более) заданным кривым.

Формальное определение

Формально говоря, кривые должны быть дифференцируемыми кривыми в евклидовой плоскости . Фиксированная кривая остается неизменной; кривая качения подвергается непрерывному конгруэнтному преобразованию, так что кривые всегда касаются точки контакта, которая движется с одинаковой скоростью, если двигаться вдоль любой кривой (другой способ выразить это ограничение состоит в том, что точка контакта две кривые — мгновенный центр вращения конгруэнтного преобразования). Результирующая рулетка формируется локусом генератора , подвергнутым тому же набору конгруэнтных преобразований.

Моделируя исходные кривые как кривые на комплексной плоскости , пусть $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ — две естественные параметризации качения ( $r$) и фиксированный ( $f$) кривые, такие что $r(0)=f(0)$, $r'(0)=f'(0)$, и $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$ для всех $t$. Рулетка генератора $p\in \mathbb {C}$ как $r$ катится $f$ затем задается отображением:

$t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.$

Обобщения

Если вместо одной точки, прикрепленной к катящейся кривой, по движущейся плоскости проводится другая данная кривая, образуется семейство конгруэнтных кривых. Конверт этого семейства можно также назвать рулеткой.

Рулетку в более высоких пространствах, конечно, можно представить, но нужно выровнять не только касательные.

Пример

Если фиксированная кривая представляет собой цепную линию , а скользящая кривая представляет собой линию , мы имеем:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

Параметризация линии выбрана так, что

$|f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.$

Применяя приведенную выше формулу, получаем:

$f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

Если p = − i, выражение имеет постоянную мнимую часть (а именно − i ), а рулетка представляет собой горизонтальную линию. Интересное применение этого состоит в том, что квадратное колесо может катиться, не подпрыгивая, по дороге, которая представляет собой серию согласованных цепных дуг.

Список рулеток

Фиксированная кривая	Кривая качения	Генерирующая точка	Рулетка
Любая кривая	Линия	Точка на линии	Эвольвента кривой
Линия	Любой	Любой	Циклогон
Линия	Круг	Любой	Трохоид
Линия	Круг	Точка на круге	циклоида
Линия	Коническое сечение	Центр конической	Штурм рулетка
Линия	Коническое сечение	Фокус конической	Делоне рулетка
Линия	Парабола	Фокус параболы	Цепная линия
Линия	Эллипс	Фокус эллипса	Эллиптическая контактная сеть
Линия	Гипербола	Фокус гиперболы	Гиперболическая цепная связь
Линия	Прямоугольная гипербола	Центр гиперболы	Эластичный прямоугольный
Линия	Циклоциклоида	Центр	Эллипс
Круг	Круг	Любой	Центрированная трохоида
За пределами круга	Круг	Любой	Эпитрохоид
За пределами круга	Круг	Точка на круге	Эпициклоида
За пределами круга	Круг одинакового радиуса	Любой	Лимасон
За пределами круга	Круг одинакового радиуса	Точка на круге	Кардиоида
За пределами круга	Круг половины радиуса	Точка на круге	Нефроид
Внутри круга	Круг	Любой	Гипотрохоид
Внутри круга	Круг	Точка на круге	Гипоциклоида
Внутри круга	Круг в треть радиуса	Точка на круге	Дельтовидная мышца
Внутри круга	Круг в четверть радиуса	Точка на круге	Астроид
Парабола	Равная парабола, параметризованная в противоположном направлении	Вершина параболы	Циссоид Диокла
Цепная линия	Линия	См . пример выше	Линия

См. также

• Роллинг
• Механизм
• Локус (математика)
• Принцип суперпозиции
• Спирограф
• Напиши парочку
• Розетта (орбита)

Ссылки

• WH Besant (1890) Заметки о рулетках и глиссетах из монографий по исторической математике Корнелльского университета , первоначально опубликованных Deighton, Bell & Co.
• Вайсштейн, Эрик В. «Рулетка» . Математический мир .

Дальнейшее чтение

• Рулетка на 2dcurves.com
• Основание, ролики и ролики для перемещения по плану (на французском языке)
• Единое представление плоских, обобщенных движений качения и их применения (на немецком языке)